【重难点全掌握】人教版数学四年级上册 第5讲《平行四边形和梯形》讲义（知识梳理+典型例题+举一反三+巩固提升）

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第5讲 平行四边形和梯形



知识点一：平行与垂直
1.在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
2.两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。这两条直线的交点叫做垂足。
知识点二：画垂线
过直线上(外)一点画已知直线的垂线的方法：
1. 把三角尺的一条直角边与已知直线重合；
2. 沿直线移动三角尺，使三角尺的顶点(或边)与已知直线重合；
3. 过已知点沿三角尺的另一条直角边画一条直线；
4. 在垂足处标出垂直符号。
知识点三：点到直线的距离与平行线间的距离
1.点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。
2.平行线间的距离：两条平行线之间的垂直线段有无数条，长度都相等。
知识点四：运用平行和垂直画长方形
用画垂线的方法来画长方形：先画出一条线段，然后过这条线段的两个端点画与这条线段垂直的线段，最后连接这两条垂直线段的另外的端点。
知识点五：平行四边形
1.两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。
2.从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。
3.平行四边形的两组对边分别平行并且相等。两组对角分别相等。
4.平行四边形有无数条高；对边之间的高长度相等；对边之间的高互相平行。
5.平行四边形有不稳定性，容易变形。
知识点六：梯形
1.只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
2.两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
3.有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
4.梯形只有一类高，为无数条。
5.正方形是特殊的长方形；长方形和正方形是特殊的平行四边形。
6.等腰梯形和直角梯形是特殊的梯形。

考点一：平行与垂直

【例1】（1）分别过A点和B点作已知直线的垂线，这两条垂线的关系是 　平行　。
（2）过C点作已知直线的平行线。
【分析】（1）过直线外（或直线上）一点作已知直线的垂线的方法是：把三角板的一直角边靠紧已知直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过已知点时，沿这条直角边画直线，这条直线就是经过直线外一点的这条直线的垂线。过A、B两点分别画已知直线的垂线，这两条垂线是平行关系。
（2）把三角板的一边与已知直线重合，再用一直尺靠紧三角板的另一边，沿直尺滑动三角板，当与已知直线重合的一边经过点C时，沿这边所画的直线就与已知直线平行。
【解答】解：（1）分别过A点和B点作已知直线的垂线，这两条垂线的关系是平行。
（1）（2）如图：

故答案为：平行。
【点评】过直线外一点或直线上一点画已知直线的垂线、过直线外一点画已知直线的平行线，三角板的正确使用是关键。

1. 在点子图上画出已知直线的平行线。

【分析】用直尺和三角尺画平行线．步骤：用左手固定直尺与已知直线重合，用右手将三角尺的一条直角边紧贴着直尺；将三角尺紧贴着直尺移动到某一位置，再画出一条直线，这条直线与已有的直线平行。
【解答】解：
【点评】本题考查了学生平行线的作法，培养学生的作图能力。
2. 运动会跳远比赛中，每名运动员有三次试跳机会，最好的一次成绩作为最终的成绩，李明在运动会跳远比赛中，第一次犯规，后两次分别跳到了图中位置。
（1）用线段画出两次跳远的距离。
（2）你所画的两条线段互相 　平行　（填“垂直”或“平行”）。
（3）李明的成绩分别为420厘米和360厘米，张军的成绩分别为405厘米，410厘米和400厘米，你认为他们俩谁会获胜？说说你的理由。
　我认为李明会获胜，根据比赛规则，最好的一次成绩作为最终的成绩，张军的最好成绩是410厘米，李明虽然跳了两次，但其中一次的成绩为420厘米，比张军的最好成绩要好，所以我认为李明会获胜　。

【分析】（1）把踏跳板看作一条直线，跳到的位置看作一个点，画出点到直线的距离，就是两次跳远的距离；
（2）根据在同一平面内，同时垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可知所画的两条线段互相平行；
（3）本题答案不唯一，结合李明和张军跳远的成绩进行解答即可。
【解答】解：（1）两次跳远的距离如图所示：

（2）所画的两条线段互相平行。
（3）我认为李明会获胜，根据比赛规则，最好的一次成绩作为最终的成绩，张军的最好成绩是410厘米，李明虽然跳了两次，但其中一次的成绩为420厘米，比张军的最好成绩要好，所以我认为李明会获胜。（答案不唯一）
故答案为：平行，我认为李明会获胜，根据比赛规则，最好的一次成绩作为最终的成绩，张军的最好成绩是410厘米，李明虽然跳了两次，但其中一次的成绩为420厘米，比张军的最好成绩要好，所以我认为李明会获胜。
【点评】本题主要考查点到直线的距离、垂直以及平行的定义在实际生活中的应用。
3. 填一填。

