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人教A版(2019)高中数学选择性必修第二册 专题05 切线问题经典考法
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这是一份人教A版(2019)高中数学选择性必修第二册 专题05 切线问题经典考法，文件包含专题05切线问题经典考法解析版docx、专题05切线问题经典考法原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。
专题05 切线问题经典考法
知识点一：在点P的切线
1．（2022·安徽滁州·高二阶段练习）曲线在处的切线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由导数的几何意义即可求解.
【详解】
解：由，得，所以，，
所以曲线在处的切线的方程为，即．
故选：B.
2．（2022·全国·模拟预测（文））已知在处的切线倾斜角为，则的值为（ ）
A．7 B． C．5 D．-3
【答案】B
【解析】
【分析】
由导数的几何意义求出切线斜率得出，再由二倍角的正余弦公式及同角三角函数的基本关系化简求值即可.
【详解】
因为，
所以，
所以
.
故选：B
3．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求得，得到且，即可求得切线的方程.
【详解】
由题意，函数，可得，
所以且，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故选：A.
4．（2022·甘肃·一模（文））曲线在点处的切线方程为，则实数（ ）
A．-16 B．16 C．-20 D．20
【答案】B
【解析】
【分析】
直接求出切线方程，即可得到答案.
【详解】
函数的导数为.
所以，.
所以在点处的切线方程为.故b=16.
故选：B
5．（2022·湖南·一模）若曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义，结合平行线的性质进行求解即可.
【详解】
由，显然在曲线上，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
因此切线方程为：，
直线的斜率为，
因为曲线在点处的切线与直线平行，
所以，
故选：C
知识点二：过点P切线
6．（2022·河南·模拟预测（理））已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设出曲线上的切点，求出导数，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的最值及其图象，即可得到a的范围.
【详解】
设曲线与其切线交于
切线方程l：，
由导数与切线方程斜率关系可得……①
又切线过点
要保证过点可以作曲线的两条切线，可得不能在曲线上
……②
点A在曲线上，故……③
由①②③式可得：
，解得
令
则
令，故
故当时，；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
即在时取得极大值，故
作出草图如下：
得仅在范围内由2个对应的值
即时，有2个解，此时存在2条切线方程
综上所述，的取值范围为
故选：B.
7．（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）若存在过点（0，－2）的直线与曲线和曲线都相切，则实数a的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－2
【答案】A
【解析】
【分析】
在两曲线上设切点，得到切线，又因为（0，－2）在两条切线上,列方程即可.
【详解】
的导函数为，的导函数为，
若直线与和的切点分别为（，），，
∴过（0，－2）的直线为、，
则有，可得．
故选：A.
8．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））若过点可以作曲线且的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小关系与有关
【答案】D
【解析】
【分析】
设切点为：，写出切线方程，根据点在切线上，得到，根据过点可以作曲线且的两条切线，由方程有两个不同的根求解.
【详解】
设切点为：，
则，
所以切线方程为，
因为点在切线上，
所以，
即，
令，
则 ，
令 ，得，
当 时，，当 时，，
所以当时， 取得极小值 ，
若，当时，；
若时，当时，；
因为过点可以作曲线且的两条切线，
所以且，即，
所以与的大小关系与有关，
故选：D
9．（2022·山西长治·模拟预测（理））当时，过点均可以作曲线的两条切线，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设过点的切线与相切于，把题意转化为关于m的方程有两解.令.作出与的图像，有两个交点求出.记，利用导数求出的最大值，即可求出.
【详解】
设过点的切线与相切于，
则有，消去n得：.
因为过点均可以作曲线的两条切线，
所以关于m的方程有两解.
即有两解.
令.只需与有两个交点.
对于，则.
令，解得：；令，解得：.
所以在上单调递减，在单调递增.
作出的草图如图所示：
要使与有两个交点，只需.
记，.
令，解得；令，解得；
所以在上单调递增，在单调递增.
所以的最大值为，
所以.
故选：C
【点睛】
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围；
（4）利用导数研究零点.
10．（2022·江苏·南京航空航天大学苏州附属中学高二阶段练习）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
设切点为，根据导数的几何意义求得在切点处的切线方程，再将代入，求得的值，即可得解.
【详解】
解：因为，所以，
设切点为，
所以在切点处的切线方程为，
又在切线上，所以，
即，
整理得，解得或，
所以过点可作曲线的切线的条数为2.
故选：C．
知识点三：已知切线（斜率）求参数
11．（2022·重庆市第七中学校高二阶段练习）已知直线是的切线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设切点为，求导，利用导数的几何意义得切线的斜率，再代入切线方程即可求解出，从而得值.
【详解】
设切点为，对函数求导，则，所以切线斜率为，又因为直线是的切线，所以，所以.
故选：C
12．（2022·陕西安康·高三期末（文））曲线过点的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设出切点，结合导数列方程，由此求出切点坐标并求出切线的斜率，进而可得切线方程.
【详解】
由题意可得点不在曲线上，
设切点为，因为，
所以所求切线的斜率，
所以.
因为点是切点，所以，
所以，即.
设，明显在上单调递增，且，
所以有唯一解，则所求切线的斜率，
故所求切线方程为.
故选：B.
13．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）直线与曲线相切，则实数k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义即可求出切点，从而得到值．
【详解】
设直线与曲线的切点为
由，所以，解得
所以
故选：C
14．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））函数存在与直线平行（或重合）的切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义，将问题转化为有解，求得参数范围.
【详解】
由题意，函数的定义域，且，
因为函数存在与直线平行（或重合）的切线，
即有解，即在有解，
因为，可得，则，可得，
所以，即实数的取值范围是.
故选：C.
15．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A． B．1 C．2 D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
由于点在直线，则可求出，再利用导数的几何意义可得，从而可求出结果
【详解】
因为函数的图象在点处的切线方程是，
所以，
所以，
故选：B
16．（2022·湖南·长沙县实验中学高二阶段练习）已知函数在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．－2 B．－1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
求出的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，解方程即可得到所求值.
【详解】
函数的导数为，
∴，即函数在处的切线斜率为，
由切线与直线垂直，
可得，
解得.
故选：B.
17．（2022·湖南·长沙县实验中学高二阶段练习）已知直线与函数的图象相切，则函数不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求导函数，判断是否有解，即得.
【详解】
对于A，∵，且有解，故A有可能；
对于B，∵，且有解，故B有可能；
对于C，∵，
设，
则函数在上连续，且，
故函数在上存在零点，即在上有解，故C有可能；
对于D，∵，令，则，
∴当时函数为减函数，当时函数为增函数，
∴当时，函数有最小值，，
∴，即无解，故D不可能.
故选：D.
知识点四：最值问题
18．（2022·全国·高三专题练习）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出平行于直线且与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】
设平行于直线且与曲线相切的切线对应切点为，
由，则，
令，
解得或（舍去），
故点P的坐标为，
故点P到直线的最小值为：.
故选：A.
19．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将问题转化为直线与曲线上的点的距离最小值，利用导数的几何意义求上斜率为1的切线上切点坐标，再应用点线距离公式求最小距离，即可得m的范围.
