【培优分级练】苏科版数学九年级上册 第二次月考试卷（含解析）

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第二次月考试卷
考试范围：苏科版九年级 一元二次方程、圆 、数据的集中趋势和离散程度
一、单项选择题：每小题2分，共10小题，总计20分。
1．若关于x的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（          ）
A． B． C．且 D．
【答案】A
【解析】解：方程是关于的一元二次方程，
，
解得，
又关于的一元二次方程没有实数根，
此方程根的判别式，
解得，
综上，实数的取值范围是，
故选：A．
2．方程的根是（       ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】解：∵，
∴或，
∴或．
故选：A．
3．某单位定期对员工的专业知识、工作业绩、出勤情况三个方面进行综合考核（考核的满分均为100分），三个方面的重要性之比依次为3：5：2．小王经过考核后所得的各项分数依次为90、88、85分，那么小王的最后综合得分是（　　）
A．87 B．87.5 C．87.6 D．88
【答案】D
【解析】解：由题意可得，
小王的最后综合得分是：
=88（分），
故选：D．
4．已知一组数据2，3，5，x，5，3有唯一的众数3，则x的值是（       ）
A．3 B．5 C．2 D．无法确定
【答案】A
【解析】解：在这组已知的数据中，“3”出现2次，“5”出现2次，“2”出现1次，
要使这组数据有唯一的众数3，因此x所表示的数一定是3．
故选：A．
5．下列说法正确的是（　　）
A．海底捞月是必然事件.
B．对载人航天飞船几万个零部件的检查适合采用抽样调查.
C．某种彩票中奖的概率是，则购买10张该种彩票一定会中奖.
D．将一组数据中的每个数都减去1，得到的一组新数据的方差不变.
【答案】D
【解析】解：∵海底捞月是不可能事件，
∴A选项不合题意，
∵航天零件每个都很重要，
∴要全面调查，
∴B选项不合题意，
∵概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生，
∴C选项不合题意，
根据方差的计算公式可知D选项正确，
∴D选项符合题意，
故选：D．
6．若一个圆锥的母线长是它底面半径的3倍，则它的侧面展开图的圆心角等于（       ）
A．120° B．135° C．150° D．180°
【答案】A
【解析】解：由题意知，
解得n= 120°，
故选A．
7．在一次引体向上的测试中，如果小明等5位同学引体向上的次数分别为：6、8、9、8、9，那么关于这组数据的说法，正确的是（       ）
A．平均数是8.5 B．中位数是9 C．众数是8.5 D．方差是1.2
【答案】D
【解析】解：A、平均数，此选项错误；B、6，8，8，9，9，中位数是8，此选项错误；C、6，8，9，8，9，众数是8和9，此选项错误；D、，方差是1.2，本选项正确；
故选D．
8．如图，AB为半圆O的直径，AC，AD都是弦，且AC平分∠BAD，则下列各式正确的是（       ）

A．AB+AD＝2AC B．AB+AD＜2AC
C．AC＝AB•AD D．AC＜AB•AD
【答案】B
【解析】解：过点O作OM⊥AD于点M，交AC于点N，连接OC，如图所示：
则∠OMA＝90°，AM＝DM，
∴AN＞AM＝AD，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴ADOC，
∴∠OMA＝∠CON＝90°，
∴CN＞OC＝AB，
∴AB+AD＜2（CN+AN）＝2AC，
故选：B．

9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，将△ABC绕点C顺时针旋转至△EDC，使点E在⊙O上，再将△EDC沿CD翻折，点E恰好与点A重合，已知∠BAC=36°，则∠DCE的度数是（        ）

A．24 B．27 C．30 D．33
【答案】B
【解析】解：如图，延长CD交⊙O于点F，连接AF，

由题可知，,
垂直平分,
CD经过圆心O，
∴∠CAF＝90°，
由翻折得，∠DCA＝∠BCA，AB＝AD，∠CAD＝∠CAB＝36°，
∴∠FAO＝∠CAF﹣∠CAD＝90°﹣36°＝54°，AB＝AF，
∴AF＝AD，
∴∠ADF＝∠AFD＝（180°﹣∠DAF）＝（180°﹣54°）＝63°，
∵∠ADF是△ACD的外角，
∴∠ACD＝∠ADF﹣∠CAD＝63°﹣36°＝27°，
∴∠BCA＝27°，
由旋转的性质得，∠DCE＝∠BCA＝27°，
故选：B．
10．如图，半径为1的经过平面直角坐标系的原点O，与x轴交于点A，点A的坐标为，点B是直角坐标系平面内一动点，且，则BM的最大值为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：作△OAB的外接圆，连接OP、AP，过点P作于点C，延长CP交于点B'，如图：

