2021武威六中高三下学期第五次诊断考试数学（理）试题含答案

武威六中2021届高三年级第五次诊断考试

理科数学试题

第Ⅰ卷

注意：本试卷共150分，考试时间120分钟.

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.

1. 设集合则

 A．{x|﹣3＜x＜2}    B．{x|﹣1＜x＜2}      C．{x|﹣6＜x＜2}   D．{x|﹣2＜x＜2}

2．复数,则

   A.                B.                 C.  D.

3．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯()在公元前二世纪 首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗．到 了年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足．其中星等为的星的亮度为．已知 “心宿二”的星等是，“天津四” 的星等是，“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与 最接近的是(当较小时，) 

   A.   B.    C.     D.

4．若满足约束条件，则的取值范围是

 A.   B.    

 C.  D.

5．如图所示，正方体中，点分别在上，且，，则 与所成角的余弦值为

 A. 　　　　　B. 　　　　　C.    　　　D.

6．已知等差数列的前项和为，且，，则

 A.                B.                C.             D.

7．函数的单调递减区间是

 A.          B.          C.            D.

8．关于直线与平面，有以下四个命题：

①若且，则； ②若且，则；

③若且，则；④若且，则；

  　其中真命题的序号是

  A.①②  B.③④ C.①④             D.②③

9．函数的部分图象大致为（    ）

 A． B． C．  D．

10．若函数在区间上有最大值，则的取值范围为

  A.  B.  C.  D.

11. 设F是双曲线的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则双曲线C的离心率是（    ）

 A．  B．2  C．  D．

12. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ）

 A．  B．  C．  D．

第Ⅱ卷

　　本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).

13．在的二项展开式中，常数项为_________

14．若向量与的夹角为，，，则________.

15．宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作有秦九韶的《数书九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》.现有数学著作《数书九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》各一本，从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率是__________.

16. 已知函数，则下列说法正确有__________.（将所有正确的序号填在横线上）①．的图象关于点中心对称　　　②．在区间上单调递减

③．在上有且仅有个最小值点 　　　   ④．的值域为

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分12分）

已知数列为正项等比数列，为的前项和，若，．

（1）求数列的通项公式；

（2）从三个条件：①；②；③中任选一个作为已知条件，求数列的前项和．

18. （本小题满分12分）

在创建“全国文明城市”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：

（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分ZN(μ，198)，μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表），

①求μ的值；

②利用该正态分布，求；

（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：

①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；

②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．

参考数据与公式：．若，则，，．

19. （本小题满分12分）

如图,四棱锥中，，，，，．

（1）求证：平面平面；

（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

20. （本小题满分12分）

已知函数，其中a为正实数．

（1）若函数在处的切线斜率为2，求a的值；

（2）若函数有两个极值点，，求证：

21. （本小题满分12分）

已知抛物线上的点到其焦点的距离为，过点的直线与抛物线相交于两点.过原点垂直于的直线与抛物线的准线相交于点.

（1）求抛物线的方程及的坐标

（2）设的面积分别为，求的最大值.

请在22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.

（1）写出直线和曲线的直角坐标方程；

（2）已知点，若直线与曲线交于两点，中点为M，求的值.

23. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.

设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求的取值范围．

第五次诊断考试数学（理）答案

1-12    BCCDC   ACDAA   BC

13.  1215            14.  6           15.              16. ②③   

17. 解：（1）设数列的公比为，因为：，所以，

故：，   解得：或（舍去），故．

由，得：，将代入得：，

所以数列的通项公式为：；

（2）选择①：

，

数列是首项为，公比为的等比数列，

所以.

选择②：

，  

所以

选择③：

，

数列是首项为0，公差为1的等差数列． 所以．

18. 解：（1）由题意得：，

∴ ，∵，

，

（2）由题意知，.

获赠话费的可能取值为20，40，50，70，100，

，，，

，，.

∴的分布列为：

∴

19. 证明：（1）证明：因为四边形为直角梯形，

且, ,,

所以，

又因为．根据余弦定理得

所以，故.

又因为, ,且,平面，所以平面，

又因为平面PBC，所以

（2）由（1）得平面平面,

设为的中点，连结 ，因为,

所以,,又平面平面，

平面平面，

平面.

如图，以为原点分别以，和垂直平面的方向为轴正方向，

建立空间直角坐标系，

则，，，，，

假设存在满足要求，设，即，

所以,易得平面的一个法向量为.

设为平面的一个法向量，，

由得，不妨取.

因为平面与平面所成的锐二面角为，所以，

解得，（不合题意舍去）.故存在点满足条件，且.

20. 解：因为，

所以，   则，所以a的值为

，函数的定义域为，

若，即，则，

此时的单调减区间为；

若，即，则的两根为，

此时的单调减区间为，，

单调增区间为

当时，函数有两个极值点，，且，．

因为

，

要证，只需证

构造函数，则，

在上单调递增，

又，，且在定义域上不间断，

由零点存在定理，可知在上唯一实根，

且在上递减，上递增，

所以的最小值为，

因为，

当时，，所以，

所以恒成立．所以，

所以.

21. 解:（1）因为点到其焦点的距高为，所以，，

所以抛物线方程为，焦点为；

（2）设，直线斜率一定存在，设直线方程为，

由得，，，

，，

抛物线的准线方程为，

过作准线的垂线与准线分别交于，与轴分别交于，

，

，

，

时，直线方程为，则得，即，

，

所以，

，则，设，

，则，因为，所以，

在上是减函数，所以，

所以，

时，，，，，，，                    综上，的最大值是1．

22. 解：（1）直线，故，

即直线的直角坐标方程为.

因为曲线，则曲线的直角坐标方程为，

即.

（2）设直线的参数方程为（为参数），

将其代入曲线的直角坐标系方程得.

设，对应的参数分别为，，则，，

所以M对应的参数，故

23. 解：（1）当时，

可得的解集为．

（2）等价于．即是

而，且当时等号成立．

故等价于．由可得或，所以的取值范围是．