人教A版(2019)高中数学选择性必修第二册 专题07 极值点偏移问题

专题07 极值点偏移问题

知识点1：加法型

1．（2021•浙江期中）已知函数有两个不同的零点，．

（1）求实数的取值范围；

（2）证明：．

2．（2021•汕头一模）已知函数有两个相异零点，．

（1）求的取值范围；

（2）求证：．

3．（2016秋•海淀区校级月考）已知函数，．

（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；

（Ⅱ）若，求的零点个数；

（Ⅲ）若有两个零点，，证明：．

4．（2021•江门一模）已知函数，是常数．

（Ⅰ）求曲线在点，（2）处的切线方程，并证明对任意，切线经过定点；

（Ⅱ）证明：时，设、是的两个零点，且．

知识点2：减法型

1．（2021•七星区校级月考）已知函数．

（1）若在上单调递减，求的取值范围；

（2）若在处的切线斜率是，证明有两个极值点，且．

2．（2021•常熟市月考）设函数，，其中．

（1）若，证明：当时，；

（2）设，且，其中是自然对数的底数．

①证明恰有两个零点；

②设如为的极值点，为的零点，且，证明：．

3．（2021•黄州区校级模拟）已知函数，的导数为．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）设，方程有两个不同的零点，，求证：．

4．（2021•道里区校级二模）已知函数，为函数的导数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若当时，函数与的图象有两个交点，，，，求证：．

知识点3：平方型

1．（2021•广州一模）已知函数．

（1）证明：曲线在点，（1）处的切线恒过定点；

（2）若有两个零点，，且，证明：．

2．（2021•浙江开学）已知，（其中为自然对数的底数）．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若，函数有两个零点，，求证：．

3．（2021秋•泉州月考）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若是自然对数的底数），且，，，证明：．

4．（2021•开封三模）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若，对于任意，证明：．

知识点4：乘积型

1．（2021春•汕头校级月考）已知，函数，其中．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个零点，

求的取值范围；

设的两个零点分别为，，证明：．

2．（2021•攀枝花模拟）已知函数有最小值，且．

（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）当取得最大值时，设（b），有两个零点为，，证明：．

3．（2021•张家口二模）已知函数是自然对数的底数）有两个零点．

（1）求实数的取值范围；

（2）若的两个零点分别为，，证明：．

4．（2021•武进区校级月考）已知函数．

（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；

（2）若存在，，使不等式对于，恒成立，求的取值范围；

（3）若方程有两个不等的实数根、，试证明．

知识点5：比值型

1．已知函数有两个相异零点、，且，求证：．

2．（2021•新疆模拟）已知函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）已知，，为函数的两个极值点，求的最大值．

3．（2021春•湖北期末）已知函数．

（1）当时，讨论函数的单调性：

（2）若函数恰有两个极值点，，且，求的最大值．

4．（2021•宁德三模）已知函数．

（1）当时，讨论函数的单调性：

（2）若函数恰有两个极值点，，且，求的最大值．

1．（2022·全国·高二课时练习）已知函数.

(1)讨论的极值点的个数；

(2)若函数有两个极值点，证明：.

2．（2022·全国·高二单元测试）已知函数f（x）=.

(1)讨论函数f（x）的单调性；

(2)设t1，t2为两个不等的正数，且t2lnt1﹣t1lnt2=t1﹣t2，若不等lnt1+λlnt2>0恒成立，求实数λ的取值范围.

3．（2022·全国·高二课时练习）已知函数存在极大值．

(1)求实数a的值；

(2)若函数F（x）＝f（x）﹣m有两个零点x1，x2（x1≠x2），求实数m的取值范围，并证明：x1+x2＞2．

4．（2022·江苏省江阴高级中学高二阶段练习）已知函数，.

(1)若图像在处的切线过点，求切线方程；

(2)当时，若，求证：.

5．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知函数其中.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)当时，函数有两个零点，，满足，

证明.

6．（2022·江西·九江一中高二期末（理））已知．

(1)若函数在上有极值，求实数a的取值范围；

(2)已知方程有两个不等实根，证明：（注：是自然对数的底数）

7．（2022·山西长治·高二阶段练习）已知函数．

(1)若在上单调递减，求实数a的取值范围．

(2)若是方程的两个不相等的实数根，证明：．

8．（2022·湖南益阳·高二期末）已知函数.

(1)记函数，当时，讨论函数的单调性；

(2)设，若存在两个不同的零点，证明：为自然对数的底数）.

9．（2022·浙江宁波·高二期末）已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数有两个零点，，证明：．

10．（2022·安徽·六安一中高二期末）已知函数在其定义域内有两个不同的极值点．

(1)求a的取值范围；

(2)设的两个极值点分别为，证明：．

11．（2022·江苏连云港·高二期末）已知函数 ．

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若函数有两个不相等的零点，证明：．