2022-2023学年四川省凉山州宁南中学高二下学期第一次月考数学（理）试题含解析

2022-2023学年四川省凉山州宁南中学高二下学期第一次月考数学（理）试题

一、单选题

1．设全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得.

【详解】因为，

又因为是上的单调递增函数，

所以，则，所以，

故选：B .

2．已知复数（其中为虚数单位），则复数的模为（    ）

A．1 B． C．2 D．4

【答案】B

【分析】先化简，然后利用模的公式进行求解即可

【详解】因为，

所以

故选：B

3．“”是“直线与圆：相交”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据直线和圆相交时圆心到直线的距离和半径的关系判断“”和“直线与圆：相交”的逻辑推理关系，即可判断答案.

【详解】设圆：的圆心到直线的距离为d，

则 ，

当直线与圆：相交时，，

解得，

当时，一定成立，

当时，推不出，因为可能是，

故“”是“直线与圆：相交”的必要不充分条件，

故选：B

4．某高中调查学生对2022年冬奥会的关注是否与性别有关，随机抽样调查150人，进行独立性检验，经计算得，临界值表如下：

则下列说法中正确的是：（    ）

A．有97.5%的把握认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”

B．有99%的把握认为“学生对2022 年冬奥会的关注与性别有关”

C．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下可认为“学生对2022年冬奥会的关注与性别无关”

【答案】C

【分析】根据独立性检验的方法即可求解.

【详解】由题意可知，，

所以在犯错误的概率不超过的前提下可认为“学生对2022 年冬奥会的关注与性别有关”.

故选：C.

5．设等差数列的前项和为，且，则（    ）

A．18 B．24 C．48 D．36

【答案】D

【解析】由题意结合等差数列的性质可得，再由等差数列前项公式结合等差数列的性质可得，即可得解.

【详解】数列是等差数列，所以，

所以，所以..

故选：D.

【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前n项和公式的应用，属于基础题.

6．执行如图所示的程序框图，输出的Р为（    ）

A．10 B．5 C． D．

【答案】C

【分析】根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可．

【详解】，则，

，则，

，则，

，则，

，则，

，则，

，所以输出的Р为.

故选：C.

7．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:20至8:10之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据几何概型求概率公式进行求解.

【详解】7:20至8:10之间共50分钟，其中当到达车站的时刻为7:20至7:30之间，或者7:50至8:00之间时，满足等车时间不超过10分钟，共有20分钟满足要求，

故他等车时间不超过10分钟的概率为.

故选：C

8．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据给定的函数，利用奇偶性可排除两个选项，再利用当时，函数值的正负即可判断作答.

【详解】函数的定义域为R，，即函数是奇函数，排除CD；

当时，，即当时，函数的图象在x轴的上方，显然A不满足，B满足.

故选：B

9．“不积跬步，无以至千里:不积小流，无以成江海.”，每天进步一点点，前进不止一小点.今日距离明年高考还有242天，我们可以把看作是每天的“进步”率都是1%，高考时是；而把看作是每天“退步”率都是1%.高考时是.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过（    ）天.

(参考数据:)

A．200天 B．210天 C．220天 D．230天

【答案】D

【分析】根据已知条件列不等式，由此求得正确答案.

【详解】依题意，

所以，

，

，

，

所以大约经过天.

故选：D

10．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人，根据排列组合得出各自有多少种，再得出甲、乙到同一家企业实习的情况有多少种，即可计算得出答案.

【详解】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；

当分为3,1,1人时，有种实习方案，

当分为2,2,1人时，有种实习方案，

即共有种实习方案，

其中甲、乙到同一家企业实习的情况有种，

故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为，

故选：D.

11．如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于A，两点．若，则双曲线的离心率为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】不妨令，，，根据双曲线的定义可求得，，再利用勾股定理可求得，从而可求得双曲线的离心率．

【详解】，不妨令，，，

，，

又由双曲线的定义得：，，

，

，．

在中，，

又，，

双曲线的离心率．

故选;C

12．已知定义在R上的函数满足，且函数是偶函数，当时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由函数是偶函数，可得函数的图像关于直线对称，从而有，再结合可得函数的周期为4，然后利用周期和将化到上即可求解.

【详解】因为函数是偶函数，所以，所以，

因为，所以，所以，

所以，所以函数的周期为4，

所以，

因为，所以.

故选：C.

二、填空题

13．设满足约束条件，则的最大值为__________.

【答案】6

【分析】作出可行域，根据的几何意义，即可得出最大值.

【详解】画出可行域

解可得，.

由图可知，当直线经过点时，取得最大值6.

故答案为：.

14．已知随机变量满足，若，则__________．

【答案】/

【分析】根据，利用二项分布的概率公式列方程计算即可.

【详解】由已知得，

解得

故答案为：.

15．的展开式中含项的系数为30，则实数a的值为___________．

【答案】

【分析】写出的展开式的通项，再令的指数等于和，结合题意即可得解.

【详解】的展开式的通项为，

令，则，令，则（舍去），

所以的展开式中含项的系数为，

所以.