（1）在③和⑤中，相互垂直的是 　⑤　，相互平行的是 　③　。
（2）在①②④⑥中，直线有 　①　，射线有 　②④　，线段有 　⑥　。
【分析】（1）在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。
（2）线段2个端点，不能延伸，可以测量长度。射线1个端点，可以向一端无限延伸，无法测量长度。直线没有端点，可以向两端无限延伸，无法测量长度。
【解答】解：（1）在③和⑤中，相互垂直的是⑤，相互平行的是③。
（2）在①②④⑥中，直线有①，射线有②④，线段有⑥。
故答案为：⑤，③，①，②④，⑥。
【点评】此题考查了垂直和平行的判定和直线、射线、线段的定义，要熟练掌握。
考点二：平行四边形

【例2】小兰的妈妈在工艺品商店买了一件苏绣挂件（如图），她想把这个挂件的四周装裱上框，这个框架的周长是多少厘米？

【分析】因为平行四边形的对边相等，所以周长＝邻边之和×2，据此解答即可。
【解答】解：（50+29）×2
＝79×2
＝158（厘米）
答：这个框架的周长是158厘米。
【点评】本题主要考查了平行四边形的周长的应用。

1. 平行四边形的周长是56厘米，其中一条边长是10厘米．平行四边形另外三条边分别是多少厘米？
【分析】如图所示，已知平行四边形的周长，则根据平行四边形的性质可知AB+AD等于的周长，假设AB的长度为10厘米，则可算出AD的长度．根据平行四边形的对边相等的性质可得出每一条边的长度．

【解答】解：AB+AD＝56÷2＝28厘米，
假设AB＝10厘米，所以AD＝28﹣10＝18厘米，
由于平行四边形的对边相等则，
所以CD＝AB＝10厘米，BC＝AD＝18厘米．
答：平行四边形另外三条边分别是10厘米、18厘米、18厘米．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．
2. 按要求画图。

【分析】根据平行四边形的高的意义，从任一顶点作它对边的垂线段，这条垂线就叫高，据此画出平行四边形的高。
根据钝角三角形要有一个角是钝角；平行四边形有两组对边平行并且相等，直角梯形只有一组对边平行，还有两个直角，据此按照要求画图即可。
【解答】解：作图如下：
（答案不唯一）。
【点评】本题考查了画平行四边形的高、钝角三角形、平行四边形和直角梯形的特征。
3. 画一画，量一量。
（1）画出下面平行四边形指定底边上的一条高，把它分一个三角形和一个梯形。
（2）这条底边上的高长是 　20　毫米。

【分析】（1）根据平行四边形的高的意义，从任一顶点作它对边的垂线段，这条垂线就叫高，据此画出即可；在底上任取一个点，连接与底边上任意一个端点即可分成一个三角形和一个梯形。
（2）量出高的长度即可。
【解答】解：（1）根据要求作图如下：

（2）这条底边上的高长是20毫米。
故答案为：20。
【点评】本题考查了平行四边形高的画法及图形的划分、长度的测量，根据题意解答即可。
考点三：梯形

【例3】若你把一个梯形两腰的中点进行连接，得到的这条线段就是这个梯形的中位线．
（1）试画出这个梯形的中位线．（用铅笔和直尺作图）
（2）量一量中位线的长度，再量一量这个梯形上底和下底的长度，你发现了什么？把你的发现写在下面？

【分析】（1）先找到两腰的中点，再连接即可求解；
（2）根据线段的测量方法量出中位线的长度，上底和下底的长度，再依此找到它们的规律即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）我的发现：梯形中位线＝上底和下底的和的一半．

【点评】考查了梯形的特征及分类，关键是熟悉梯形中位线＝上底和下底的和的一半．

1. 在如图提供的点中选一个点记作D，使四边形ABCD成为一个梯形。D点的位置有多少种选法？请你把每种选法表示在图上。

【分析】根据梯形的概念梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。可进行解答。
【解答】解：只要保证只有一组对边平行即可。AB∥CD的有四种，AC∥BD的有一种，D点的位置有5种选法，图形分别为：

