人教版九年级上册第二十五章 概率初步综合与测试课后复习题

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人教版 第25章《概率》单元能力同时测试卷 B卷
一、 单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列事件属于必然事件的是（　　）
A．打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”
B．若原命题成立，则它的逆命题一定成立
C．一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小
D．在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数
答案 C
【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.
解：A、打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”，是随机事件，不合题意；
B、若原命题成立，则它的逆命题一定成立，是随机事件，不合题意；
C、一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小，是必然事件，符合题意；
D、在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数，是随机事件，不合题意；
故选．

2．如图，正方形ABCD内接于⊙O，若随意抛出一粒石子在这个圆面上，则石子落在正方形ABCD内概率是（    ）

A． B． C． D．
答案 C
【分析】在这个圆面上随意抛一粒豆子，落在圆内每一个地方是均等的，因此计算出正方形和圆的面积，利用几何概率的计算方法解答即可．
解：∵设正方形的边长为a，
∴⊙O的半径为，
∴S圆＝×（a）2，
S正方形＝a2，
∴在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是，
故选：C．

3．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮72秒，绿灯亮25秒，黄灯亮3秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是（    ）
A． B． C． D．
答案 B
【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，依此列式计算即可求解．
解：∵每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，
∴当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率P=，
故选：B．
4．甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，描述错误的是（    ）
A．甲，乙获胜的概率均低于0.5 B．甲，乙获胜的概率相同
C．甲，乙获胜的概率均高于0.5 D．游戏公平
答案 C
【分析】根据游戏结局共有三种情形，其中甲、乙获胜的概率都为，即可求解．
解：甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，结局有甲获胜（乙输）、平局、乙获胜（甲输），三种结局，其中，甲、乙获胜的概率都为，则A，B，D，选项正确，C选项错误．
故选C

5．某学习小组进行“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率如下表，则符合这一结果的试验可能是（　　）
试验次数
100
200
500
800
1000
1200
实验频率
0.343
0.326
0.335
0.330
0.331
0.330
A．先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上
B．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于6
C．将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，恰有一个篮子为空
D．从两男两女四人中抽取两人参加朗读比赛，两人性别相同
答案 D
【分析】根据统计图可知，试验结果的频率在0.33附近波动，即其概率约为0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
解：由表格可知：此实验的频率最后稳定在0.33左右，
如下树状图：

故先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上的概率为，与表格不符，不符合题意；
B．如下表：

1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于6的概率为，与表格不符，不符合题意；
C．将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，恰有一个篮子为空的概率为1，与表格不相符，不符合题意；
D．如下树状图：

故从两男两女四人中抽取两人参加朗读比赛，两人性别相同的概率为，与表格相符，符合题意；
故选：D．

6．甲、乙两位同学在一次用频率去估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（　　）

A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B．一个袋子中有2个白球和1个红球，从中任取一个球，则取到红球的概率
C．抛一枚硬币，出现正面的概率
D．任意写一个整数，它能被2整除的概率
答案 B
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意；
B、一个袋子中有2个白球和1个红球，从中任取一个球，则取到红球的概率≈0.33，故此选项符合题意；
C、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
D、任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故此选项不符合题意．
故选：B．

7．如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，一个小球随机的在图案上滚动，最后停留在阴影部分的概率是（　　）

A． B． C． D．
答案 B
【分析】根据菱形和等腰三角形性质，得；根据菱形和余角性质，得，从而得；结合三角形面积计算公式分析，分别得阴影部分面积和部分重叠的两个菱形面积，结合概率的性质计算，即可得到答案．
解：如图，

∵两个菱形相同
∴
∴
又∵两个菱形
∴，
∴
∴
∴
∴阴影部分面积，
∴部分重叠的两个菱形面积-阴影部分面积
∴最后停留在阴影部分的概率
故选：B．

8．将号码分别为1，2，3，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个球，号码为a，放回后乙再摸出一个球，号码为b，则使不等式成立的事件发生的概率为（    ）
A． B． C． D．
答案 D
【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9×9种结果，满足条件的事件是使不等式a-2b+10＞0成立的，即2b-a＜10，列举出当当b=1，2，3，4，5，6，7，8，9时的所有的结果，得到概率．
解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9×9=81种结果，
满足条件的事件是使不等式a-2b+10＞0成立的，即2b-a＜10
当b=1，2，3，4，5时，a有9种结果，共有45种结果，
当b=6时，a有7种结果
当b=7时，a有5种结果
当b=8时，a有3种结果
当b=9时，a有1种结果
∴共有45+7+5+3+1=61种结果，
∴所求的概率是，
故选D．