故答案为：.

16．对于函数.有下列说法：①的值城为；②当且仅当时，函数取得最大值；③函数的最小正周期是；④当且仅当时，.其中正确结论是__________.

【答案】②④

【分析】将表示为分段函数的形式并画出图像，根据三角函数的值域、最值、最小正周期、函数值等知识确定正确答案.

【详解】因为，

作出函数的图像，如图所示：

所以，的值城为，①错误；

函数的最小正周期是，③错误；

当且仅当时，函数取得最大值，②正确；

当且仅当时，，④正确.

故答案为：②④

三、解答题

17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，.

(1)求及b的值；

(2)求AB边上的高.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）先由，求得，再利用正弦定理即可求得，利用余弦定理即可求得；

（2）利用等面积法求解即可.

【详解】（1）在中，因为，

所以，

又，

由正弦定理得：，

由余弦定理得：，

即，

解得或（舍去）；

（2）设AB边上的高为，

则，

即，解得，

即AB边上的高为.

18．为庆祝党的二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，做好社会主义接班人”的宣传活动，为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为5组：，得到如图所示的频率分布直方图：

(1)估计这100名学生的竞赛成绩的中位数（结果保留整数）；

(2)若采用分层抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，这2人中在的人数设为随机变量，请求出随机变量的分布列与数学期望.

【答案】(1)72

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据中位数的求法求得中位数.

（2）根据分层抽样求得和抽取的人数，然后按照超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望.

【详解】（1）因为，

所以竞赛成绩的中位数在内.

设竞赛成绩的中位数为，则，解得.

所以估计这100名学生的竞赛成绩的中位数为72.

（2）和的频率分别为，

所以在的学生中抽取人，在的学生中抽取人，

的可能取值为，

，

，

,

所以随机变量的分布列为:

数学期望.

19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点．

(1)若，求证：直线平面PAB；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明

（2）建系，利用空间向量求二面角.

【详解】（1）取PA的点Q，满足，连接MQ，QB，

因为，所以且，

又因为，且，点N为BC中点，即，且，

所以且，则四边形MQBN为平行四边形，

则，平面PAB，平面PAB，

所以直线平面PAB．

（2）如图所示，以点A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

又N为BC的中点，则，

所以，，，，

设平面CPD的法向量为，

则，令，则，

设平面CPN的法向量为，

则，令，则，

所以，

由题意可得：二面角的平面为钝角，故其余弦值为．

20．设正项数列的前n项和为，，且满足___________.给出下列三个条件：①，；②；③.请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，是数列的前n项和，求证：.

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）选①，证得数列等比数列，求出公比，再根据等比数列得通项公式即可的解；

选②，根据求得，再根据数列通项与前的和的关系即可的解；

选③，根据求得，再根据数列通项与前的和的关系即可的解；

（2）利用裂项相消法求出，即可得解.

【详解】（1）解：选①，

因为，

所以，

所以数列等比数列，

设数列得公比为

由，得或（舍去），

所以；

选②，

因为，

当时，，

所以，所以，

即，

当时，

，

所以，

所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以；

选③，

因为，

当时，，所以，

即，

当时，，

所以，

即，

当时，上式也成立，

所以；

（2）证明：由（1）得，

所以，

所以.

21．某大学为了了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数进行了统计，得到如下统计数据：

(1)经分析，与存在显著的线性相关性，求关于的线性回归方程并预测年（按计算）的报考人数；

(2)每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布，根据往年统计数据，，，录取方案：总分在分以上的直接录取；总分在之间的进入面试环节，录取其中的；低于分的不予录取，请预测年该专业录取的大约人数（最后结果四舍五入，保留整数）．

参考公式和数据：，，．

若随机变量，则，，．

【答案】(1)，人

(2)人

【分析】（1）根据已知条件以及参考数据，利用公式求解即可.

（2）根据已知，利用正态分布以及频数的计算公式进行求解.

【详解】（1）由题可知：

，，

，，

．

关于的线性回归方程为，

当2020年即时，人，

即预测2020年的报考人数为208人.

（2）研究生的考试成绩大致符合正态分布，，

则，,

直接录取人数为人,

，之间的录取人数为人，

预测2020年该专业录取的大约人数是人．

22．已知椭圆过点，且焦距为.

(1)求椭圆的方程；

(2)过直线（不经过点交椭圆于点，，试问直线与直线的斜率之和为，求证：过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.

（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，根据化简求得定点坐标.

【详解】（1）由题意可得，解得，

椭圆的方程：.

（2）当直线的斜率不存在时，设其方程为，且，

则，

所以，

解得（舍去），

所以直线的斜率存在.

设直线的方程为，其中，

联立方程，消去得：，

设，

则，，

所以

，

整理得，直线的方程为，

所以直线恒过定点.

【点睛】根据已知条件求解椭圆的方程，关键点在于列方程组来求得，要注意“隐藏条件”.求解直线过定点问题，可先设出直线方程，然后根据已知条件列方程，求得直线方程中参数的关系，从而求得定点的坐标.