【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一§5.3 习题课 函数的存在性问题与恒成立问题【讲义+习题】

习题课　函数的存在性问题与恒成立问题
学习目标　1.了解利用导数研究函数的存在性问题和恒成立问题的方法.2.初步运用导数解决有关的存在性问题和恒成立问题．
一、函数的恒成立问题
例1　设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，
∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1.
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(舍去)．
当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如表所示：
t
(0,1)
1
(1,2)
g′(t)
＋
0
－
g(t)
↗
1－m
↘

∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m，
h(t)0，解得01，
∴原不等式转化为a>，
设g(x)＝，得g′(x)＝，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)2对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．
解　(1)当a＝－1时，f(x)＝x－，
则f′(x)＝1＋>0，
∴f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
又f(0)＝－10，
故∃x∈(0,1)，使得f(x)＝0，
∴函数f(x)在区间[0，＋∞)上有1个零点．
(2)若f(x)>2对任意的实数x恒成立，
即a>ex(2－x)恒成立，
令g(x)＝ex(2－x)，则g′(x)＝ex(1－x)，
令g′(x)>0，得x0，得x>0；
令f′(x)