【详解】
设，则T的几何意义是直线上的点与曲线上的点的距离，
将直线平移到与面线相切时，切点Q到直线的距离最小．
而，令，则，可得，
此时，Q到直线的距离，故，
所以．
故选：B
【点睛】
关键点点睛：将题设不等式关系转化为求直线与曲线上点的最小距离且，结合导数的几何意义、点线距离公式求m的范围.
20．（2022·山东省淄博第一中学高三开学考试）动直线分别与直线，曲线相交于两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
当点处的切线和直线平行时，的值最小，结合导数和解析式求得点，再由点到直线距离公式即可求解.
【详解】
设点是直线上任意一点﹐点是曲线上任意一点，当点处的切线和直线平行时，这两条平行线间的距离的值最小﹐
因为直线的斜率等于，
曲线的导数，令，
可得或(舍去)，故此时点的坐标为，，
故选：A.
21．（2022·全国·高三专题练习（理））曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可知曲线上的点到直线的最短距离即与平行的切线的切点到直线的距离，因此根据导数的几何意义先求出切点即可求出结果.
【详解】
，所以，设曲线在处的切线与直线平行，则，所以，切点，曲线上的点到直线的最短距离即为切点P到直线的距离，
故选：A．
22．（2022·全国·高三专题练习（理））若点P是函数任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
当过点P的切线和平行时，点P到的距离最小，令函数的导数等于的斜率求出切点，再求切点到的距离即可.
【详解】
解：当过点P的切线和平行时，点P到的距离最小，
的斜率为1，
令，解得或，
因为，所以，，
所以曲线上和直线平行的切线的切点为，
到直线的距离为最小距离，
故选：A.
【点睛】
考查求曲线上一点到给定直线的距离的最小值求法，基础题.
23．（2022·全国·高三专题练习）抛物线上的一动点M到直线距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
对求导可求与直线平行且与抛物线相切的切线方程，再利用两平行线的距离公式可得所求的最小距离．
【详解】
因为，所以，
令，得，
所以与直线平行且与抛物线相切的切点，
切线方程为，即，
由两平行线的距离公式可得所求的最小距离
.
故选：A.
知识点五：切线平行、垂直、重合
24．（2022·河南·襄城高中高二阶段练习（理））对于函数图象上的任意一点，都存在另外一点，使得函数的图象在这两个不同点处的切线互相平行，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将问题等价于对于导函数值域中任意的值，至少有两个不同的解，令，结合二次函数、一次函数、三角函数和反比例函数的性质可确定的解的个数，由此可得结果.
【详解】
函数具有性质，等价于对于导函数值域中任意的值，至少有两个不同的解．令，
对于A，，当，即时，有唯一解，不合题意，A错误；
对于B，，令，解得：，即有唯一解，不合题意，B错误；
对于C，，当时，令，即有无数个解，符合题意，C正确；
对于D，，当时，令，解得：，即有唯一解，不合题意，D错误.
故选；C.
25．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））已知函数，有下列结论：
①在上都是增函数；
②若，则；
③若，则；
④若，则曲线上不存在相异两点M，N处的切线互相平行．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．③ C．③④ D．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
①求f(x)导数为，讨论的正负来判断f(x)单调性；
②代入a＝0，，判断的最小值是否恒大于或等于零；
③代入a＝1，根据正负判断f(x)单调性，求其最小值即可；
④，研究的导数判断其单调性即可.
【详解】
①，x＞0
令＝0，即，∵，∴方程有两个不等实数根，设为，∵，故两根异号，即方程必有一个正根，不妨设该正根为，
则在递减，在递增，即f(x)在不单调，故①错误；
②，x＞0，
，
令，则.
，g(x)在单调递减，在单调递增，故，故②错误；
③，，，
故f(x)在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，故，
故③正确；
④，x＞0，令h(x)＝，则＝＞0，
∴是x＞0时的单调递增函数，
故f(x)不存在两个相等的导数值，即不存在相异的两点切线平行.故④正确.
故选：C.
【点睛】
本题的关键点是熟练的运用导数研究函数的单调性，熟练掌握利用单调性求函数的最值.
26．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝x2＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为（ ）
A． B．1
C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
求出导函数，由切线垂直斜率乘积为得的关系，计算，用基本不等式求最小值得结论．
【详解】
因为x1＜x2＜0，f(x)＝x2＋2x，
所以f′(x)＝2x＋2，
所以函数f(x)在点A，B处的切线的斜率分别为f′(x1)，f′(x2)，
因为函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，
所以f′(x1)f′(x2)＝－1．
所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，
所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0，
所以x2－x1＝ [－(2x1＋2)＋(2x2＋2)]≥＝1，当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，
即x1＝－，x2＝－时等号成立．
所以x2－x1的最小值为1．
故选：B．
27．（2022·全国·高三专题练习）若函数的图象上存在两个不同的点，使得曲线在这两点处的切线重合，称函数为“自重合”函数．下列函数中是“自重合”函数的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
切线在两点处切线重合，先保证在不同点处导数相同，则A,B错误，导数相同的情况下，确定切线相同，故C错误；D选项中，能够找到导数相同，且切线相同的两个点，所以正确
【详解】
若曲线在这两点处的切线重合，首先要保证两点处导数相同；A选项中，；B选项中，；导数为单调函数，切点不同时，导数值不同，所以切线不可能重合，所以错误；
C选项中，，若斜率相同，则切点为和，代入解得切线方程分别为：和，若切线重合，则，此时两切点为同一点，不符合题意，故C错误；
D选项中，，令得：，则有点，切线分别为和，存在不同的两点使得切线重合，故D正确
故选：D
【点睛】
题目是新定义的题型，本质是求不同两点处的切线，保证切线相同，所以可以先保证斜率相同，在斜率相同的情况下，求出切线所过的点，写出切线方程，保证方程相同
28．（2022·全国·高三专题练习）已知函数其中是实数.设，为该函数图象上的两点，且.若函数的图象在点，处的切线互相垂直，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合导数的几何意义得，转化条件得，利用基本不等式即可得解.
【详解】
点处的切线斜率为，点处的切线斜率为，
故当点处的切线与点处的切线垂直时，有；
当时，对函数求导得.
因为，所以，所以，.
因此
当且仅当，即且时等号成立.
所以函数的图象在点，处的切线互相垂直时，的最小值为1.
故选：D.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义、导数的计算以及基本不等式的应用，属于中档题.
29．（2022·全国·高三专题练习）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质．下列函数中具有T性质的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设函数的图象上存在两点、，由已知可得：，依次求导分析可得解.
【详解】
设函数的图象上存在两点、，
若，则图象在这两点处的切线互相垂直.
（1）对求导可得：
则，故A项不可能；
（2）对求导可得：
，故B项不可能；
（3）对求导可得：
，故C项不可能；
（3）对求导可得：
使得.
故选：D
【点睛】
本题考查了导数的几何意义和直线垂直的斜率关系，考查了转化能力，属于中档题.
30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象在和处的切线互相垂直，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求得，由结合条件可求得的值.
【详解】
，，
由题意可得，化简得，
，.
故选：A,
【点睛】
本题考查导数的几何意义的应用，考查利用导数求解函数的切线斜率，考查计算能力，属于中等题.
