苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用课时训练

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1．函数y＝(2 020－8x)3的导数y′等于( )
A．3(2 020－8x)2 B．－24x
C．－24(2 020－8x)2 D．24(2 020－8x)2
解析：选C y′＝3(2 020－8x)2×(2 020－8x)′
＝3(2 020－8x)2×(－8)＝－24(2 020－8x)2.
2．函数y＝x2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的导数为( )
A．y′＝2xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－x2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
B．y′＝2xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－2x2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
C．y′＝x2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－2xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
D．y′＝2xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋2x2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))
解析：选B y′＝(x2)′cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋x2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))))′
＝2xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋x2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))′
＝2xcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－2x2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
3．设f(x)＝lg3(x－1)，则f′(2)＝( )
A．ln 3 B．－ln 3
C.eq \f(1,ln 3) D．－eq \f(1,ln 3)
解析：选C f′(x)＝eq \f(1,（x－1）ln 3)，故f′(2)＝eq \f(1,ln 3).
4．(多选)下列结论中不正确的是( )
A．若y＝cs eq \f(1,x)，则y′＝－eq \f(1,x)sin eq \f(1,x)
B．若y＝sin x2，则y′＝2xcs x2
C．若y＝cs 5x，则y′＝－sin 5x
D．若y＝eq \f(1,2)xsin 2x，则y′＝xsin 2x
解析：选ACD 对于A，y＝cs eq \f(1,x)，则y′＝eq \f(1,x2)sin eq \f(1,x)，故错误；
对于B，y＝sin x2，则y′＝2xcs x2，故正确；
对于C，y＝cs 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误；
对于D，y＝eq \f(1,2)xsin 2x，则y′＝eq \f(1,2)sin 2x＋xcs 2x，故错误．
5．曲线y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))在x＝eq \f(π,6)处切线的斜率为( )
A．2 B．－2
C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
解析：选B 设y＝cs u，u＝2x＋eq \f(π,6)，
yx′＝(cs u)′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))′＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，故k＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)＋\f(π,6)))＝－2.
6．函数y＝sin 2xcs 3x的导数是____________________．
解析：∵y＝sin 2xcs 3x，
∴y′＝(sin 2x)′cs 3x＋sin 2x(cs 3x)′
＝2cs 2xcs 3x－3sin 2xsin 3x.
答案：2cs 2xcs 3x－3sin 2xsin 3x
7．曲线y＝x·ex－1的导数y′＝________，该曲线在P(1，1)处切线的方程为________．
解析：yx′＝x′ex－1＋x(ex－1)′
＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1，
故曲线在点P(1，1)处切线斜率k＝(1＋1)·e1－1＝2，
所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
答案：(x＋1)ex－1 y＝2x－1
8．若y＝f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________，f′(x)＝________．
解析：令u＝2x＋a，
则yx′＝yu′·ux′＝(u2)′(2x＋a)′＝4(2x＋a)，
则f′(2)＝4(2×2＋a)＝20，∴a＝1，故f′(x)＝4(2x＋1)＝8x＋4.
答案：1 8x＋4
9．求下列函数的导数：
(1)y＝(3x＋5)3；(2)y＝e－0.05x＋1；(3)y＝ln(2x－1)．
解：(1)函数y＝(3x＋5)3可以看作函数y＝u3和u＝3x＋5的复合函数．根据复合函数的求导法则，有
yx′＝yu′·ux′＝(u3)′·(3x＋5)′
＝3u2×3＝9(3x＋5)2.
(2)函数y＝e－0.05x＋1可以看作函数y＝eu和u＝－0.05x＋1的复合函数．根据复合函数的求导法则，有
yx′＝yu′·ux′＝(eu)′·(－0.05x＋1)′
＝－0.05eu＝－0.05e－0.05x＋1.
(3)函数y＝ln(2x－1)可以看作函数y＝ln u和u＝2x－1的复合函数．根据复合函数的求导法则，有
yx′＝yu′·ux′＝(ln u)′·(2x－1)′
＝2×eq \f(1,u)＝eq \f(2,2x－1).
