高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念达标测试

第4.2.1练  等差数列的概念

培优第一阶——基础过关练

一、单选题

1．等差数列中，若，，则公差（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【详解】

由，得

故选：A

2．已知等差数列中首项，公差，则（       ）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】D

【详解】

因为等差数列的首项，公差，

所以.

故选：D.

3．若、、成等差数列，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因为、、成等差数列，则，可得.

故选：A.

4．已知数列是等差数列，，则的值为（       ）

A．15 B． C．10 D．

【答案】D

【详解】

，故可得：，所以公差，

因此

故选：D

5．已知数列是等差数列，且满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由等差中项的性质可得，则，因此，.

故选：C.

6．在等差数列中，若，则（       ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】D

【详解】

因为，解得：，所以．

故选：D．

7．设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

依题意，数列是公差为d的等差数列，数列为递减数列，

所以，，.

故选：D

8．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”，该问题中，善走男第日所走的路程里数是（       ）.

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：由题意设此人第一天走里，第二天走里，，第天走里，是等差数列，首项是，

因为，所以．故选：D．

9．已知为等差数列，，则（       ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】A

【详解】

因为为等差数列且，所以．

因为，

故选：A.

10．在等差数列中，，，则（       ）

A．45 B．48 C．50 D．54

【答案】A

【详解】

设公差为，因为，，所以，解得，则．

故选：A．

二、多选题

11．已知等差数列，下列结论一定正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．

【答案】CD

【详解】

对于A中，由，又由，

因为公差的正负不确定，所以不一定成立，所以A不一定正确；

对于B中，由，又由，

因为公差的正负不确定，所以不一定成立，所以B不一定正确；

对于C中，因为，可得，且，

又因为，所以

又由，所以等号不成立，即，所以C正确.

对于D中，由等差数列的定义知，所以D正确.

故选：CD.

12．已知数列、都是公差不为0的等差数列，设，，则关于数列和，下列说法中正确的是（       ）

A．数列一定是等差数列

B．数列一定不是等差数列

C．给定，可求出数列的通项公式

D．给定，可求出数列的通项公式

【答案】ABC

【详解】

数列、都是公差不为0的等差数列，设其公差分别为，且均不为0，

，

所以数列一定是等差数列，给定，可求出数列的通项公式，A，C选项正确；

设，

一定是一个关于的二次函数，所以数列一定不是等差数列，所以B选项正确；

根据二次函数性质，仅仅给定，不能求出数列的通项公式，所以D选项错误.

故选：ABC

三、解答题

13．记数列的前项和为，，，.证明数列为等差数列，并求通项公式；

【答案】证明见解析，.

【详解】

证明：，，，则，即，解得，

所以，，即，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，故.

14．已知数列，其前n项和为．

(1)求，．

(2)求数列的通项公式，并证明数列是等差数列．

【答案】(1)，．(2)；证明见解析．

【解析】

(1)

当时，，当时，，解得．故，．

(2)

当时，

．

又满足，

所以．

因为，

所以数列是以5为首项，3为公差的等差数列．

15．已知正项数列满足，，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)求满足不等式的正整数的最小值．

【答案】(1)；(2)5.

【解析】

(1)

由已知，，

所以数列是等差数列，设其公差为．

由，得．

所以，即，

所以．

(2)

由，得，

所以原不等式即，

两边平方可得，即，

所以，整理得，

解得或,

因为，

故的最小值为5．

培优第二阶——拓展培优练

一、单选题

1．等差数列中，，，则（       ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】C

【详解】

因为，，

所以可解得，所以，

故选：C

2．已知是等差数列，，，则的公差等于（       ）

A．3 B．4 C．-3 D．-4

【答案】C

【详解】

，，

则的公差，

故选：C

3．已知数列为各项均为整数的等差数列，公差为d，若，则的最小值为（       ）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】C

【详解】

因为，

所以，

所以，

所以，

因为数列为各项均为整数的等差数列，

所以公差也为正整数，

所以只能是1，2，3，4，6，8，12，24，

此时的相应取值为25，13，9，7，5，4，3，2，

所以的分别为26，15，12，11，11，12，15，26，

所以的最小值为11，

故选：C

4．在2022北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同，即太阳照射物体影子的长度增长或减少的量相同，周而复始（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则大雪所对的晷长为（       ）

A．11.5尺 B．12.5尺 C．13.5尺 D．14.5尺

【答案】B

【详解】

设相邻两个节气晷长减少或增加的量为，则立冬到大雪增加，大雪到雨水先增加一个再减少,设大雪的晷长为,则,解得,

故选：B.

5．已知数列中，，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

当为奇数时，，即数列中的奇数项依次构成首项为，公差为的等差数列，

所以，，

当为偶数时，，则，两式相减得，

所以，，

故，

故选：D.

6．已知数列为等差数列，且，则的最小值为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【详解】

设等差数列的公差为d，

则，

根据分段函数单调性，当时取到最小值2，

故选：B

二、多选题

7．已知数列满足：，当时，，则关于数列的说法正确的是(       )

A． B．是递增数列

C． D．数列为周期数列

【答案】ABC

【详解】

数列满足：，当时，，

，

∴数列是首项为，公差为1的等差数列，

，

，故C正确；

，故A正确；

∵函数在x＞－1时单调递增，故是单调递增数列，故B正确，D错误．

故选：ABC．

8．数列首项，对一切正整数，都有，则（       ）

A．数列单调递减 B．存在正整数，使得

C．有最大值 D．有最小值

【答案】CD

【详解】

由题知：，，

假设存在实数使得：成立，即，

即，令，解得，

即，即，即，

所以，，

所以是以1为公差，以为公差的等差数列，

所以，解得，（），

所以，由对应函数可知，不单调，故A错误，

对于B答案，，即，无正整数解，故B错误，

因为，对应函数为，如图所示，

结合数列单调性可知，

当时，有最小值，最小值为，故C正确，

当时，有最大值，最小值为，故D正确，

故选：CD

三、解答题

9．已知数列满足，．证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

【解析】

证明：当时，，得，

当时，有，，相除得

整理为：，即，

∴为等差数列，公差，首项为；

所以，整理为：.

10．已知数列是公差不为的等差数列，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列满足；，请问是否存在正整数，使得成立？若存在，请求出正整数的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)(2)存在，

【解析】

(1)

∵，即，∴，∴．

设等差数列的公差为，（）则

∵，∴．

∴．解得（舍）或．

∴，

所以数列的通项公式为：．

(2)

由（1）知，，

所以，

假设存在正整数，使得成立，

即．

化简整理，得，即，解得或（舍）．

所以存在正整数，使得成立．