知识点六：公切线
31．（2022·全国·高三专题练习（理））若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设出两个切点坐标,求得两个曲线的导数,根据导数的几何意义可得.将切点代入两条曲线,联立方程可分别求得,代入其中一条曲线即可求得的值.
【详解】
直线是曲线的切线,也是曲线的切线,
则两个切点都在直线上,设两个切点分别为
则两个曲线的导数分别为,
由导数的几何意义可知,则
且切点在各自曲线上,所以
则将代入可得
可得
由可得
代入中可知
所以
故选:B
【点睛】
本题考查了导数的几何意义,两条曲线的公切线性质及求法,参数较多,化简较为繁琐,属于中档题.
32．（2022·全国·高三专题练习）若函数与函数有公切线，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出导数，设出切点，求出切线，将其与联立，通过判别式为零，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到的最小值.
【详解】
解：，设公切线与曲线相切的切点为，
则公共切线为，
即，其与相切，
联立消去得：，
则有解，
即有解，
令，，
则，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，
则，所以实数的最小值为.
故选：A.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，主要考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题.
33．（2022·全国·高三专题练习）函数与有公切线，则实数的值为
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】A
【解析】
设两个切点A和B，然后求函数的导函数，由的导函数分析求解参数，再由的导函数和公切线分析得出关于的方程组，求解即可得出答案.
【详解】
设公切线与两个函数与图象的切点分别为A和B，由，，可得解得，所以有化简得，令，则恒成立，即得函数在定义域上为增函数，又因，则可解得方程，，则由解得.
故选：A.
【点睛】
本题考查了函数导函数的求解，考查了函数公切线性质的分析与综合应用，属于中档题.
34．（2022·全国·高三专题练习）若函数f（x）＝alnx（a∈R）与函数g（x）在公共点处有共同的切线，则实数a的值为（ ）
A．4 B． C． D．e
【答案】C
【解析】
【分析】
根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出a的值和切点坐标，问题可解.
【详解】
由已知得，
设切点横坐标为t，∴，解得.
故选：C.
【点睛】
本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于中档题.
35．（2022·全国·高三专题练习（理））函数在处的切线也是函数图象的一条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
利用导数的几何意义得出在的切线的方程，设切线在函数上的切点为，结合导数的几何意义得出在点的切线方程，并将点代入切线方程和函数，求出，，再代入，即可得出的值.
【详解】
∵，∴，所以在的切线的方程为直线
设切线在函数上的切点为
由，得出
故切线方程为
由整理得，即
所以，所以
解得，
代入，解得.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.
36．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线（）为曲线与曲线的公切线，则l的纵截距（ ）
A．0 B．1 C．e D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设切点分别为，，分别求出切线方程，再令切线方程相等；
【详解】
设l与的切点为，则由，有.
同理，设l与的切点为，由，有.
故 解得 或 则或.
因，所以l为时不成立.故，
故选：D.
37．（2022·山西晋中·二模（理））若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设公切线与曲线的切点为，，利用导数的几何意义分别求和上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.
【详解】
设公切线与曲线和的交点分别为，，其中，
对于有，则上的切线方程为，即，
对于有，则上的切线方程为，即，
所以，有，即，
令，，
令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，故，即.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：应用导数几何意义求两条曲线的含参切线方程，由公切线对应系数相等得到相关参数方程，进而构造函数研究单调性求参数范围.
38．（2022·全国·高三专题练习）若仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出函数上切点处的切线方程和上切点处的切线方程，消去，得，该问题转化为有唯一的值时，求值，即可通过导数研究函数的单调性即可得到答案.
【详解】
设直线与的切点为，
由可知，该直线的斜率为，即该直线的方程为，
即为，
设直线与的切点为，
由可知，该直线的斜率为，即该直线的方程为，
即为，
∵仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切，
∴ ，∴即，
令，则，
当时，即，当时，即，
即在上单调递增，在上单调递减，则在处取得最大值，，图像为
∵切线只有一条，即的值唯一，∴只有，
故选：.
39．（2022·河北衡水·高二期末）已知直线与曲线和曲线都相切，则直线在轴上的截距为（ ）．
A． B． C．或 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别设出切点坐标，利用导数求切线斜率，根据斜率相等及切点坐标可得直线方程及截距.
【详解】
设，，
则，．
设上的切点为，上的切点为，
则，则．
又，，
所以，
故，．
故．
故选：B．
40．（2022·全国·高三专题练习）已知A，B是函数，图象上不同的两点，若函数在点A、B处的切线重合，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据导数的几何意义写出函数在点A、B处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出，令函数，利用导数求其范围，可得实数a的取值范围.
【详解】
当时，的导数为；
当时，的导数为，
设，为函数图象上的两点，且，
当或时，，故，
当时，函数在处的切线方程为：；
当时，函数在处的切线方程为
两直线重合的充要条件是①，②，
由①②得：，，
令，则，
令，则，
由，得，即时有最大值，
在上单调递减，则.
a的取值范围是.
故选：B.
41．（2022·全国·高二单元测试）如果直线与两条曲线都相切，则称为这两条曲线的公切线，如果曲线和曲线有且仅有两条公切线，那么常数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
把曲线和曲线有且仅有两条公切线，转化为有且仅有两解.
记，利用导数研究单调性和极值，建立不等式，即可解得.
【详解】
曲线上一点，，切线方程为：.
曲线上一点，，切线方程为：.
若直线与两条曲线都相切，则有，消去得：.
因为曲线和曲线有且仅有两条公切线，
所以有且仅有两解.
记，则.
令，得，所以在上单增；，得，所以在上单增.
所以.
又有，解得：（舍）或.
当，则；当，则；
而，所以要使有且仅有两解，
只需，解得：.
故选：B
【点睛】
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
42．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求出两函数的导函数，再分别设直线与两曲线的切点的横坐标，由于斜率为1即导数值为1分别求出切点横坐标，可得切线方程，再根据切线方程系数相等得与的关系式，再根据二次函数性质可求出b的取值范围．
【详解】
，，设斜率为的切线在，上的切点横坐标分别为，，
由题知，∴，，
两点处的切线方程分别为和，
故，即.
故选：D.
一、单选题
1．（2022·山西·灵丘县第一中学校高二阶段练习）已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出直线与相切时的斜率，作出函数与的图象，由数形结合求解即可.
【详解】
设与相切于点，
则，解得，此时，
由得，由可得，此时切点为，
作出函数与的图象如图，
由图象可知，当或时，直线与有三个不同的交点，
故选：C
2．（2022·重庆市第十一中学校高二阶段练习）二次函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为，为正整数，，若数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义可求得在点处的切线方程，令可求得，由此可证得数列为等比数列，利用等比数列求和公式可求得结果.
【详解】
，在点处的切线斜率，
在点处的切线方程为：，即，
令，解得：，即，
数列是以为首项，为公比的等比数列，.
故选：C.
3．（2022·湖北·荆门市龙泉中学高二阶段练习）若是的切线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义可求得在处的切线方程，由此可用表示，得到，设，利用导数可求得的值域，由此可得所求范围.
【详解】
设切点坐标为，
，，又，，
，
令，则，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，又当时，，，
即的取值范围为.
故选：A.