答：有五种选法。
【点评】本题考查根据梯形的概念进行画出梯形。
2. 接着画下去，画一个梯形，面积为15平方厘米．

【分析】根据梯形的面积公式，先确定出梯形的上底下底和高的长度，即可进行作图．
【解答】解：梯形的上底是6厘米，下底是4厘米，高是3厘米，面积是：（6+4）×3÷2＝15（平方厘米），
画图如下：

【点评】解答此题的关键是先依据梯形面积确定出图形主要线段的长度，再作图即可．
3. 如图a∥b，请在a、b两条直线上分别截取1厘米和3厘米长的线段作为梯形的上底和下底，作出一个梯形．画出这个梯形的高，并量出这个梯形的高是　3　厘米（取整数厘米）．

【分析】先在a、b两条直线上分别截取1厘米和3厘米长的线段，然后顺次连接四个顶点，就是梯形；然后用三角板画出这个梯形的高（即从梯形的一个顶点向对边作垂线，垂直线段就是梯形的高），再用直尺量出这个梯形的高，标上数据即可．
【解答】解：

故答案为：3．
【点评】本题考查了梯形的特征、画法、画梯形的高、长度的测量；注意画梯形的高时，要加直角符号．


一．选择题（共5小题）
1．如果同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线（　　）
A．平行 B．互相垂直 C．互相平行 D．相交
【分析】根据垂直和平行的特征：两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；进而解答即可．
【解答】解：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；
故选：C。
【点评】此题考查了垂直和平行的特征及性质．
2．平行四边形的高有（　　）条。
A．无数 B．2 C．4
【分析】在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，它有无数条高。
【解答】解：平行四边形的高有无数条。
故选：A。
【点评】平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高。
3．在同一平面内的两条直线，它们的位置关系有（　　）两种情况。
A．平行和相交 B．平行和垂直 C．相交和垂直
【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。据此解答即可。
【解答】解：在同一平面内的两条直线，它们的位置关系有平行和相交两种情况。
故选：A。
【点评】此题考查了在同一平面内两条直线间的位置关系有平行和相交两种情况，要熟练掌握。
4．过直线外的一点画已知直线的平行线，这样的平行线可以画（　　）条．
A．1条 B．2条 C．无数条 D．无法确定
【分析】根据平行的性质：过直线外一点画已知直线的平行线，有且只有一条直线与已知直线平行；据此解答即可．
【解答】解：在同一平面内，过直线外一点画已知直线的平行线，可以画1条；
故选：A。
【点评】此题考查的知识点是平行的性质，关键是正确理解和运用．
5．如图，已知a∥b，所以图中有（　　）个梯形。

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，据此特征选择。
【解答】解：平行线之间的距离相等，据此可知四边形ADEB、四边形BEFC及四边形ADFC都是梯形，一共有3个梯形。
故选：B。
【点评】本题考查了梯形的特征。
二．填空题（共5小题）
6．一个梯形有　无数　条高，一个平行四边形有　无数　条高．
【分析】梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形有无数条高，从一条底上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这两条线段为底的梯形的高．通常过上底的一个顶点作下底的垂线画出梯形的一条高．在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线画出一条高．
【解答】解：一个梯形有无数条高，一个平行四边形有无数条高．
故答案为：无数，无数．
【点评】此题主要是考查平行四边形、梯形高的意义．平时计算平行四边形、梯形面积时，只画一条高，并不是平行四边形、梯形都只有一条高．
7．经过点A画已知直线的垂线和平行线，并量出点A到已知直线的距离。点A到已知直线的距离是 　25　毫米。

