四川省凉山州宁南中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学（理科）试题（含答案）

宁南中学2024届高二上期第一次月考试题

理科数学

考试时间：120分钟   总分：150分

一、单选题(每小题5分，共60分)

1.设集合，，则（    ）

A.          B.           C.         D.

2．已知，则下列不等式正确的是（    ）

A．     B．         C．   D． 

3.已知等差数列中，，则（    ）

A．1024 B．512 C．256 D．32

4.经过点作圆的切线，则切线的方程为（    ）

A.         B.  

C.               D.

5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某个零件的三视图，则这个零件的体积等于（    ）

1. 
                  B.            C.            D.

6.若圆与圆外切，则（   ）

A．    B．    C．     D．

7.已知函数，则下列结论正确的是（   ）

A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称

C．的最大值为 D．的图象关于直线对称

8．如果两直线：与：互相平行，那么它们之间的距离为（   ）

A．4 B． C． D．

9．已知点在直线上，则最小值为（   ）

A．2  B．4  C．6 D．16

10.方程(x+y-1)=0所表示的曲线是（   ）    

A． B． C． D．

11．若圆上有且仅有两个点到直线的距离为,则半径的取值范围是(   )

A． B． C． D．

12．已知三棱锥中，底面BCD是边长为的正三角形，底面BCD，且，则该几何体的外接球的表面积为（     ）

A.             B.            C.           D.

二、填空题(每小题5分，共20分)

13．已知向量，若，则___________.

14．在平面直角坐标系x0y中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是             .

15．已知两点，，直线：与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围               .

16．α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.

（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

（3）如果α∥β，mα，那么m∥β.

（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.

其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号）

三、解答题(第17题10分，其他每小题12分，共70分，需写出详细演算过程)

17．在三角形ABC中，已知点A(4，0)，B(－3，4)，C(1，2)．

(1)求BC边上中线所在直线的方程；

(2)若某一直线过B点，且x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．

18．直线过点且与直线垂直.

（1）求直线的方程；

（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程.

19.已知数列是首项，且满足的正项数列，设．

（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和

20．如图，已知平面，底面为正方形，，分别为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求与平面所成角的正弦值．

21.△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D是AC的中点，已知平面向量、满足，，．

（1）求A；

（2）若，，求△ABC的面积．

22．在直角坐标系中，直线：交轴于，以为圆心的圆与直线相切.

（1）求圆的方程；

（2）是否存在定点，对于经过点的直线，当与圆交于，时，恒有？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由；

（3）设点为直线上一动点，若在圆上存在点，使得，求的取值范围.

2024届高二上期第一次月考理科数学参考答案

1-5.C D B A A     6-10 C D D B D       11-12 A C

13．      14.     15．   16．②③④

17．(1)

(2)或

【解】（1）∵B（－3，4），C（1，2），

∴线段BC的中点D的坐标为（－1，3），

又BC边上的中线经过点A（4，0），

∴y（x－4），即3x+5y－12＝0，

故BC边上中线所在直线的方程为.

（2）当直线在x轴和y轴上的截距均为0时，可设直线的方程为y＝kx，

代入点B（－3，4），则4＝－3k，解得k，

所以所求直线的方程为yx，即4x+3y＝0；

当直线在x轴和y轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为1，

代入点B（－3，4），则，解得m，

所以所求直线的方程为1，即x+2y－5＝0，

综上所述，该直线的一般式方程为4x+3y＝0或x+2y－5＝0．

18．【解】（1）因为直线与直线垂直，则直线的方程可设为，

又因为直线过点，所以，即，

所以直线的方程为；

（2）因为圆心在直线上，所以圆心坐标可设为，

 又因为该圆过点、，

所以有，解得，

所以圆心坐标为，半径，

故圆的方程为.

19．【解】（1）对任意的，，所以，所以数列是等比数列，且首项为，公比为，∴．

（2）∵，∴，所以①，

②，由①减②得：

，所以．

20．【解】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则

.

，

，所以,

由于，所以平面.

（2），

，

设平面的法向量为，则

，令，则，所以.

设直线与平面所成角为，则

.

21．

22．【解】（1）由题意，圆心，直线与圆相切，

所以圆心到直线的距离即半径，

所以圆：；

（2）当直线斜率不存在时，与圆交于、两点，

则点和点关于轴对称，

点在轴上，当时，，所以，

所以成立，点存在；

当直线斜率存在时，设直线：，

代入圆方程，并整理得，，

设点，点，

则，，

若成立，即，

故，整理得，

将，代入得，

，化简得，

所以直线：，恒过定点.

（3）由题意，当与圆相切时最大，

此时，

在圆上存在点，使得，

即，，

设点，则，

所以，解得.