4．（2022·四川·棠湖中学高二阶段练习（文））若曲线存在垂直于y轴的切线，则a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
问题等价于f(x)的导数在x＞0时有零点，再参变分离转化为函数交点问题.
【详解】
依题意，f(x)存在垂直与y轴的切线，即存在切线斜率的切线，
又，，
∴有正根，即有正根，
即函数y＝－2a与函数的图像有交点，
令，则g(t)＝，∴g(t)≥g()＝，
∴－2a≥，即a≤.
故选：C.
5．（2022·河南平顶山·高二期末（文））设函数的图象在点处的切线为，则与坐标轴围成的三角形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义求得切线为，求x、y轴上截距，进而可得与坐标轴围成的三角形面积，利用导数研究在上的最值即可得结果.
【详解】
由题设，，则，又，
所以切线为，
当时，当时，又，
所以与坐标轴围成的三角形面积为，
则，当时，当时，
所以在上递减，在上递增，即.
故选：C
6．（2022·浙江·镇海中学高二期末）点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
动点在曲线，则找出曲线上某点的斜率与直线的斜率相等的点为距离最小的点，利用导数的几何意义即可
【详解】
不妨设，定义域为：
对求导可得：
令
解得：（其中舍去）
当时，，则此时该点到直线的距离为最小
根据点到直线的距离公式可得：
解得：
故选：A
7．（2022·江苏镇江·高二期末）若点是函数图象上的动点（其中的自然对数的底数），则到直线的距离最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，，设与平行且与相切的直线与切于，由导数的几何意义可求出点的坐标，则到直线的距离最小值为点到直线的距离，再求解即可.
【详解】
解：设，，
设与平行且与相切的直线与切于
所以．
所以
则到直线的距离为，
即到直线的距离最小值为，
故选：A．
二、多选题
8．（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）已知函数，若f（x）的图象存在两条相互垂直的切线，则a的值可以是（ ）
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
【答案】AB
【解析】
【分析】
由题可得：，利用基本不等式可得：，由条件知，即可得出答案.
【详解】
∵函数，定义域为（0，＋∞），∴，
∴，当且仅当时，取等号，
要使f（x）的图象存在两条相互垂直的切线，则，
所以的值必有一正一负，
当时，，易知符合题意，
当时，，易知符合题意，
当时，，不符题意，
当时，，不符题意，
所以a的值可以是－4或－3.
故选：AB.
9．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
设切点坐标为，由导数求切线斜率，然后由直线过得斜率，从而求，根据有两解可得．
【详解】
设切点为，由题意，
所以，整理得，此方程有两个不等的实根，
所以，或．
故选：AD．
10．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）已知直线与抛物线相切，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
设出切点坐标，求导，借助导数的几何意义列出方程组求解作答.
【详解】
设切点坐标为，而抛物线方程为，求导得，
因为直线与抛物线相切，则有，解得，则，，
所以．
故选：AB
11．（2022·江苏·高二单元测试）若函数的图象上存在两个不同的点A，B，使得曲线在这两点处的切线重合，称函数 具有Z性质.下列函数中具有Z性质的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
由题意可得，函数具有性质指函数的图象在两个不同的点处的切线是重合的，即两个不同的点所对应的导数值相等，且函数图象在该两点处的切线方程也相同.
导函数为增函数可判断A；利用导数相等，求解方程，可判断B、C、D.
【详解】
由题意可得，函数具有性质指函数的图象在两个不同的点处的切线是重合的，即两个不同的点所对应的导数值相等，且函数图象在该两点处的切线方程也相同.
对于A选项，，则，导函数为增函数，不存在两个不同的使得导数值相等，所以A选项不符合；
对于B选项，，则，令，可得或，当时，所以函数的图象在和处的切线重合，切线方程为，所以B选项符合；
对于C选项，，则，设两切点分别为和，由两切点处的导数值相等得，解得，令，则，两切点处的导数值均为，两切点连线的斜率为，则，得，两切点重合，不符合题意，所以C选项不符合；
对于D选项，，则，设两切点的坐标分别为和，则，所以，取，
则，两切点处的导数值均为1，两切点连线的斜率为，所以两切点处的导数值等于两切点连线的斜率，符合Z性质，所以D选项符合.
故选：BD.
三、填空题
12．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）已知点P是曲线上一动点，则曲线在点P处的切线的斜率最大为________．
【答案】1
【解析】
【分析】
求导，再利用基本不等式求解.
【详解】
函数的定义域是R，
求导得，而，
所以曲线在点处的切线的斜率：
，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：1
13．（2022·重庆市天星桥中学高二阶段练习）已知为直线上的动点，为函数图象上的动点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
求得的导数，由题意可得与直线平行的直线和曲线相切，然后求出的值最小，设出切点，求出切线方程，再由两直线平行的距离公式，得到的最小值．
【详解】
解：函数的导数为，
设与直线平行的直线与曲线相切，
设切点为，则，
所以，所以，所以，所以，
所以切线方程为，
可得的最小值为，
故答案为：．
14．（2022·山西吕梁·高二期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义，结合待定系数法进行求解即可.
【详解】
设曲线的切点为：，
由，所以过该切点的切线斜率为：，
于是切线方程为：，
因此有：，
设曲线的切点为：，
由，所以过该切点的切线斜率为：，
于是切线方程为：，
因此有：，
因为，
，
即，
因此，
故答案为：
【点睛】
关键点睛：根据导数的几何意义进行求解是解题的关键.
15．（2022·江苏盐城·高二期末）过点与曲线相切的直线有且只有两条，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
设切点为，则由导数的几何意义结合斜率公式可得，由题意可知此方程有两个解，构造函数，利用导求出其单调区间和最值，从而可求出的范围，进而可求得m的取值范围
【详解】
设切点为，由，得，
所以切线的斜率为，
因为切线经过点，
所以，化简得，
由题意可知此方程有两个解，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最大值，即，
因为时，，当时，，
所以当时，方程有两个解，
所以，
所以实数m的取值范围是，
故答案为：
16．（2022·青海海东·高二期末（文））已知曲线与曲线有相同的切线，则________．
【答案】0
【解析】
【分析】
设切点分别为，．利用导数的几何意义可得，则 ．由，，计算可得，进而求得点坐标代入方程即可求得结果.
【详解】
设切点分别为，．
由题意可得，则，即．
因为，，所以，即，解得，
所以，则，解得．
故答案为：0
17．（2022·江苏·泰州中学高二开学考试）若实数，，，满足，则的最小值为______.
【答案】2
【解析】
【分析】
由，，故可理解为曲线上一点与直线上一点间的距离的平方，采用数形结合和对函数求导可知，函数在处的切线方程与直线之间的距离的平方为我们要求的的最小值.
【详解】
由，，故可理解为曲线上一点与直线上一点间的距离的平方，对于函数，令，故可得，即函数在处的切线方程为，切线方程与直线平行，则函数在处的切线方程与直线之间的距离，故的最小值为.
故答案为：2.
18．（2022·河南·郑州四中高二阶段练习（文））设点是曲线上的任意一点，则到直线的最小距离是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
对函数求导，由题意得在点的切线与直线平行，从而求出点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可
【详解】
由题意得在点的切线与直线平行
设曲线上与直线平行的切线的切点，
由的斜率为，
则由，解得，故切点为
切点到的距离．
故答案为：
专题05 切线问题经典考法
知识点一：在点P的切线
1．（2022·安徽滁州·高二阶段练习）曲线在处的切线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由导数的几何意义即可求解.
