【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第5练 圆的方程【讲义+习题】

第5练　圆的方程

一、选择题

1．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(－2,3)为圆心，4为半径的圆，则D，E，F的值分别为(　　)

A．4，－6,3   B．－4,6,3

C．－4，－6,3   D．4，－6，－3

答案　D

解析　由题意得，－＝－2，－＝3，＝4，解得D＝4，E＝－6，F＝－3.

2．直线＋＝1与x轴、y轴分别交于点A，B，以线段AB为直径的圆的方程为(　　)

A．x2＋y2－4x－2y＝0

B．x2＋y2－4x－2y－1＝0

C．x2＋y2－4x－2y＋1＝0

D．x2＋y2－2x－4y＝0

答案　A

解析　由直线截距式方程知，A(4,0)，B(0,2)，所以AB的中点坐标为(2,1)，且AB＝＝2，所以以AB为直径的圆的圆心为(2,1)，半径为，

所以以线段AB为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，

化为一般方程为x2＋y2－4x－2y＝0.

3．若点P(1,1)在圆C：x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围是(　　)

A．(－2，＋∞)   B.

C.   D．(－2,2)

答案　C

解析　由题意得

解得－2<k<.

4．如果圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0不经过(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案　D

解析　圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为，圆心位于第三象限，则a<0，b>0.直线y＝－x－，k＝－>0，－>0，直线不经过第四象限．

5．(多选)关于曲线C：x2＋y2＝2|x|＋2|y|，下列说法正确的是(　　)

A．曲线C围成图形的面积为4π＋8

B．曲线C所表示的图形有且仅有2条对称轴

C．曲线C所表示的图形是中心对称图形

D．曲线C是以(1,1)为圆心，2为半径的圆

答案　AC

解析　曲线C：x2＋y2＝2|x|＋2|y|如图所示，

对于A，图形在各个象限的面积相等，在第一象限中的图形，是以(1,1)为圆心，为半径的圆的一半加一个直角三角形所得，S1＝[π×()2]＋×2×2＝π＋2，所以曲线C围成图形的面积为S＝4S1＝4π＋8，故A正确；

对于B，由图可知，曲线C所表示的图形对称轴有x轴，y轴，直线y＝x，直线y＝－x四条，故B错误；

对于C，由图可知，曲线C所表示的图形是关于原点对称的中心对称图形，故C正确；

对于D，曲线C的图形不是一个圆，故D错误．

二、填空题

6．圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0关于直线l：x－y＝2对称的圆的方程为________________．

答案　(x－3)2＋(y＋1)2＝1

解析　 因为圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0转化为标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以其圆心为(1,1)，r＝1.设(1,1)关于直线x－y－2＝0的对称点为(a，b)，则有⇒a＝3，b＝－1.

所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.

7．动圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心的轨迹方程是__________________．

答案　x－2y－1＝0(x≠1)

解析　把圆的方程化为标准方程得[x－(2m＋1)]2＋(y－m)2＝m2(m≠0)，则圆心坐标为因为m≠0，得到x≠1，消去m可得x－2y－1＝0，

故所求轨迹方程为x－2y－1＝0(x≠1)．

8．一圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，则此圆的方程为________________．

答案　x2－2x＋y2－12＝0

解析　设圆的方程为x2＋Dx＋y2＋Ey＋F＝0，将A(4,2)，B(－1,3)两点代入方程中，得E＝5D＋10，F＝－14D－40，因为四个截距和为2，所以－D－E＝2，所以解得D＝－2，F＝－12，E＝0，所以此圆的方程为x2－2x＋y2－12＝0.

9．大约在2 000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年．现有一动点P满足OP＝2，其中O为坐标原点，若M，则PM的最小值为__________．

答案　1

解析　根据题意，已知O为原点，OP＝2，则点P的轨迹为圆x2＋y2＝4，

则点P的轨迹是以原点O(0,0)为圆心，r＝2为半径的圆，又点M，

则OM2＝2＋2＝1，即OM＝1<r，所以点M在圆内，

则PM≥r－OM＝1，即PM的最小值为1.

三、解答题

10．已知圆C过点A(3,1)，B(5,3)，圆心在直线y＝x上．

(1)求圆C的方程；

(2)判断点P(2,4)与圆的关系．

解　(1)∵圆心C在直线y＝x上，设圆心C(a，a)，半径为r，

则圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝r2，

而圆C过点A(3,1)，B(5,3)，

所以

解得

从而可求出圆C的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝4.

(2)∵PC＝＝<r，

∴P(2,4)在圆内部．