则点B在点B'处时，BM的值最大，理由如下：
点B是直角坐标系平面内一动点，且∠ABO = 30°，
∠APO= 2∠ABO = 60°
PO= PA， A，
△OPA是等边三角形，OA= ，
PO= PA= OA=，
PC⊥OA，
OC= AC=OA=，
M点在B'C上，点B在点B'处时，BM的值最大，
在Rt△POC中，由勾股定理，得
PC=，
连接OM，如图：

的半径为1 ，
.OM=1，
在中，由勾股定理，得
，
PM=PC-CM=，
B'M=PB'+PM=，
即BM的最大值为．
故选： A．
二、填空题：每小题2分，共8小题，总计16分。
11．某同学参加校艺术节独唱比赛，其中唱功、表情、动作三个方面得分分别为90分、80分、95分，综合成绩中唱功占70%，表情占10%，动作占20%，则该名同学综合成绩为_______分．
【答案】90
【解析】解：该名同学综合成绩为分．
故答案为：90．
12．方程的两根为、则的值为______．
【答案】-3
【解析】解：∵方程的两根为x1、x2，
∴x1·x2==-3，
故答案为：-3．
13．某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为_____．
【答案】20%
【解析】解：设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得，

解得，（舍去）
所以，增长率为20%
故答案为：20%
14．顶角为120°的等腰三角形腰长为4cm，则它的外接圆的直径_____cm．
【答案】8
【解析】解：如图；△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝4cm；

易知∠OCA＝∠ACB＝60°；
又∵OA＝OC，
∴△OAC是等边三角形；
∴OA＝OC＝AC＝4cm；
故等腰三角形的外接圆直径是8cm．
故答案为：8．
15．如图，在正五边形中，点是的中点，连接与交于点，则______．

【答案】126
【解析】连接，，

∵五边形是正五边形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：126．
16．如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB＝45°，AB＝4cm，则阴影部分的面积是 _________cm2

【答案】4
【解析】解：设AT交⊙O于C，连接BC，如图，

∵BT是⊙O的切线，
∴BT⊥AB，
∴∠ABT=90°，
∵∠ATB=45°，
∴△ABT为等腰直角三角形，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AT，
∴BC=AC=TC，
∴S弓形AC=S弓形BC，
∴阴影部分的面积=S△BTC=S△ABT=××4×4=4（cm2）．
故选：A．
17．小聪同学在计算一组数据1、3、4、5、x的方差时，写出的计算过程是：，如果他的计算是正确的，你认为这组数据中的x为________．
【答案】7
【解析】解：，如果他的计算是正确的，
，
，
解得x=7，
故答案为：7．
18．在平面直角坐标系Oy中，已知点A（4，3），B（4，4），⊙A的半径为1，直线l：y＝kx（k≠0），给出下列四个结论：
①当k＝1时，直线l与⊙A相离；
②若直线l是⊙A的一条对称轴，则；
③若直线l与⊙A只有一个公共点P，则；
④若直线l上存在点Q，⊙A上存在点C，使得∠BQC＝90°，则k的最大值为其中正确的是______________（填写所有正确结论的序号）．
【答案】②③④
【解析】①如下图所示，当k＝1，直线l的表达式为：y＝x

当时，
∴直线l过点B
∵⊙A的半径为1
∴BA=1
∴点B在⊙A上
故当k＝1时，直线l与⊙A相离错误；②如下图所示

∵圆的对称轴必须过圆心
∴直线l经过圆心A
∴
∴
∴若直线l是⊙A的一条对称轴，则正确；
③如下图所示
∵直线l与⊙A只有一个公共点P
∴直线l与⊙A相切，且存在和两个切点