【详解】
解：由，得，所以，，
所以曲线在处的切线的方程为，即．
故选：B.
2．（2022·全国·模拟预测（文））已知在处的切线倾斜角为，则的值为（ ）
A．7 B． C．5 D．-3
【答案】B
【解析】
【分析】
由导数的几何意义求出切线斜率得出，再由二倍角的正余弦公式及同角三角函数的基本关系化简求值即可.
【详解】
因为，
所以，
所以
.
故选：B
3．（2022·广东·普宁市华侨中学高二阶段练习）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求得，得到且，即可求得切线的方程.
【详解】
由题意，函数，可得，
所以且，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故选：A.
4．（2022·甘肃·一模（文））曲线在点处的切线方程为，则实数（ ）
A．-16 B．16 C．-20 D．20
【答案】B
【解析】
【分析】
直接求出切线方程，即可得到答案.
【详解】
函数的导数为.
所以，.
所以在点处的切线方程为.故b=16.
故选：B
5．（2022·湖南·一模）若曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义，结合平行线的性质进行求解即可.
【详解】
由，显然在曲线上，
所以曲线在点处的切线的斜率为，
因此切线方程为：，
直线的斜率为，
因为曲线在点处的切线与直线平行，
所以，
故选：C
知识点二：过点P切线
6．（2022·河南·模拟预测（理））已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设出曲线上的切点，求出导数，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的最值及其图象，即可得到a的范围.
【详解】
设曲线与其切线交于
切线方程l：，
由导数与切线方程斜率关系可得……①
又切线过点
要保证过点可以作曲线的两条切线，可得不能在曲线上
……②
点A在曲线上，故……③
由①②③式可得：
，解得
令
则
令，故
故当时，；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
即在时取得极大值，故
作出草图如下：
得仅在范围内由2个对应的值
即时，有2个解，此时存在2条切线方程
综上所述，的取值范围为
故选：B.
7．（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）若存在过点（0，－2）的直线与曲线和曲线都相切，则实数a的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－2
【答案】A
【解析】
【分析】
在两曲线上设切点，得到切线，又因为（0，－2）在两条切线上,列方程即可.
【详解】
的导函数为，的导函数为，
若直线与和的切点分别为（，），，
∴过（0，－2）的直线为、，
则有，可得．
故选：A.
8．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））若过点可以作曲线且的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小关系与有关
【答案】D
【解析】
【分析】
设切点为：，写出切线方程，根据点在切线上，得到，根据过点可以作曲线且的两条切线，由方程有两个不同的根求解.
【详解】
设切点为：，
则，
所以切线方程为，
因为点在切线上，
所以，
即，
令，
则 ，
令 ，得，
当 时，，当 时，，
所以当时， 取得极小值 ，
若，当时，；
若时，当时，；
因为过点可以作曲线且的两条切线，
所以且，即，
所以与的大小关系与有关，
故选：D
9．（2022·山西长治·模拟预测（理））当时，过点均可以作曲线的两条切线，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设过点的切线与相切于，把题意转化为关于m的方程有两解.令.作出与的图像，有两个交点求出.记，利用导数求出的最大值，即可求出.
【详解】
设过点的切线与相切于，
则有，消去n得：.
因为过点均可以作曲线的两条切线，
所以关于m的方程有两解.
即有两解.
令.只需与有两个交点.
对于，则.
令，解得：；令，解得：.
所以在上单调递减，在单调递增.
作出的草图如图所示：
要使与有两个交点，只需.
记，.
令，解得；令，解得；
所以在上单调递增，在单调递增.
所以的最大值为，
所以.
故选：C
【点睛】
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围；
（4）利用导数研究零点.
10．（2022·江苏·南京航空航天大学苏州附属中学高二阶段练习）已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
设切点为，根据导数的几何意义求得在切点处的切线方程，再将代入，求得的值，即可得解.
【详解】
解：因为，所以，
设切点为，
所以在切点处的切线方程为，
又在切线上，所以，
即，
整理得，解得或，
所以过点可作曲线的切线的条数为2.
故选：C．
知识点三：已知切线（斜率）求参数
11．（2022·重庆市第七中学校高二阶段练习）已知直线是的切线，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设切点为，求导，利用导数的几何意义得切线的斜率，再代入切线方程即可求解出，从而得值.
【详解】
设切点为，对函数求导，则，所以切线斜率为，又因为直线是的切线，所以，所以.
故选：C
12．（2022·陕西安康·高三期末（文））曲线过点的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设出切点，结合导数列方程，由此求出切点坐标并求出切线的斜率，进而可得切线方程.
【详解】
由题意可得点不在曲线上，
设切点为，因为，
所以所求切线的斜率，
所以.
因为点是切点，所以，
所以，即.
设，明显在上单调递增，且，
所以有唯一解，则所求切线的斜率，
故所求切线方程为.
故选：B.
13．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）直线与曲线相切，则实数k的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义即可求出切点，从而得到值．
【详解】
设直线与曲线的切点为
由，所以，解得
所以
故选：C
14．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））函数存在与直线平行（或重合）的切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义，将问题转化为有解，求得参数范围.
【详解】
由题意，函数的定义域，且，
因为函数存在与直线平行（或重合）的切线，
即有解，即在有解，
因为，可得，则，可得，
所以，即实数的取值范围是.
故选：C.
15．（2022·山东师范大学附中高二阶段练习）函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A． B．1 C．2 D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
由于点在直线，则可求出，再利用导数的几何意义可得，从而可求出结果
【详解】
因为函数的图象在点处的切线方程是，
所以，
所以，
故选：B
16．（2022·湖南·长沙县实验中学高二阶段练习）已知函数在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．－2 B．－1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
求出的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，解方程即可得到所求值.
【详解】
函数的导数为，
∴，即函数在处的切线斜率为，
由切线与直线垂直，
可得，
解得.
故选：B.
17．（2022·湖南·长沙县实验中学高二阶段练习）已知直线与函数的图象相切，则函数不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求导函数，判断是否有解，即得.
【详解】
对于A，∵，且有解，故A有可能；
对于B，∵，且有解，故B有可能；
对于C，∵，
设，
则函数在上连续，且，
故函数在上存在零点，即在上有解，故C有可能；
对于D，∵，令，则，
∴当时函数为减函数，当时函数为增函数，
∴当时，函数有最小值，，
∴，即无解，故D不可能.
故选：D.
知识点四：最值问题
18．（2022·全国·高三专题练习）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出平行于直线且与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】
设平行于直线且与曲线相切的切线对应切点为，
由，则，
令，
解得或（舍去），
故点P的坐标为，
故点P到直线的最小值为：.
故选：A.
19．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将问题转化为直线与曲线上的点的距离最小值，利用导数的几何意义求上斜率为1的切线上切点坐标，再应用点线距离公式求最小距离，即可得m的范围.