【分析】根据平面内不相交的直线是平行线，和用三角板画垂线的方法，画出平行线和垂线即可。
【解答】解：

点A到已知直线的距离是25毫米。
故答案为：25。
【点评】熟练掌握平行和垂直的定义，是解答此题的关键。
8．　在同一平面内，不相交的两条直线　叫做平行线．
【分析】根据平行线的含义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；据此解答即可．
【解答】解：根据平行线的含义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；
故答案为：在同一平面内，不相交的两条直线．
【点评】此题考查了平行线的含义，应注意基础知识的积累．
9．平行四边形的特性 　具有不稳定性　，你见过生活中应用这一特性的事例有 　伸缩门　。
【分析】根据平行四边形的不稳定性，解答此题即可。
【解答】解：平行四边形的特性具有不稳定性，你见过生活中应用这一特性的事例有伸缩门。
故答案为：具有不稳定性；伸缩门。
【点评】熟悉平行四边形的不稳定性，是解答此题的关键。
10．　正方形　和长方形都是特殊的平行四边形。在长方形框架上对角钉上一根木条，是利用了 　三角形的稳定性　。
【分析】长方形和正方形对边相等且平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因此长方形和正方形满足平行四边形的特征；三角形具有稳定性，在长方形框架上对角钉上一根木条，就是把长方形分成2个三角形，就运用了三角形的这个特性。
【解答】解：正方形和长方形都是特殊的平行四边形。在长方形框架上对角钉上一根木条，是利用了三角形的稳定性。
故答案为：正方形，三角形的稳定性。
【点评】本题考查了平行四边形的特征及三角形的稳定性。
三．判断题（共5小题）
11．过直线外一点画这条直线的平行线，只能画一条．　√　．
【分析】过直线外一点画这条直线的平行线，只能画一条．如过直线l外一点A只能作一条直线与直线MN平行，其方法是：把一三角板的一条边与直线l重合，用一直线紧靠三角板的另一边，沿直尺滑动三角板，当三角板与直线重合的一边经过点A时，沿这条边画直线，所画的直线就与已知直线平行只能画一条．
【解答】解：过直线外一点画这条直线的平行线，只能画一条．此题说法正确．
故答案为：√．
【点评】过已知直线外一点只能作一条已知直线的平行线，只能作一条已知直线的垂线．
12．在同一平面内如果两条直线不平行，就一定相交．　√　
【分析】根据同一平面内两条直线的关系：两条直线不相交，就一定平行；进行判断即可．
【解答】解：在同一平面内如果两条直线不平行，就一定相交，说法正确；
故答案为：√．
【点评】此题考查的是同一平面内两条直线的关系．
13．有的梯形是平行四边形。 　×　
【分析】梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，平行四边形是两组对边分别平行，据此判断。
【解答】解：平行四边形两组对边都平行，而梯形是只有一组对边平行，因此所有的梯形都不是平行四边形，原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题考查了梯形和平行四边形的定义。
14．直线a与直线b互相垂直，那么可以这样说：直线a是垂线，直线b也是垂线。 　×　
【分析】垂线不能单独存在，据此解答。
【解答】解：直线a与直线b互相垂直，但不能说：直线a是垂线，直线b也是垂线。
故原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题的关键是明确垂线不能单独存在，然后再进一步解答。
15．平行四边形的高，在一组对边中可以画无数条。 　√　
【分析】在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线段，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，因此平行四边形的高有无数条。
【解答】解：平行四边形的高，在一组对边中可以画无数条，原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查了平行四边形高的定义。
四．应用题（共5小题）
16．一个直角梯形，上底为5厘米，下底为12厘米，如果把上底增加3厘米，下底减少4厘米，就变成了正方形。这个直角梯形的高是多少厘米？
【分析】根据正方形的特征，可知，梯形的高是上底增加3厘米或下底减少4厘米，据此回答。
【解答】解：5+3＝8（厘米）
12﹣4＝8（厘米）
答：这个直角梯形的高是8厘米。
【点评】本题主要考查了正方形的特征以及直角梯形的特征，需要学生熟练掌握。
17．已知平行四边形周长是38厘米，其中一条边长是10厘米，与它相邻的一条边长是多少厘米？
【分析】根据平行四边形的特点，对边相等可得，平行四边形的周长的求解方法与长方形相似，都是相邻两条边的和的2倍，由此先用周长38厘米除以2，求出相邻两边的和，再减去其中的一条边10厘米，即可求出另一条边．
【解答】解：38÷2﹣10
＝19﹣10
＝9（厘米）
答：与它相邻的一条边长是9厘米．
【点评】熟知平行四边形的特点，找出其周长的计算方法是解决本题的关键．
18．一个平行四边形的一条边是15厘米，周长是40厘米，另一条边是多少厘米？
【分析】周长是40厘米，那么一组邻边的长就是40厘米的一半，进而减去一条边的长度求出另一条边。
【解答】解：40÷2﹣15
＝20﹣15
＝5（厘米）
答：另一条边是5厘米。
【点评】此题主要考查了平行四边形的周长求法，要熟练掌握。
19．在如图的方格纸上画两个梯形（其中一个是等腰梯形），并标出它们的上底、下底和腰．

