2023-2024学年云南省昆明市第三中学高二上学期10月期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年云南省昆明市第三中学高二上学期10月期中考试数学试题含答案，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．同时抛两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接根据古典概型概率计算公式即可得结果.
【详解】由于同时抛两枚质地均匀的骰子共计包括个基本事件，
其中向上的点数之和为7的包括，，，，，6个基本事件，
所以两枚骰子向上的点数之和为7的概率，
故选：B.
2．若椭圆上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义有，结合已知即可求A到焦点的距离.
【详解】由椭圆方程知：.根据椭圆的定义有.
因为，
所以.
故选：D
3．已知，则（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】D
【分析】直接利用正余弦的二倍角公式可得，进而可得正切值.
【详解】由，得，
所以.
故选：D.
4．若O是正方体的中心，则异面直线与OC所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用空间向量，建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角的余弦公式，即可求出结果.
【详解】设正方体的棱长为，以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，则
由于O是正方体的中心，所以，
所以，
所以异面直线与OC所成角的余弦值为.
故选：A.
5．由伦敦著名建筑事务所SteynStudi设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据已知条件，求出双曲线渐近线的倾斜角并求出渐近线斜率，进而根据双曲线离心率计算公式即可求解
【详解】根据已知条件，双曲线的交点在轴，并且双曲线两条渐近线方向向下的夹角为；
因此可知其中一条渐近线的倾斜角为，
故其渐近线斜率，
根据渐近线方程可知，
故双曲线的离心率.
故选：D
6．在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（ ）
A．6B．8C．12D．24
【答案】C
【分析】根据题意，可先判断点在圆的内部，可知最长弦为圆的直径，此时最长弦的弦长为，最短弦为过且与最长弦垂直的弦，此时最短弦的弦长为，再根据对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半，即可求得答案.
【详解】依题意，把圆的方程化为标准方程是，
则圆心，半径，
点与圆心的距离，
则点在圆内，如图：
则过点及圆心的直线与圆相交，可得最长弦为圆的直径，
即，
当时，最短，
可得过点的最短的弦长，
所以四边形的面积.
故选：C.
7．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆．椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，点在椭圆上，且点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为，记椭圆的两个焦点分别为，则的值不可能为（ ）
A．4B．8C．14D．18
【答案】D
【分析】根据椭圆面积公式及斜率之积建立a，b方程并求出，再利用，从而可确定不可能取值.
【详解】因为椭圆的面积为，所以，即，
设，则，所以，
所以点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为，
解得，，则，
又，即
故的值不可能为18.
故选：D
8．如图，双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为，则菱形的面积与矩形的面积的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据几何关系列出有关的方程，再将面积比转化为的形式即可.
【详解】虚轴两端点为，两焦点为，
所以菱形的面积，
以为直径的圆内切于菱形，切点分别为
所以且
在中，用等面积法得：
，即，
所以，，
所以即，解得（负值舍去），
设矩形，
在中，用等面积法得：，所以，
且，即，.
所以矩形的面积，
所以.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中四边形面积相关问题的求解，解题关键是能够利用直线和圆相切的知识和等面积法，求得四边形的边长和之间的等量关系以及双曲线的离心率，从而将所求面积比转化为的形式，从而求得结果.
二、多选题
9．空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（ ）
A．B．若，则
C．点A关于平面对称的点的坐标为D．
【答案】AB
【分析】利用向量的坐标公式，模的计算公式，对称点的坐标，及数量积公式依次计算即可得出结果.
【详解】，
,，
A正确,D错误.
若，则,则,B正确，
点A关于平面对称的点的坐标为，故C错误，
故选：AB.
10．已知曲线，，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C可能是圆，也可能是直线
B．曲线C可能是焦点在轴上的椭圆
C．当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆
D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为
【答案】ABD
【分析】设，由的符号和取值结合对应方程的特点，结合条件逐项判断可得答案.
【详解】设，故曲线C的方程可表示为，
对A，当时，曲线C的方程为，可得，此时曲线C为两条直线；
当时，曲线C的方程为，此时曲线C是一个圆；故A正确；
对B，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在y轴上的椭圆，故B正确；
对C，当曲线C表示椭圆时，离心率为，则越大，椭圆越扁，故C错误；
对D，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线，
此时离心率为，由，可得，
即它的离心率有最小值，且最小值为，故D正确.
故选：ABD.
11．已知与，则下列说法正确的是（ ）
A．与有2条公切线
B．当时，直线是与的公切线
C．若分别是与上的动点，则的最大值是3
D．过点作的两条切线，切点分别是，则四边形的面积是
【答案】BD
【分析】根据圆心距和半径之间的关系可判断A；计算圆心到直线的距离可判断B；结合两圆外切求得的最大值判断C；求出弦长即可求得四边形的面积判断D.
【详解】由题意知的圆心，半径的圆心，半径，所以，
所以与相外切，有3条公切线，错误；
当时，点到直线的距离，
即与相切；
点到直线的距离，
即与相切；
所以直线是与的公切线，正确；
由于与相外切，故的最大值为，C错误；
连接，则，
根据勾股定理可得，