10．曲线y＝e2xcs 3x在(0，1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为 eq \r(5)，求直线l的方程．
解：由y′＝(e2xcs 3x)′
＝(e2x)′cs 3x＋e2x(cs 3x)′
＝2e2xcs 3x＋e2x(－3sin 3x)
＝e2x(2cs 3x－3sin 3x)，
故曲线在点(0，1)处的斜率为k＝2，
则切线方程为 y－1＝2(x－0)，
即2x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行，可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，
两平行线间的距离d＝eq \f(|c－1|,\r(5))＝eq \r(5)，解得c＝6或c＝－4.
故直线l的方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.
[B级 综合运用]
11．函数f(x)＝eq \f(e2x,x)的导函数是( )
A．f′(x)＝2e2x B．f′(x)＝eq \f(2e2x,x)
C．f′(x)＝eq \f(（2x－1）e2x,x2) D．f′(x)＝eq \f(（x－1）e2x,x2)
解析：选C 对于函数f(x)＝eq \f(e2x,x)，对其求导可得：f′(x)＝eq \f(（e2x）′·x－e2x·x′,x2)＝eq \f(2x·e2x－e2x,x2)＝eq \f(（2x－1）e2x,x2).故选C.
12．(2021·安徽池州月考)y＝x2与y＝ln(x＋a)有一条斜率为2的公切线，则a＝( )
A．－eq \f(1,2)ln 2 B.eq \f(1,2)ln 2
C．－ln 2 D．ln 2
解析：选B 由y′＝2x＝2⇒x＝1，由点斜式得切线方程：y－1＝2(x－1)，
对曲线y＝ln(x＋a)求导，y′＝eq \f(1,x＋a)＝2⇒x＝eq \f(1,2)－a，
代入y＝ln(x＋a)得：y＝－ln 2，
将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－a，－ln 2))代入y＝2x－1，
得：－ln 2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－a))－1⇒a＝eq \f(1,2)ln 2.故选B.
13．已知点P在曲线y＝eq \f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值为________(答案不唯一)．
解析：因为y＝eq \f(4,ex＋1)，
所以y′＝eq \f(－4ex,（ex＋1）2)＝eq \f(－4ex,e2x＋2ex＋1)＝eq \f(－4,ex＋\f(1,ex)＋2).
因为ex>0，
所以ex＋eq \f(1,ex)≥2(当且仅当x＝0时取等号)，
所以y′∈[－1，0)，
所以tan α∈[－1，0)．
又因为α∈[0，π)，
所以α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
答案：eq \f(3π,4)
14．(1)已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))；
(2)在曲线g(x)＝eq \f(1,1＋x2)上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程．
解：(1)∵f(x)＝eπxsin πx，
∴f′(x)＝πeπxsin πx＋πeπxcs πx
＝πeπx(sin πx＋cs πx)．
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝πeeq \s\up6(\f(π,2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,2)＋cs \f(π,2)))＝πeeq \s\up6(\f(π,2)).
(2)设切点坐标为P(x0，y0)，
由题意可知g′(x0)＝0.又g′(x)＝eq \f(－2x,（1＋x2）2)，
∴g′(x0)＝eq \f(－2x0,（1＋xeq \\al(2,0)）2)＝0.
解得x0＝0，此时y0＝1.
即该点的坐标为P(0，1)，切线方程为y－1＝0.
[C级 拓展探究]
15．已知点P在曲线y＝ln(2x－1)上运动．
问：点P运动到何位置时到直线l：2x－y＋3＝0的距离最短？并求此最短距离．
解：作出直线 l：2x－y＋3＝0和曲线 y＝ln(2x－1)的图象(图略)，可知它们无公共点，所以平移直线l，当l与曲线相切时，切点到直线l的距离就是曲线上的点到直线l的最短距离，y′＝eq \f(1,2x－1)(2x－1)′＝eq \f(2,2x－1).
设切点为P(x0，y0)，
所以eq \f(2,2x0－1)＝2，所以x0＝1，
所以y0＝ln(2×1－1)＝0，P(1，0)．
所以曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线l：2x－y＋3＝0的最短距离为P(1，0)到直线l：2x－y＋3＝0的距离，最短距离d＝eq \f(|2×1－0＋3|,\r(22＋12))＝eq \f(5,\r(5))＝eq \r(5).