【分析】根据梯形的意义，一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，平行的两边叫梯形的底，习惯上把较短的底叫上底，较长的底叫下底；一组不平行的对边叫做梯形的腰；据此即可解答．
【解答】解：
【点评】本题是考查梯形的特征，明确梯形的特征，是解答此题的关键．
20．童乐家住在N处，双休日，童乐要与爸爸一起去河边钓鱼，他们走哪条路最近？为什么？

【分析】利用点到直线的所有连接线段中，垂直线段最短的性质即可解决问题。
【解答】解：他们走第②条路最短。因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
答：他们走②最近，因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【点评】此题考查了垂直线段最短的性质的在解决实际问题中的灵活应用。

一．选择题（共5小题）
1．两条平行线间可以画（　　）条垂线．
A．1 B．2 C．3 D．无数
【分析】根据平行和垂直的性质和特征可知：两条平行线中可以画无数条垂线，这些线段的长度相等；进而解答即可．
【解答】解：两条平行线间可以画无数条垂线；
故选：D。
【点评】此题应根据垂直和平行的特征和性质进行解答．
2．下面两条直线互相平行的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】依据同一平面内，线段之间的相交和平行的意义，即可解答。
【解答】解：根据在同一平面内永不相交的两条直线，相互平行。
故选：C。
【点评】本题考查空间内的平行与相交问题，根据具体实例做比较容易。
3．如图中有（　　）组互相平行的线。

A．1 B．2 C．3
【分析】根据平行的性质：不相交的两条直线叫做平行线；据此判断即可。
【解答】解：如图中有3组互相平行的线。
故选：C。
【点评】此题考查了平行的特征和性质，根据意义判断即可。
4．如图所画的平行四边形的一条高是5厘米，这条高所对应的底应该是（　　）厘米。

A．6 B．4 C．6或4 D．无法确定
【分析】据平行四边形的高的意义，从任一顶点作它对边的垂线段，这条垂线就叫高，相对应底边上的高要比不同的底要矮一些，因此6厘米这条边上的高比4厘米小，4厘米底边上的高比6厘米矮，据此解答。
【解答】解：根据平行四边形的一条高是5厘米，因此6厘米这条边上的高比4厘米小，4厘米底边上的高比6厘米矮。
故选：B。
【点评】本题考查了平行四边形底和高的互相对应的关系。
5．下面说法错误的是（　　）
A．平行线延长也可能相交
B．梯形有无数条高
C．正方形相邻的两条边互相垂直
【分析】根据平行线永远不相交，梯形有无数条高，正方形相邻的两条边互相垂直，解答此题即可。
【解答】解：平行线永远不相交，所以题干说法错误；
梯形有无数条高，所以题干说法正确；
正方形相邻的两条边互相垂直，所以题干说法正确。
故选：A。
【点评】熟练掌握平行线的定义、梯形高的画法、正方形的性质，是解答此题的关键。
二．填空题（共5小题）
6．从梯形的上底上的一点向下底作一条垂线，这点到垂足之间的距离是梯形的　高　，梯形有　无数　条高．
【分析】根据梯形高的意义，从梯形的上底上的一点向下底作一条垂线，这点到垂足之间的距离是梯形的高．梯形有无数条高．
【解答】解：从梯形的上底上的一点向下底作一条垂线，这点到垂足之间的距离是梯形的高．梯形有无数条高．
故答案为：高，无数．
【点评】梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线用三角板的直角可以画出梯形的一条高．
7．伸缩门在我们的生活中有广泛的应用，它利用了平行四边形 　不稳定　特点。
【分析】伸缩门利用了平行四边形的不稳定性，据此解答。
【解答】解：伸缩门在我们的生活中有广泛的应用，它利用了平行四边形不稳定的特点。
故答案为：不稳定。
【点评】此题主要考查了平行四边形的不稳定性，要熟练掌握。
8．有直角，两组对边分别平行的四边形是 　长方形　，它是特殊的 　平行四边形　。
【分析】四条边都相等，并且四个角都是直角的四边形是正方形；只有一组对边平行的四边形是梯形；两组对边平行，没有直角的四边形是平行四边形；两组对边分别平行，并且有四个角是直角的四边形是长方形，据此解答即可。
【解答】解：有直角，两组对边分别平行的四边形是长方形，它是特殊的平行四边形。
故答案为：长方形，平行四边形。
【点评】此题主要考查长方形、正方形、平行四边形和梯形的概念及特征。
9．线段有　2　个端点，平行线间的距离　相等　。
【分析】根据线段的定义：线段有两个端点；根据垂直和平行的性质可得：两条平行线之间的距离都相等；据此解答即可。
【解答】解：线段有2个端点，平行线间的距离相等。
故答案为：2；相等。
【点评】这道题解题的关键是要明确平行线间的距离都相等这一点。
10．过直线外一点，可以画　一　条已知直线的垂线．
【分析】过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直．据此解答．
【解答】解：过直线外一点可以画一条这条已知直线的垂线；
故答案为：一．
【点评】本题考查了学生对过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直知识的掌握情况．
三．判断题（共5小题）
11．平行四边形可以画无数条高，而梯形只能画出1条高．　×　．
【分析】根据平行四边形高的含义和梯形高的含义：平行四边形的高是指对边之间的距离，那么，两组对边之间都可以画无数条垂直线段，所以，有无数条高； 梯形虽然只有一组对边平行，但是，在这组对边里，也可以画无数条垂直线段，所以也有无数条高，据此解答．
【解答】解：从定义上看：平行四边形有无数条高，梯形有无数条高；
所以原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】此题考查了平行四边形高的含义和梯形高的含义．
12．同一平面内两条直线相交，如果有一个角90度，这两条直线互相垂直。 　√　
【分析】由垂直的定义：如果两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，那么这两条直线互相垂直；据此判断。
【解答】解：由分析可知：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是90度，那么这两条直线一定互相垂直。说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题主要考查垂直的定义，熟练掌握定义是解题的关键。
13．两条直线相交成直角时，这两条直线就互相垂直．　√　．
【分析】根据垂直的定义：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一个条直线的垂线；据此判断即可．
【解答】解：根据垂直的性质可得：当两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一个条直线的垂线；
故答案为：√．
【点评】此题考查了垂直的含义，熟练掌握其含义是解题的关键．
14．过直线外一点，能画出无数条已知直线的平行线。 　×　
【分析】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。据此判断。
【解答】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以原题干错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查了过直线外一点与已知直线平行的知识。
15．梯形的上底和下底一定互相垂直。 　×　
【分析】梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，据此特征判断。
【解答】解：梯形的上底和下底一定互相平行，原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查了梯形的特征。
四．操作题（共1小题）
16．如图，两直线AB和AC相交于点 A：
①作CD平行于AB；
②BF垂直于AC，交AC于点F。