【详解】
设，则T的几何意义是直线上的点与曲线上的点的距离，
将直线平移到与面线相切时，切点Q到直线的距离最小．
而，令，则，可得，
此时，Q到直线的距离，故，
所以．
故选：B
【点睛】
关键点点睛：将题设不等式关系转化为求直线与曲线上点的最小距离且，结合导数的几何意义、点线距离公式求m的范围.
20．（2022·山东省淄博第一中学高三开学考试）动直线分别与直线，曲线相交于两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
当点处的切线和直线平行时，的值最小，结合导数和解析式求得点，再由点到直线距离公式即可求解.
【详解】
设点是直线上任意一点﹐点是曲线上任意一点，当点处的切线和直线平行时，这两条平行线间的距离的值最小﹐
因为直线的斜率等于，
曲线的导数，令，
可得或(舍去)，故此时点的坐标为，，
故选：A.
21．（2022·全国·高三专题练习（理））曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可知曲线上的点到直线的最短距离即与平行的切线的切点到直线的距离，因此根据导数的几何意义先求出切点即可求出结果.
【详解】
，所以，设曲线在处的切线与直线平行，则，所以，切点，曲线上的点到直线的最短距离即为切点P到直线的距离，
故选：A．
22．（2022·全国·高三专题练习（理））若点P是函数任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
当过点P的切线和平行时，点P到的距离最小，令函数的导数等于的斜率求出切点，再求切点到的距离即可.
【详解】
解：当过点P的切线和平行时，点P到的距离最小，
的斜率为1，
令，解得或，
因为，所以，，
所以曲线上和直线平行的切线的切点为，
到直线的距离为最小距离，
故选：A.
【点睛】
考查求曲线上一点到给定直线的距离的最小值求法，基础题.
23．（2022·全国·高三专题练习）抛物线上的一动点M到直线距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
对求导可求与直线平行且与抛物线相切的切线方程，再利用两平行线的距离公式可得所求的最小距离．
【详解】
因为，所以，
令，得，
所以与直线平行且与抛物线相切的切点，
切线方程为，即，
由两平行线的距离公式可得所求的最小距离
.
故选：A.
知识点五：切线平行、垂直、重合
24．（2022·河南·襄城高中高二阶段练习（理））对于函数图象上的任意一点，都存在另外一点，使得函数的图象在这两个不同点处的切线互相平行，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将问题等价于对于导函数值域中任意的值，至少有两个不同的解，令，结合二次函数、一次函数、三角函数和反比例函数的性质可确定的解的个数，由此可得结果.
【详解】
函数具有性质，等价于对于导函数值域中任意的值，至少有两个不同的解．令，
对于A，，当，即时，有唯一解，不合题意，A错误；
对于B，，令，解得：，即有唯一解，不合题意，B错误；
对于C，，当时，令，即有无数个解，符合题意，C正确；
对于D，，当时，令，解得：，即有唯一解，不合题意，D错误.
故选；C.
25．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））已知函数，有下列结论：
①在上都是增函数；
②若，则；
③若，则；
④若，则曲线上不存在相异两点M，N处的切线互相平行．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．③ C．③④ D．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
①求f(x)导数为，讨论的正负来判断f(x)单调性；
②代入a＝0，，判断的最小值是否恒大于或等于零；
③代入a＝1，根据正负判断f(x)单调性，求其最小值即可；
④，研究的导数判断其单调性即可.
【详解】
①，x＞0
令＝0，即，∵，∴方程有两个不等实数根，设为，∵，故两根异号，即方程必有一个正根，不妨设该正根为，
则在递减，在递增，即f(x)在不单调，故①错误；
②，x＞0，
，
令，则.
，g(x)在单调递减，在单调递增，故，故②错误；
③，，，
故f(x)在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，故，
故③正确；
④，x＞0，令h(x)＝，则＝＞0，
∴是x＞0时的单调递增函数，
故f(x)不存在两个相等的导数值，即不存在相异的两点切线平行.故④正确.
故选：C.
【点睛】
本题的关键点是熟练的运用导数研究函数的单调性，熟练掌握利用单调性求函数的最值.
26．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝x2＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为（ ）
A． B．1
C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
求出导函数，由切线垂直斜率乘积为得的关系，计算，用基本不等式求最小值得结论．
【详解】
因为x1＜x2＜0，f(x)＝x2＋2x，
所以f′(x)＝2x＋2，
所以函数f(x)在点A，B处的切线的斜率分别为f′(x1)，f′(x2)，
因为函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，
所以f′(x1)f′(x2)＝－1．
所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，
所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0，
所以x2－x1＝ [－(2x1＋2)＋(2x2＋2)]≥＝1，当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，
即x1＝－，x2＝－时等号成立．
所以x2－x1的最小值为1．
故选：B．
27．（2022·全国·高三专题练习）若函数的图象上存在两个不同的点，使得曲线在这两点处的切线重合，称函数为“自重合”函数．下列函数中是“自重合”函数的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
切线在两点处切线重合，先保证在不同点处导数相同，则A,B错误，导数相同的情况下，确定切线相同，故C错误；D选项中，能够找到导数相同，且切线相同的两个点，所以正确
【详解】
若曲线在这两点处的切线重合，首先要保证两点处导数相同；A选项中，；B选项中，；导数为单调函数，切点不同时，导数值不同，所以切线不可能重合，所以错误；
C选项中，，若斜率相同，则切点为和，代入解得切线方程分别为：和，若切线重合，则，此时两切点为同一点，不符合题意，故C错误；
D选项中，，令得：，则有点，切线分别为和，存在不同的两点使得切线重合，故D正确
故选：D
【点睛】
题目是新定义的题型，本质是求不同两点处的切线，保证切线相同，所以可以先保证斜率相同，在斜率相同的情况下，求出切线所过的点，写出切线方程，保证方程相同
28．（2022·全国·高三专题练习）已知函数其中是实数.设，为该函数图象上的两点，且.若函数的图象在点，处的切线互相垂直，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合导数的几何意义得，转化条件得，利用基本不等式即可得解.
【详解】
点处的切线斜率为，点处的切线斜率为，
故当点处的切线与点处的切线垂直时，有；
当时，对函数求导得.
因为，所以，所以，.
因此
当且仅当，即且时等号成立.
所以函数的图象在点，处的切线互相垂直时，的最小值为1.
故选：D.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义、导数的计算以及基本不等式的应用，属于中档题.
29．（2022·全国·高三专题练习）若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质．下列函数中具有T性质的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设函数的图象上存在两点、，由已知可得：，依次求导分析可得解.
【详解】
设函数的图象上存在两点、，
若，则图象在这两点处的切线互相垂直.
（1）对求导可得：
则，故A项不可能；
（2）对求导可得：
，故B项不可能；
（3）对求导可得：
，故C项不可能；
（3）对求导可得：
使得.
故选：D
【点睛】
本题考查了导数的几何意义和直线垂直的斜率关系，考查了转化能力，属于中档题.
30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象在和处的切线互相垂直，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求得，由结合条件可求得的值.
【详解】
，，
由题意可得，化简得，
，.
故选：A,
【点睛】
本题考查导数的几何意义的应用，考查利用导数求解函数的切线斜率，考查计算能力，属于中等题.
知识点六：公切线
31．（2022·全国·高三专题练习（理））若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设出两个切点坐标,求得两个曲线的导数,根据导数的几何意义可得.将切点代入两条曲线,联立方程可分别求得,代入其中一条曲线即可求得的值.