所以四边形的面积，D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是明确两圆的位置关系，即判断出两圆外切，则圆的公切线问题即可解决.
12．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知分别为双曲线的左，右焦点，过双曲线右支上一点作直线交轴于点，交轴于点则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．点的坐标为
C．过点作，垂足为，则
D．四边形面积的最小值为4
【答案】CD
【分析】根据方程，可直接求出渐近线方程，即可判断A项；由已知可得，进而结合双曲线方程，即可得出点的坐标，即可判断B项；根据双曲线的光学性质可推得，点为的中点.进而得出，结合双曲线的定义，即可判断C项；由，代入利用基本不等式即可求出面积的最小值，判断D项.
【详解】对于A项，由已知可得，，所以的渐近线方程为，故A项错误；
对于B项，设，则，整理可得.
又，所以，所以有，
由于，所以，解得，所以点的坐标为，故B项错误；
对于C项，如图，，且满足
所以直线的方程为，
联立化简得，
由于，即为双曲线的切线.
由双曲线的光学性质可知，平分，延长与的延长线交于点.
则垂直平分，即点为的中点.
又是的中点，所以，故C项正确；
对于D项，，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，四边形面积的最小值为4，故D项正确.
故选：CD.
三、填空题
13．写出一个关于直线对称的圆的方程 .
【答案】等，只要圆心在直线上均可.
【分析】设出圆心坐标，利用圆心在直线上可得圆心满足的条件，设圆的半径为1，即可得到答案.
【详解】设圆心坐标为，
因为圆关于对称，
所以在直线上，
则，
取，设圆的半径为1，
则圆的方程，
故答案为：(不唯一)
14．设点P在双曲线上，，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于 .
【答案】22
【分析】根据双曲线方程可求得，结合双曲线定义以及可求得，即可得答案.
【详解】由题意知，，
又，
∴，，
故的周长为，
故答案为：22
15．已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为
【答案】
【分析】先利用圆切线的性质推得、、、四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解.
【详解】圆：可化为，
，，
，是圆的两条切线，则，，
、、、四点共圆，且，，
，
，
当最小，即时，取得最小值，
此时方程为，
联立，解得，，即，
以为直径的圆的方程为，
即，
圆：，两圆相交，
两圆方程相减即为的方程.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将转化为，从而确定最小时的坐标，从而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解.
16．已知椭圆，，，过点的直线与椭圆交于，，过点的直线与椭圆交于，，且满足，设和的中点分别为，，若四边形为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为
【答案】
【分析】画出图形，不妨设，两条直线的斜率大于零时，连结，由题意知，求出，，求出，的斜率，设，，，，利用点差法，转化推出椭圆的离心率即可．
【详解】解：如图，不妨设，两条直线的斜率大于零时，连结，
由题意知，
解得，，或，（舍）
，，
在中，因为，所以，
故此时，.
设，，则，
两式相减得，
即，即，
因此离心率，所以.
故答案为：
【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，点差法的应用，考查转化思想以及计算能力．
四、解答题
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
(1)求角A；
(2)如果，，求△ABC的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知式子，利用正弦定理进行边角转化，然后整理，使用余弦定理即可完成角度的求解；
（2）结合第（1）问的角度和第（2）问给的边长关系，借助余弦定理可以求解出bc，然后再使用面积公式即可完成求解.
【详解】解：
（1）因为
由正弦定理得，
即，
所以，
，所以.
（2）又，
，所以，
所以.
18．在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①过（－1，2）；②与直线平行；③与直线垂直．
问题：已知直线过点M（3，5），且______．
(1)求的方程；
(2)若与圆相交于点A、B，求弦AB的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)可依次根据直线方程的点斜式、“两直线平行，斜率相等”、“两直线垂直，斜率相乘为－1”求直线l的方程；
(2)利用垂径定理即可求圆的弦长.
【详解】（1）选条件①：
∵直线过点(3，5)及(－1，2)，
∴直线的斜率为，
依题意，直线的方程为，
即；
选条件②：
∵直线的斜率为，
直线与直线平行，∴直线的斜率为，
依题意，直线的方程为；
即；
选条件③：
∵直线的斜率为，
直线与直线垂直，
∴直线的斜率为，
依题意，直线的方程为，
即；
（2）
圆心为(2，3)，半径为2，
圆心到直线的距离为
∴．
五、问答题
19．已知椭圆，左、右焦点分别为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于两点．
(1)求的长和的周长；
(2)求的面积．
【答案】(1)；的周长为；
(2)
【分析】（1）直线方程与椭圆方程联立，代入弦长公式，并根据椭圆的定义和性质求周长；
（2）根据图象，代入面积公式，即可求解.
【详解】（1）椭圆，，，
，即，
所以直线的方程为，
联立，得，或，
所以，
的周长为；
（2）由，得，由，得，
设，,
的面积.
六、解答题
20．如图，四棱锥的底面ABCD是梯形，平面ABCD，，，，，为线段PB上一个动点．