【分析】①画已知直线的平行线可以借助直尺或三角尺来完成。
固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，
然后沿着直尺平移三角尺；平移后，沿直角边画出另一条直线。
②过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线
移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边
画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。
【解答】解：作图如下：

【点评】平行线之间的距离处处相等。过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
五．应用题（共4小题）
17．一个梯形的下底是上底的4倍。如果将上底延长12厘米，那么就成了一个平行四边形。这个梯形的上、下底各是多少厘米？
【分析】由题意可知：梯形上底的（4﹣1）倍是12厘米，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答求出上底的长，进而求出下底的长。
【解答】解：上底：12÷（4﹣1）＝4（厘米）；
下底：4×4＝16（厘米）；
答：这个梯形的上底是4厘米，下底是16厘米。
【点评】解答此题的关键：根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答求出上底的长，是解答此题的关键。
18．用一根217厘米长的铁丝正好围成一个等腰梯形。梯形的上底是31厘米，下底是66厘米，它的一条腰长多少厘米？
【分析】等腰梯形的两腰相等，用一根217厘米长的铁丝正好围成一个等腰梯形，铁丝的总长减去上下底的长就是两腰的长，再除以2即可。
【解答】解：（217﹣31﹣66）÷2
＝120÷2
＝60（厘米）
答：它的一条腰长60厘米。
【点评】本题考查了等腰梯形的特征。
19．在正方形网格的交叉点中，选一个点D，使得连接A、B、C、D四点后，能形成一个平行四边形。请你标出点D可能的位置。

【分析】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形对边相等，数一数出A与B两点之间有几格，A与C两点之间有几格，根据平行四边形特征画图即可。
【解答】解：如图：
（答案不唯一）
【点评】本题考查了平行四边形的特征。
20．已知平行四边形周长是38厘米，其中一条边长是10厘米，与它相邻的一条边长是多少厘米？
【分析】根据平行四边形的特点，对边相等可得，平行四边形的周长的求解方法与长方形相似，都是相邻两条边的和的2倍，由此先用周长38厘米除以2，求出相邻两边的和，再减去其中的一条边10厘米，即可求出另一条边．
【解答】解：38÷2﹣10
＝19﹣10
＝9（厘米）
答：与它相邻的一条边长是9厘米．
【点评】熟知平行四边形的特点，找出其周长的计算方法是解决本题的关键．