9．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下：
第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；
第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；
第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；
第四步：估算出π的值．
为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：
①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝；
②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1．
根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（　　 ）

A． B．
C． D．
答案 D
【分析】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1的条件，可以判断符合条件的区域为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解出π的值，得出答案．
解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1，
可以用图中正方形区域表示，
∴，
再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，
则需满足x2＋y2＞1，
可以用图中（3）区域表示，
∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积，
∴，
设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A，
∴根据①概率计算方法可以得到：
，
又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，
∴，
解得，
故选：D．

10．如图，在3×3的方格中，A，B，C，D，E，F分别位于格点上，从C，D，E，F四点中任意取一点，与点A，B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是（     ）

A．1 B．  C．  D．
答案 D
【分析】根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，即可得出答案．
解：根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，
故P（所作三角形是等腰三角形）=．
故选D．
二． 填空题（共24分）
11.在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是 　　．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：设两名男生分别记为，，两名女生分别记为，，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解题时要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率．
12.投掷一枚六个面分别标有1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子，则偶数朝上的概率是 　　．
【分析】在正方体骰子中，写有偶数的有3面，一共有6面，根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比求解即可．
【解答】解：在正方体骰子中，朝上的数字为偶数的情况有3种，分别是：2，4，6，骰子共有6面，
朝上的数字为偶数的概率为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率为（A）且（A）．
13.喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人恰好抽到同一部的概率是 　　．
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把影片剧照《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》的四张卡片分别记为、、、，
画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，
甲、乙两人恰好抽到同一部的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
14.经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口时，第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率是 　　．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中第一辆车向左转，第二辆车向右转的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中第一辆车向左转，第二辆车向右转的结果有1种，
第一辆车向左转，第二辆车向右转的概率为，
故答案为：．
【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
15.近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 　 　只种候鸟．
【分析】在样本中“200只种候鸟中有10只佩有识别卡”，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．
【解答】解：设该湿地约有只种候鸟，
则，
解得．
故答案为：800．
【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
16.某校围绕习近平总书记在庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会上的重要讲话精神，开展了主题为“我叫中国青年”的线上演讲活动．九年级（1）班共有50人，其中男生有26人，现从中随机抽取1人参加该活动，恰好抽中男生的概率是 　　．
【分析】直接根据概率求解即可．
【解答】解：共有50人，男生有26人，
随机抽取1人，恰好抽中男生的概率是．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率的求法．通过所有可能的结果求出，再从中选出符合事件结果数目，然后根据概率公式求出事件概率．

三 。解答题（共66分）
17.（6分）不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，蓝球有1个，现从中任意摸出一个是红球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率；
（3）若规定摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得1分，小明共摸6次小球（每次摸1个球，摸后放回）得20分，问小明有哪几种摸法？
答案：（1）设袋中有黄球m个，由题意得，解得m＝1，故袋中有黄球1个；
（2）∵

∴P（两次都摸到红球）．
（3）设小明摸到红球有x次，摸到黄球有y次，则摸到蓝球有（6﹣x﹣y）次，由题意得
5x＋3y＋（6﹣x﹣y）＝20，
即2x＋y＝7，
∴y＝7﹣2x，
∵x、y、6﹣x﹣y均为自然数，
∴当x＝1时，y＝5，6﹣x﹣y＝0；当x＝2时，y＝3，6﹣x﹣y＝1；当x＝3时，y＝1，6﹣x﹣y＝2．
综上：小明共有三种摸法：摸到红、黄、蓝三种球分别为1次、5次、0次或2次、3次、1次或3次、1次、2次．

18．（8分）为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加．为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
社团活动
舞蹈
篮球
围棋
足球
人数
50
30

80
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）抽取的学生共有 　　人，其中参加围棋社的有 　　人；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
（3）某班有3男2女共5名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请用树状图或列表法说明恰好抽到一男一女的概率．

【分析】（1）用足球的人数除以足球所占的百分比，即可求得样本容量，进而求出参加围棋社的人数．
（2）先求出参加篮球社的学生所占百分比，再乘以3200，即可得出答案．
（3）用树状图表示3男2女共5名学生，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，所有可能出现的结果情况，进而求出答案即可．
【解答】解：（1）抽取的学生共有：（人，
参加围棋社的有：（人；
故答案为：200，40；