(1)若E为线段PB的中点，求E到平面PDC的距离；
(2)求直线PC与平面EAD所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连，利用余弦定理求出，以为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离的向量求法可得答案；
（2）设，求出平面的一个法向量，利用线面角的向量求法可得答案.
【详解】（1）连，因为，，，
所以，
即有，所以，
以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，
因为为的中点，所以，，
设平面的一个法向量为，则，
取得，，
所以点到平面的距离为：；
（2）设，，
，，
设平面的一个法向量为，则，
取，得，
所以
，
当时，取最大值.
七、证明题
21．已知双曲线：的离心率为，点在上，为的右焦点.
(1)求双曲线的方程；
(2)设为的左顶点，过点作直线交于（不与重合）两点，点是的中点，求证：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据离心率和椭圆上的点可构造方程组求得双曲线方程；
（2）易知直线斜率不为，设，与双曲线方程联立后可得韦达定理的形式，根据向量数量积的坐标运算，结合韦达定理可得，证得，由直角三角形的性质可得结论.
【详解】（1）由已知可得，，解得：…①，
又点在上，…②，
由①②可得：，，双曲线的方程为；
（2）当的斜率为时，此时中有一点与重合，不符合题意.
当斜率不为时，设，，，
联立得：，
则，解得：.
，
，
，则是直角三角形，是斜边，
点是斜边的中点，，即.
22．已知圆，直线过点且与圆交于点B，C，线段的中点为D，过的中点E且平行于的直线交于点P．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)坐标原点O关于，的对称点分别为，，点，关于直线的对称点分别为，，过的直线与动点P的轨迹交于点M，N，直线与相交于点Q．求证：的面积是定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由几何性质知到两点的距离之和为定值可得的轨迹为椭圆；
（2）设直线，，表示出直线的方程并联立求得的横坐标为定值，因此的面积是定值．
【详解】（1）由题意得，，．
因为D为中点，所以，即，

又，所以，
又E为的中点，所以，
所以，
所以动点P的轨迹是以，为焦点的椭圆（左、右顶点除外）．
设动点P的轨迹方程为：，其中，．
则，，，．
故动点P的轨迹方程为：．
（2）解法一：由题意得，，，，，且直线的斜率不为0，

可设直线，，，且，，
由，得，
所以，，
所以，
直线的方程为：，直线的方程为：，
由，
得，
解得．
故点Q在直线上，所以Q到的距离，
因此的面积是定值，为．
解法二：由题意得，，，，，且直线的斜率不为0，

可设直线，，，且，．
由，得，
所以，，
所以．
直线的方程为：，直线的方程为：，
由，得
，
故点Q在直线，所以Q到的距离，
因此的面积是定值，为．
解法三：由题意得，，，，，且直线的斜率不为0．

（ⅰ）当直线垂直于x轴时，，
由，得或，
不妨设，，
则直线的方程为：，直线的方程为：，
由，得，所以，
故Q到的距离，此时的面积是．
（ⅱ）当直线不垂直于x轴时，设直线，，，且，，
由，得，
所以，．
直线的方程为：，直线的方程为：，
由，得．
下证：．
即证，即证，
即证，
即证，上式显然成立，
故点Q在直线，所以Q到的距离，
此时的面积是定值，为．
由（ⅰ）（ⅱ）可知，的面积为定值．
解法四：由题意得，，，，，且直线的斜率不为0，

可设直线，，，且，．
由，得，
所以，．
直线的方程为：，直线的方程为：，
因为，所以，
故直线的方程为：．
由，得
．
解得．
故点Q在直线，所以Q到的距离，
因此的面积是定值，为．
【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．