一．选择题（共5小题）
1．（2022春•房山区期末）芳芳在过人行横道时，如果选择最短路线，应该选（　　）

A．路线a B．路线b C．路线c D．路线d
【分析】根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短，所以横过马路的最短路线是从芳芳点向路对面作垂线段，据此解答。
【解答】解：根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短。
故选：B。
【点评】本题是考查垂直线段的性质，利用这一性质作最短线路图。
2．（2022春•柘城县期末）下面有关平行四边形说法正确的是（　　）。
A．有4个锐角 B．有4个直角 C．对边相等
【分析】根据平行四边形的特征，平行四边形对边平行且相等，分析解答即可。
【解答】解：根据平行四边形的特征，平行四边形对边平行且相等。
故选：C。
【点评】本题考查了平行四边形的特征，根据题意解答即可。
3．（2021秋•固始县期末）下列图形中，高画错了的是（　　）
A． B．
C．
【分析】高是指梯形或平行四边形上下底的距离，据此选择。
【解答】解：的高的画法画错了，应在平行的一组对边上画高。
故选：C。
【点评】本题考查了平行四边形及梯形高的画法。
4．（2021秋•台山市期末）在如图所示四条线段中，（　　）是互相平行。

A．a和b B．b和c C．a和c
【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线，据此解答。
【解答】解：可以延长几条直线，就会发现直线a与c符合平行线的定义，因此a与c互相平行。
故选：C。
【点评】本题考查了平行线的定义及判断方法。
5．（2022春•阿瓦提县期末）学校的电动伸缩门做成若干个平行四边形，这是因为平行四边形（　　）
A．节省材料 B．易变形 C．具有稳定性
【分析】根据平行四边形具有易变形的特征解答即可。
【解答】解：学校的电动伸缩门做成若干个平行四边形，这是因为平行四边形易变形。
故选：B。
【点评】本题考查了平行四边形的易变形特征，根据题意解答即可。
二．填空题（共5小题）
6．（2021秋•福绵区 期末）过直线外的一点可以画 　1　条平行线。
【分析】根据过已知直线外一点画已知直线的平行线的方法可知，过直线外的一点可以画1条已知直线的平行线。
【解答】解：过直线外的一点可以画1条平行线。
故答案为：1。
【点评】过已知直线外一点能且只能画一条直线与已知直线平行。
7．（2022春•栖霞市期末）两点间的所有连线中 　线段　最短，过直线上一点可以画 　一　条直线与已知直线垂直。
【分析】根据两点的所有连线中，线段最短解答；
利用定理“在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”解答即可。
【解答】解：两点间的所有连线中线段最短，过直线上一点可以画一条直线与已知直线垂直。
故答案为：线段，一。
【点评】本题考查了垂直与平行的特征及性质，结合题意分析解答即可。
8．（2022春•临洮县期末）　只有一组对边平行　的四边形叫梯形。
【分析】根据梯形的定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
【解答】解：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。
故答案为：只有一组对边平行。
【点评】此题考查的是梯形的概念，应理解并灵活运用。
9．（2021秋•沂水县期末）数学书的封面相邻的两条边互相 　垂直　，两条对边互相 　平行　。
【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。
【解答】解：数学书的封面相邻的两条边互相垂直，两条对边互相平行。
故答案为：垂直，平行。
【点评】此题考查了垂直与平行的特征和性质，要熟练掌握。
10．（2018秋•长阳县期末）平行四边形DC边上的高是　AE　BC边上的高是　AF　．