∵
∴
∵，AP=1
∴
∵
∴
∴若直线l与⊙A只有一个公共点P，则正确；
④如下图所示，AC平行于轴，交直线⊙A于点C
作QC平行于轴，作BQ平行于轴, QC、BQ相交于点Q

∵QC∥轴，BQ∥轴，AB=AC
∴∠BQC＝90°，四边形QCAB是正方形
∴QB=1
∴Q点的坐标为（3，4）
∵直线l：y＝kx过点Q
∴
∴
当时，如图所示，直线移动至，点移动至，点C移动至
∵，QC为⊙A的切线， ∥QC
∴当时，直线与⊙A相离，点不在⊙A上
∴若直线l上存在点Q，⊙A上存在点C，使得∠BQC＝90°，则k的最大值为
故答案为：②③④．
三、解答题：共10小题，共计64分。
19.（8分）解方程
(1)
(2)
【答案】(1)或；(2)或
【解析】（1）解：，令，则，即，解得或，∴或，或．
（2）解：，，∴或，解得或．
20.（5分）已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，求（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）的值．
【答案】1
【解析】解：∵m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，
∴（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）
＝m2﹣4m+4+m2﹣9
＝2（m2﹣2m）﹣5
＝2×3﹣5＝1．
21.（5分）如图，在菱形ABCD中，，P为AC，BD的交点，经过A，B，P三点．
(1)求证：AB为的直径．
(2)请用无刻度的直尺在圆上找一点Q，使得BP=PQ（不写作法，保留作图痕迹）．

【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠APB=90°，
∵经过A，B，P三点．
∴AB为的直径；
(2)解：如图，延长DA交于点Q，即为所求，

理由：连接BQ，
∵AB为的直径，
∴∠AQB=90°，
∴∠BDQ+∠PBQ=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=AD，
∴∠APB=90°，∠BDQ=∠ABP，
∴∠ABP+∠PBQ=90°，
∵∠ABP+∠BAP=90°，   
∴∠BAP=∠PBQ，
∵∠BAP=∠BQP，
∴∠PBQ =∠BQP，
∴BP=PQ．
22.（6分）如图，为的直径，是弦，且于点E．连接、、．
(1)求证：；
(2)若，求弦的长．、

【答案】(1)见解析
(2)弦BD的长为16cm
【解析】(1)∵AC为⊙O的直径，且AC⊥BD，
∴
∴∠ABD＝∠C，
∵OB＝OC，
∴∠C＝∠CBO，
∴∠CBO＝∠ABD；
(2)∵AE＝4，CE＝16，
∴OA＝10，OE＝6，
在Rt△OBE中，，
∵AC为⊙O的直径，且AC⊥BD，
∴BE＝DE，
∴BD＝2BE＝16cm．
23.（6分）小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：
．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：

．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：
时段
1日至10日
11日至20日
21日至30日
平均数
100
170
250
（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为 　　（结果取整数）；
（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的 　　倍（结果保留小数点后一位）；
（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为．直接写出，，的大小关系．
【答案】（1）173；（2）2.9倍；（3）
【解析】解：（1）平均数：（千克）；
故答案为：173；
（2）倍；
故答案为：2.9；
（3）方差反应数据的稳定程度，即从点状图中表现数据的离散程度，
所以从图中可知：；
24.（6分）如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE，连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．

(1)求证：直线BF是⊙O的切线；
(2)若OB＝2，求BD的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】(1)解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，，
∴∠BOC=90°，
∵E是OB的中点，
∴OE=BE，
∵CE=EF，∠OEC=∠BEF，
∴△OEC≌△BEF（SAS），
∴∠OBF=∠OCB=90°，
∴直线BF是⊙O的切线；

