【2023高考奠基】高中数学(人教A版2019)选择性必修第三册 第6章《计数原理》基础知识汇总

第6章 计数原理

§6.1 分类加法与分步乘法计数原理

1.分类加法计数原理：

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事情共有种不同的方法.

2.分步乘法计数原理：

完成一件事有两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，那么完成这件事情共有种不同的方法.

§6.2 排列与组合

1.排列定义：从个不同的元素中任取个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同的元素中取出个元素的一个排列.

全排列：把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列.

2.排列数：从个不同的元素中任取个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，记作.

3.排列数公式：

（1）；

（2），规定.

；

4.组合定义：从个不同的元素中取出个元素作为一组，叫做从个不同的元素中取出个元素的一个组合.

5.组合数：从个不同的元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，记作.

6.组合数公式：

（1）或或；

（2），规定；

（3）.

§6.3 二项式定理

1.二项式定理

（1）二项式定理：

.

右边的多项式叫做的二项展开式.

（2）二项展开式的通项：第项：.

（3）二项式系数：

2.二项式系数的性质：

（1）若令,则有：，

若令，则有.

奇数项二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和.即.

（2）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；

（3）增减性与最大值：

当时，二项式系数的值逐渐增大，当时,的值逐渐减小；

当为偶数时，中间的一项取得最大值；

当为奇数时，中间的两项和相等，且同时取最大值.