【分析】根据平行四边形高的含义：在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高；据此解答即可．
【解答】解：平行四边形DC边上的高是 AEBC边上的高是 AF．
故答案为：AE，AF．
【点评】此题考查了平行四边形高的含义，应注意灵活运用．
三．判断题（共5小题）
11．（2022•吴中区）把一个平行四边形框架拉成一个长方形后，它的面积和周长都变大了。 　×　
【分析】把一个平行四边形框架拉成一个长方形，它的底没变，但是高变长了，所以面积变大了，四条边的长度没有变化，所以周长不变。
【解答】解：把一个平行四边形框架拉成一个长方形后，它的面积变大，周长不变。
所以题干说法是错误的。
故答案为：×。
【点评】解答此题的关键是明白，把一个平行四边形框架拉成一个长方形，它的底没变，但是高变长了，所以面积变大了。
12．（2021秋•木兰县期末）用三角尺过A点画已知直线的垂线，方法是正确的。 　√　
【分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可。
【解答】解：用三角尺过A点画已知直线的垂线，方法是正确的。
故答案为：√。
【点评】本题考查了学生过直线外一点向已知直线作垂线的能力。
13．（2022春•嵩县期末）学校门口的伸缩门是利用平行四边形的稳定性原理制作的。 　×　
【分析】平行四边形具有易变形的特点，学校门口的伸缩门是利用这一特性，据此解答。
【解答】解：学校门口的伸缩门是利用平行四边形的易变形原理制作的。原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题考查了平行四边形的特性。
14．（2021春•阳信县期末）梯形有无数条高，且长度都相等。 　√　
【分析】高是指梯形上下底的距离，在梯形的上底的任取一个端点作垂直于下底的线段，据此可知，梯形的上下底之间有无数条高，平行线之间的距离相等。
【解答】解：梯形有无数条高，且长度都相等。原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查了梯形的高的定义。
15．（2022春•景洪市期中）同一平面内，与已知直线l相距3厘米的平行线只有2条。 　√　
【分析】在同一平面内，与已知直线相距3厘米的平行线有2条，在已知直线的两边各有1条。
【解答】解：同一平面内，与已知直线l相距3厘米的平行线只有2条。
故原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】本题考查了平行线的知识。
四．操作题（共1小题）
16．（2022春•柘城县期末）在如图的点子图上画两个不同的平行四边形。

【分析】根据平行四边形的特征，平行四边形对边平行且相等，据此画图解答即可。
【解答】解：根据要求，作图如下：
（画法不唯一）
【点评】本题考查了平行四边形的画法，根据题意解答即可。
五．应用题（共4小题）
17．（2021秋•南靖县期末）一根长54厘米的铁丝围成一个平行四边形，其中一条边长14厘米，另外三条边的长分别是多少厘米？
【分析】根据平行四边形的对边相等，解答此题即可。
【解答】解：54÷2＝27（厘米）
27﹣14＝13（厘米）
答：另外三条边的长分别是13厘米、14厘米、13厘米。
【点评】熟练掌握平行四边形的性质，是解答此题的关键。
18．（2022春•忠县期末）一个直角梯形的下底是上底的4倍，如果把梯形的上底延长12厘米，就成为一个正方形，这个梯形的上底和高各是多少厘米？
【分析】根据梯形的特征，梯形是只有一组对边平行的四边形，一个直角梯形的下底是上底的4倍。如果将上底延长12厘米，就成了一个正方形，由此可知，12厘米相当于这个直角梯形的上底的（4﹣1）倍，且梯形的高等于下底，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法求出上底，上底的长度乘4就是下底的长度（高），据此解答。
【解答】解：12÷（4﹣1）
＝12÷3
＝4（厘米）
4×4＝16（厘米）
答：这个梯形的上底4厘米，高是16厘米。
【点评】此题考查的目的是理解掌握直角梯形的特征、正方形的特征及应用。
19．（2021秋•泰宁县期末）一根60厘米长的铁丝刚好围成一个平行四边形，其中一条边长12厘米，其他三条边的长度各是多少厘米？请说明理由。
【分析】60厘米即围成平行四边形的周长，根据平行四边形特征：两组对边分别相等，所以平行四边形的周长等于两条相邻边的和乘2，即可解答。
【解答】解：60÷2﹣12
＝30﹣12
＝18（厘米）；
答：其他三条边分别是12厘米、18厘米、18厘米。
【点评】此题应结合题意，并根据平行四边形的特点进行分析、解答
20．（2022春•聊城期中）用一根217厘米长的铁丝正好围成一个等腰梯形。梯形的上底是31厘米，下底是66厘米，它的一条腰长多少厘米？
【分析】等腰梯形的两腰相等，用一根217厘米长的铁丝正好围成一个等腰梯形，铁丝的总长减去上下底的长就是两腰的长，再除以2即可。
【解答】解：（217﹣31﹣66）÷2
＝120÷2
＝60（厘米）
答：它的一条腰长60厘米。
【点评】本题考查了等腰梯形的特征。