(2)∵△OEC≌△BEF，
∴BF=OC=OB＝2，
在Rt△ABF中，AF=，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AF，
∴S△ABF=×AB×BF=×AF×BD，
∴4×2=BD，
解得BD=．
25.（6分）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米．
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值．
【答案】(1)甲最多施工2500米
(2)a的值为6
【解析】(1)解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，
依题意，得：12（5000-x）≥×10x，
解得：x≤2500，
答：甲最多施工2500米．
(2)依题意，得： ，
整理，得：，
解得：，，
当时，总成本为：（万元），
∵，
∴不符合题意舍去；
当时，总成本为：（万元），
∵，
∴符合题意；
答：a的值为6．
26.（6分）如图，在四边形ABCD中，，，，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作，交BD于点E．
(1)求证：CD是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．

【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】(1)证明：过点B作于F，如图所示：

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，

∴，
∴，则点F在上，
∴与相切；
(2)解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴阴影部分的面积为．
27.（8分）阅读材料：
材料1：若一元二次方程的两个根为，则，．
材料2：已知实数，满足，，且，求的值．
解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料1得，，所以
根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，____________．
(2)类比探究：已知实数，满足，，且，求的值．
(3)思维拓展：已知实数、分别满足，，且．求的值．
【答案】(1)；；
(2)；
(3)-1
【解析】（1），；故答案为；；
（2），，且，、可看作方程，，，；
（3）把变形为，实数和可看作方程的两根，，，．
28.（8分）如图，内接于圆O，高AD、CE相交于点H，延长AH交圆O于点G．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接CO，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长CO交圆O于点N，连接GN、DE，若，，求DH的长．
【答案】(1)见祥解
(2)见祥解
(3)DH=
【解析】(1)证明：连结GC，
∵∠BAG，∠BCG是所对圆周角，
∴∠BAG=∠BCG，
∵CE⊥AB，AD⊥BC，
∴∠AEC=∠ADC=90°，
∵∠AHE=∠CHD，
∴∠HCD=∠BAD=∠DCG，
在△HCD和△GCD中，
，
∴△HCD≌△GCD（ASA），
∴DH=DG；

(2)证明：延长CO交圆与N，连结BN，
∵CN为直径，
∴∠NBC=90°=∠AEC，
∵∠N与∠BAC是所对的圆周角，
∴∠N=∠BAC，
∴∠NCB=90°-∠N=90°-∠EAC=∠HCA；

(3)解：延长CE交圆于K，连结GK，BK，AK，OB，OA，OK，OG，BG，AN，过G作GM⊥AC交延长线于M，
∵∠AEC =∠ADC=90°，
∴A、E、D、C四点共圆，
∴∠EAH=∠DCH，
∵，
∴∠BCK=∠BAK，
∴∠EAH=∠EAK，
∵AE=AE，
∴△AEH≌△AEK（ASA），
∴EH=EK，
∵DH=DG，
∴GK=2ED=，
∴GK=GN，
∵CN为直径，
∴∠NBC=90°=∠ADC，
∴BN∥AG，
∴，
∴AN=BG，∠NGA=∠BAG，AG=GA，
∴△ANG≌△GBA（SAS），
∴AB=GN=GK，
∵OA=OK=OB=OG，
∴△AOB≌△GOK（SSS），
∴∠AOB=∠GOK，
，
∴，
∴AG=KB，
∵四边形AKBG为圆内接四边形，
∴∠GAK+∠GBK=180°，
∵∠KAE=∠HAE，
∴∠HAE=90°-=90°-，
在△AGB中，∠BAG+∠ABG+∠AGB=180°，
∵∠GAB=90°-，
∴∠ABG=180°-∠AGB-（90°-）=90°-=∠CAB，
∴BG=AG，
∵四边形ABGC为圆内接四边形，
∴∠GCM=∠ABG=∠BAG=∠BCG，
∵∠CDG=∠CMG=90°，CG=CG，
∴△GDC≌△GMC（AAS），
∴GM=GD，CM=CD=1，
∵∠BDG=∠AMG=90°，
在Rt△BGD和Rt△AGM中，
∵GB=GA，GD=GM，
∴Rt△BGD≌Rt△AGM（HL），
∴BD=AM，
设AC=x，BD=AM=1+x，
∵AB2-BD2=AD2=AC2-CD2，
∴，
整理得，
解得（舍去），
∴AC=4，BD=5，
∴AD=，
设DG=y=DH，
∴BG=AG=，
在Rt△BGD中，即，
解得，
∵DH=DG，
∴DH=．