【详解】
直线是曲线的切线,也是曲线的切线,
则两个切点都在直线上,设两个切点分别为
则两个曲线的导数分别为,
由导数的几何意义可知,则
且切点在各自曲线上,所以
则将代入可得
可得
由可得
代入中可知
所以
故选:B
【点睛】
本题考查了导数的几何意义,两条曲线的公切线性质及求法,参数较多,化简较为繁琐,属于中档题.
32．（2022·全国·高三专题练习）若函数与函数有公切线，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出导数，设出切点，求出切线，将其与联立，通过判别式为零，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到的最小值.
【详解】
解：，设公切线与曲线相切的切点为，
则公共切线为，
即，其与相切，
联立消去得：，
则有解，
即有解，
令，，
则，令，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，
则，所以实数的最小值为.
故选：A.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，主要考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题.
33．（2022·全国·高三专题练习）函数与有公切线，则实数的值为
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】A
【解析】
设两个切点A和B，然后求函数的导函数，由的导函数分析求解参数，再由的导函数和公切线分析得出关于的方程组，求解即可得出答案.
【详解】
设公切线与两个函数与图象的切点分别为A和B，由，，可得解得，所以有化简得，令，则恒成立，即得函数在定义域上为增函数，又因，则可解得方程，，则由解得.
故选：A.
【点睛】
本题考查了函数导函数的求解，考查了函数公切线性质的分析与综合应用，属于中档题.
34．（2022·全国·高三专题练习）若函数f（x）＝alnx（a∈R）与函数g（x）在公共点处有共同的切线，则实数a的值为（ ）
A．4 B． C． D．e
【答案】C
【解析】
【分析】
根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出a的值和切点坐标，问题可解.
【详解】
由已知得，
设切点横坐标为t，∴，解得.
故选：C.
【点睛】
本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于中档题.
35．（2022·全国·高三专题练习（理））函数在处的切线也是函数图象的一条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
利用导数的几何意义得出在的切线的方程，设切线在函数上的切点为，结合导数的几何意义得出在点的切线方程，并将点代入切线方程和函数，求出，，再代入，即可得出的值.
【详解】
∵，∴，所以在的切线的方程为直线
设切线在函数上的切点为
由，得出
故切线方程为
由整理得，即
所以，所以
解得，
代入，解得.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.
36．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线（）为曲线与曲线的公切线，则l的纵截距（ ）
A．0 B．1 C．e D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设切点分别为，，分别求出切线方程，再令切线方程相等；
【详解】
设l与的切点为，则由，有.
同理，设l与的切点为，由，有.
故 解得 或 则或.
因，所以l为时不成立.故，
故选：D.
37．（2022·山西晋中·二模（理））若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设公切线与曲线的切点为，，利用导数的几何意义分别求和上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.
【详解】
设公切线与曲线和的交点分别为，，其中，
对于有，则上的切线方程为，即，
对于有，则上的切线方程为，即，
所以，有，即，
令，，
令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，故，即.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：应用导数几何意义求两条曲线的含参切线方程，由公切线对应系数相等得到相关参数方程，进而构造函数研究单调性求参数范围.
38．（2022·全国·高三专题练习）若仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出函数上切点处的切线方程和上切点处的切线方程，消去，得，该问题转化为有唯一的值时，求值，即可通过导数研究函数的单调性即可得到答案.
【详解】
设直线与的切点为，
由可知，该直线的斜率为，即该直线的方程为，
即为，
设直线与的切点为，
由可知，该直线的斜率为，即该直线的方程为，
即为，
∵仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切，
∴ ，∴即，
令，则，
当时，即，当时，即，
即在上单调递增，在上单调递减，则在处取得最大值，，图像为
∵切线只有一条，即的值唯一，∴只有，
故选：.
39．（2022·河北衡水·高二期末）已知直线与曲线和曲线都相切，则直线在轴上的截距为（ ）．
A． B． C．或 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分别设出切点坐标，利用导数求切线斜率，根据斜率相等及切点坐标可得直线方程及截距.
【详解】
设，，
则，．
设上的切点为，上的切点为，
则，则．
又，，
所以，
故，．
故．
故选：B．
40．（2022·全国·高三专题练习）已知A，B是函数，图象上不同的两点，若函数在点A、B处的切线重合，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据导数的几何意义写出函数在点A、B处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出，令函数，利用导数求其范围，可得实数a的取值范围.
【详解】
当时，的导数为；
当时，的导数为，
设，为函数图象上的两点，且，
当或时，，故，
当时，函数在处的切线方程为：；
当时，函数在处的切线方程为
两直线重合的充要条件是①，②，
由①②得：，，
令，则，
令，则，
由，得，即时有最大值，
在上单调递减，则.
a的取值范围是.
故选：B.
41．（2022·全国·高二单元测试）如果直线与两条曲线都相切，则称为这两条曲线的公切线，如果曲线和曲线有且仅有两条公切线，那么常数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
把曲线和曲线有且仅有两条公切线，转化为有且仅有两解.
记，利用导数研究单调性和极值，建立不等式，即可解得.
【详解】
曲线上一点，，切线方程为：.
曲线上一点，，切线方程为：.
若直线与两条曲线都相切，则有，消去得：.
因为曲线和曲线有且仅有两条公切线，
所以有且仅有两解.
记，则.
令，得，所以在上单增；，得，所以在上单增.
所以.
又有，解得：（舍）或.
当，则；当，则；
而，所以要使有且仅有两解，
只需，解得：.
故选：B
【点睛】
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
42．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求出两函数的导函数，再分别设直线与两曲线的切点的横坐标，由于斜率为1即导数值为1分别求出切点横坐标，可得切线方程，再根据切线方程系数相等得与的关系式，再根据二次函数性质可求出b的取值范围．
【详解】
，，设斜率为的切线在，上的切点横坐标分别为，，
由题知，∴，，
两点处的切线方程分别为和，
故，即.
故选：D.
一、单选题
1．（2022·山西·灵丘县第一中学校高二阶段练习）已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出直线与相切时的斜率，作出函数与的图象，由数形结合求解即可.
【详解】
设与相切于点，
则，解得，此时，
由得，由可得，此时切点为，
作出函数与的图象如图，
由图象可知，当或时，直线与有三个不同的交点，
故选：C
2．（2022·重庆市第十一中学校高二阶段练习）二次函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为，为正整数，，若数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义可求得在点处的切线方程，令可求得，由此可证得数列为等比数列，利用等比数列求和公式可求得结果.
【详解】
，在点处的切线斜率，
在点处的切线方程为：，即，
令，解得：，即，
数列是以为首项，为公比的等比数列，.
故选：C.
3．（2022·湖北·荆门市龙泉中学高二阶段练习）若是的切线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义可求得在处的切线方程，由此可用表示，得到，设，利用导数可求得的值域，由此可得所求范围.
【详解】
设切点坐标为，
，，又，，
，
令，则，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，又当时，，，
即的取值范围为.
故选：A.
4．（2022·四川·棠湖中学高二阶段练习（文））若曲线存在垂直于y轴的切线，则a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
问题等价于f(x)的导数在x＞0时有零点，再参变分离转化为函数交点问题.