（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生共有：（人；

（3）画树状图如下：

所有等可能出现的结果总数为20个，其中抽到一男一女的情况数有12个，
恰好抽到一男一女概率为．
【点评】本题主要考查了读统计表与扇形图的能力和利用图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察，分析，研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了利用树状图或列表法求概率．
19.（8分）如图，将下列3张扑克牌洗匀后数字朝下放在桌面上．

（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为 　　；
（2）从中随机抽取2张，用列表或画树状图的方法，求抽得2张扑克牌的数字不同的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽得2张扑克牌的数字不同的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从中随机抽取1张，抽得扑克牌上的数字为3的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中抽得2张扑克牌的数字不同的结果有4种，
抽得2张扑克牌的数字不同的概率为．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20.（10分）有A、B两个黑布袋，A布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2，3，B布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2．小明先从A布袋中随机取出一个小球，用m表示取出的球上标有的数字，再从B布袋中随机取出一个小球，用n表示取出的球上标有的数字．
（1）若用（m，n）表示小明取球时m与n 的对应值，请画出树状图并写出（m，n）的所有取值；
（2）求关于x的一元二次方程有实数根的概率．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即求得所有等可能的结果；
（2）根据树状图，即可求得关于x的一元二次方程有实数根的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
答案：（1）画树状图得：

则（m，n）的所有取值为：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）；

（2）∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴△＝m2﹣2n≥0，
∴关于x的一元二次方程有实数根的有：（0，0），（1，0），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）；
∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为：．

21.（10分）某中学为了解学生每学期“诵读经典”的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表：
等级
一般
较好
良好
优秀
阅读量本
3
4
5
6
频数
12

14
4
频率
0.24
0.40


请根据统计表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 　50　名学生；表中　　，　　，　　；
（2）求所抽查学生阅读量的众数和平均数；
（3）样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生．现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率．
【分析】（1）由一般的频数和频率，求本次调查的总人数，然后即可计算出、、的值；
（2）由众数和平均数的定义即可得出答案；
（3）画树状图，共有12种情况，其中所选2名同学中有男生的有6种结果，再由概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）本次抽取的学生共有：（名，
，，，
故答案为：50，20，0.28，0.08；
（2）所抽查学生阅读量为4本的学生最多，有20名，
所抽查学生阅读量的众数为4，
平均数为：；
（3）画树状图如下：

共有12种情况，其中所选2名同学中有男生的有6种结果，
所选2名同学中有男生的概率为．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表、众数、平均数等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数

22.（12分）在一个不透明的箱子中装有大小相同、材质相同的三个小球，一个小球上标着数字1，一个小球上标着数字2，一个小球上标着数字3，从中随机地摸出一个小球，并记下该球上所标注的数字x后，放回原箱子；再从箱子中又随机地摸出一个小球，也记下该球上所标注的数字y．以先后记下的两个数字（x，y）作为点M的坐标．
（1）求点M的横坐标与纵坐标的和为4的概率；
（2）在平面直角坐标系中，求点M落在以坐标原点为圆心、以为半径的圆的内部的概率．
【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
答案：（1）以先后记下的两个数字（x，y）作为点M的坐标有如下9种形式：
（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3），
其中，x＋y＝4有3种形式：（1，3）、（2，2）、（3，1），
由于每一种形式都等可能出现，（4分）
所以点M的横坐标与纵坐标的和为4的概率；（5分）
（2）因为点M在以坐标原点为圆心，以为半径的圆的内部，
所以x2＋y2＜10，这样的点M有4种形式：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（2，2），（9分）
所以点M在以坐标原点为圆心，以为半径的圆的内部的概率．（10分）
【点评】用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．关键是得到所求的情况数．
23（12分）中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务．成立一百周年之际，各中学持续开展了：青年大学习；：青年学党史；：中国梦宣传教育；：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 　200　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1280名，请估计参加项活动的学生数；
（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．
【分析】（1）由的人数除以所占的比例即可；
（2）求出的人数，补全条形统计图即可；
（3）由该校共有学生乘以参加项活动的学生所占的比例即可；
（4）画树状图，共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生为：（名，
故答案为：200；
（2）的人数为：（名，
补全条形统计图如下：

（3）（名，
答：估计参加项活动的学生为512名；
（4）画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，
小杰和小慧参加同一项活动的概率为．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．