2021武威六中高三上学期第五次过关考试数学（理）试题含答案

武威六中2021届高三一轮复习过关考试（五）

理 科 数 学

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下面是关于复数的四个结论，其中正确的是（    ）

 A．  B．

 C．为纯虚数  D．的共轭复数为

2．若集合且，则集合的可能是（    ）

 A． B． C． D．

3．向量，，若∥，且它们的方向相反，则实数的值为（    ）

 A． B． C． D．

4．下列关于直线，点，与平面的关系推理错误的是（    ）

 A． B．

 C．      D．

5．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则的值为（    ）

 A．1 B． C．或2 D．2

6．直线的倾斜角为，直线的倾斜角为且过点与，

则值是（    ）

 A． B． C． D．

7．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

 A．的图象关于对称  B．图象关于直线对称 

 C．的最小正周期为 D． 在上单调递增

8．已知是偶函数，则函数图象的对称轴是（    ）

 A． B． C． D．

9．函数的零点个数（    ）

 A．4 B．3 C．2 D．1

10．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺。以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（    ）

（结果精确到0.1，参考数据：，

 A．3.8天 B．3.6天 C．3.4天 D． 3.2天

11．在三棱锥中，为等边三角形，，,则三棱锥外接球的表面积为（    ）

 A． B． C． D．

12．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

 A． B．  C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．等差数列的前项和为，满足，则________．

14．已知直线和，则∥的充要条件是________．

15．已知，是锐角三角形的两个内角，且，，则　 　．

16．已知为不同的直线，，，为不同的平面，有以下四个命题

 ①若则∥ ②若，则

 ③若∥，∥，则∥  ④若，则∥

 其中真命题是          ．（填写编号）

三、解答题（本大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚）

17．（本题共12分）如图，正方体中，为的中点． 

（1）求证：∥平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

18．（本题共12分）已知各项均为正数的数列的前项和满足，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

19．（本题共12分）在中，分别是角的对边，且. 

（1）求角；

（2）若，求的面积．

20．（本题共12分）在四棱锥中， 平面，底面是边长为2的菱形，，是的中点． 

（1）求证：平面平面；

（2）直线与平面所成角为，

求二面角的余弦值．

21．（本题共12分）设函数． 

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；

（3）设函数，若在上至少存在一点使成立，求实数的取值范围．

22．（本题共10分）在平面直角坐标系中，点是曲线，为参数数）上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将线段顺时针旋转得到，设点的轨迹为曲线．

（1）求曲线，的极坐标方程；

（2）在极坐标系中，点的坐标为，射线与曲线、分别交于，两点，求的面积．

武威六中2021届高三一轮复习过关考试（五）

理科数学参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分．

13.        14.      15.        16. ②

三、解答题（共6小题）

17.(本题共12分)

18．(本题共12分)

（1）因为，所以，解得或

由，可得

因为

所以可得或，又，所以

因此数列是以2为首项，3为公差的等差数列。所以

（2）

所以

所以

19．(本题共12分) 解：由余弦定理及，得，
所以.因为，所以．

由正弦定理及，可得，
即，展开得，
整理得．因为，
则，所以，即．
因为，所以．因为，
所以 ．因为，
所以的面积．

20．(本题共12分) ：证明：连接，由题意可知是等边三角形，
又是的中点，所以.
由底面，底面，
所以，且，
所以平面，且平面，
所以平面平面．

解：由可知，在平面上的射影为，
所以直线与平面所成角为．
在中，．
所以在中，，．
以为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，为单位长，
建立如图所示的空间直角坐标系．
由题设可得 ，，，
所以，．
设是平面的法向量，
则得可取．
由知是平面的一个法向量，
则．所以二面角的余弦值为．

21．解：当时，函数，
∴   ，，
则曲线在点处的切线的斜率为
从而曲线在点处的切线方程为，即． 

．
要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立．
即在内恒成立，
即在内恒成立，
由于，∴   ，∴   ，
∴   在内为增函数，实数的取值范围是．

在上至少存在一点使成立，则，
∵   在上是减函数，∴   时，；
时，，即.
由，令，当时，在上是增函数，
∴   ，.
∵   ，即，∴   ；
当时，，
∵   时， 在上为增函数，∴   ，
∴   不合题意，舍去；
当时，，
∴   ，∴   ，∴   在上是减函数，
当时，在上是减函数，
∴   ，不合题意，舍去.
综上，实数的取值范围是.

 22.  (本题共10分)

 解：（1）曲线，为参数）转换为直角坐标方程为：．

转换为极坐标方程为．

将线段顺时针旋转得到，设点的轨迹为曲线．

所以对应的，所以曲线的极坐标方程为．

（2）利用点到直线的距离公式的应用，点到直线的距离．

所以，

所以．