【详解】
依题意，f(x)存在垂直与y轴的切线，即存在切线斜率的切线，
又，，
∴有正根，即有正根，
即函数y＝－2a与函数的图像有交点，
令，则g(t)＝，∴g(t)≥g()＝，
∴－2a≥，即a≤.
故选：C.
5．（2022·河南平顶山·高二期末（文））设函数的图象在点处的切线为，则与坐标轴围成的三角形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义求得切线为，求x、y轴上截距，进而可得与坐标轴围成的三角形面积，利用导数研究在上的最值即可得结果.
【详解】
由题设，，则，又，
所以切线为，
当时，当时，又，
所以与坐标轴围成的三角形面积为，
则，当时，当时，
所以在上递减，在上递增，即.
故选：C
6．（2022·浙江·镇海中学高二期末）点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
动点在曲线，则找出曲线上某点的斜率与直线的斜率相等的点为距离最小的点，利用导数的几何意义即可
【详解】
不妨设，定义域为：
对求导可得：
令
解得：（其中舍去）
当时，，则此时该点到直线的距离为最小
根据点到直线的距离公式可得：
解得：
故选：A
7．（2022·江苏镇江·高二期末）若点是函数图象上的动点（其中的自然对数的底数），则到直线的距离最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，，设与平行且与相切的直线与切于，由导数的几何意义可求出点的坐标，则到直线的距离最小值为点到直线的距离，再求解即可.
【详解】
解：设，，
设与平行且与相切的直线与切于
所以．
所以
则到直线的距离为，
即到直线的距离最小值为，
故选：A．
二、多选题
8．（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）已知函数，若f（x）的图象存在两条相互垂直的切线，则a的值可以是（ ）
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
【答案】AB
【解析】
【分析】
由题可得：，利用基本不等式可得：，由条件知，即可得出答案.
【详解】
∵函数，定义域为（0，＋∞），∴，
∴，当且仅当时，取等号，
要使f（x）的图象存在两条相互垂直的切线，则，
所以的值必有一正一负，
当时，，易知符合题意，
当时，，易知符合题意，
当时，，不符题意，
当时，，不符题意，
所以a的值可以是－4或－3.
故选：AB.
9．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
设切点坐标为，由导数求切线斜率，然后由直线过得斜率，从而求，根据有两解可得．
【详解】
设切点为，由题意，
所以，整理得，此方程有两个不等的实根，
所以，或．
故选：AD．
10．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）已知直线与抛物线相切，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
设出切点坐标，求导，借助导数的几何意义列出方程组求解作答.
【详解】
设切点坐标为，而抛物线方程为，求导得，
因为直线与抛物线相切，则有，解得，则，，
所以．
故选：AB
11．（2022·江苏·高二单元测试）若函数的图象上存在两个不同的点A，B，使得曲线在这两点处的切线重合，称函数 具有Z性质.下列函数中具有Z性质的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
由题意可得，函数具有性质指函数的图象在两个不同的点处的切线是重合的，即两个不同的点所对应的导数值相等，且函数图象在该两点处的切线方程也相同.
导函数为增函数可判断A；利用导数相等，求解方程，可判断B、C、D.
【详解】
由题意可得，函数具有性质指函数的图象在两个不同的点处的切线是重合的，即两个不同的点所对应的导数值相等，且函数图象在该两点处的切线方程也相同.
对于A选项，，则，导函数为增函数，不存在两个不同的使得导数值相等，所以A选项不符合；
对于B选项，，则，令，可得或，当时，所以函数的图象在和处的切线重合，切线方程为，所以B选项符合；
对于C选项，，则，设两切点分别为和，由两切点处的导数值相等得，解得，令，则，两切点处的导数值均为，两切点连线的斜率为，则，得，两切点重合，不符合题意，所以C选项不符合；
对于D选项，，则，设两切点的坐标分别为和，则，所以，取，
则，两切点处的导数值均为1，两切点连线的斜率为，所以两切点处的导数值等于两切点连线的斜率，符合Z性质，所以D选项符合.
故选：BD.
三、填空题
12．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）已知点P是曲线上一动点，则曲线在点P处的切线的斜率最大为________．
【答案】1
【解析】
【分析】
求导，再利用基本不等式求解.
【详解】
函数的定义域是R，
求导得，而，
所以曲线在点处的切线的斜率：
，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：1
13．（2022·重庆市天星桥中学高二阶段练习）已知为直线上的动点，为函数图象上的动点，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
求得的导数，由题意可得与直线平行的直线和曲线相切，然后求出的值最小，设出切点，求出切线方程，再由两直线平行的距离公式，得到的最小值．
【详解】
解：函数的导数为，
设与直线平行的直线与曲线相切，
设切点为，则，
所以，所以，所以，所以，
所以切线方程为，
可得的最小值为，
故答案为：．
14．（2022·山西吕梁·高二期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义，结合待定系数法进行求解即可.
【详解】
设曲线的切点为：，
由，所以过该切点的切线斜率为：，
于是切线方程为：，
因此有：，
设曲线的切点为：，
由，所以过该切点的切线斜率为：，
于是切线方程为：，
因此有：，
因为，
，
即，
因此，
故答案为：
【点睛】
关键点睛：根据导数的几何意义进行求解是解题的关键.
15．（2022·江苏盐城·高二期末）过点与曲线相切的直线有且只有两条，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
设切点为，则由导数的几何意义结合斜率公式可得，由题意可知此方程有两个解，构造函数，利用导求出其单调区间和最值，从而可求出的范围，进而可求得m的取值范围
【详解】
设切点为，由，得，
所以切线的斜率为，
因为切线经过点，
所以，化简得，
由题意可知此方程有两个解，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最大值，即，
因为时，，当时，，
所以当时，方程有两个解，
所以，
所以实数m的取值范围是，
故答案为：
16．（2022·青海海东·高二期末（文））已知曲线与曲线有相同的切线，则________．
【答案】0
【解析】
【分析】
设切点分别为，．利用导数的几何意义可得，则 ．由，，计算可得，进而求得点坐标代入方程即可求得结果.
【详解】
设切点分别为，．
由题意可得，则，即．
因为，，所以，即，解得，
所以，则，解得．
故答案为：0
17．（2022·江苏·泰州中学高二开学考试）若实数，，，满足，则的最小值为______.
【答案】2
【解析】
【分析】
由，，故可理解为曲线上一点与直线上一点间的距离的平方，采用数形结合和对函数求导可知，函数在处的切线方程与直线之间的距离的平方为我们要求的的最小值.
【详解】
由，，故可理解为曲线上一点与直线上一点间的距离的平方，对于函数，令，故可得，即函数在处的切线方程为，切线方程与直线平行，则函数在处的切线方程与直线之间的距离，故的最小值为.
故答案为：2.
18．（2022·河南·郑州四中高二阶段练习（文））设点是曲线上的任意一点，则到直线的最小距离是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
对函数求导，由题意得在点的切线与直线平行，从而求出点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可
【详解】
由题意得在点的切线与直线平行
设曲线上与直线平行的切线的切点，
由的斜率为，
则由，解得，故切点为
切点到的距离．
故答案为：
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