2022-2023学年四川省凉山州宁南中学高二上学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年四川省凉山州宁南中学高二上学期第一次月考数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由并集的概念运算

【详解】

故选：C

2．已知，则下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】不妨令，代入选项，即可逐一判断.

【详解】，满足，

对：，故错误；

对：，故错误；

对：，故正确；

对：，故错误.

故选：.

【点睛】本题考查不等式的基本形式，本题中采用特值法，属基础题.

3．已知等差数列中，，则（    ）

A．1024 B．512 C．256 D．32

【答案】B

【分析】利用等差数列的性质计算出的值，在利用指数幂的运算法则就可以得结果.

【详解】在等差数列中，，，

，

故选：B.

4．经过点作圆的切线，则切线的方程为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】点在圆上，所以可得,即可求出切线斜率，，进而可求出切线方程.

【详解】因为点在圆上，所以，因此切线斜率为2，故切线方程为，整理得

【点睛】本题主要考查圆的切线方程，属于基础题型.

5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某个零件的三视图，则这个零件的体积等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由三视图可知几何体为一个圆锥体和圆柱体组合而成，利用圆锥体、圆柱体的体积公式即可求几何体体积.

【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为：

该几何体由一个底面半径为1，高为2的圆柱和一个底面半径为2，高为3的圆锥组成；

故这个零件的体积.

故选：A

6．若圆与圆外切，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆相外切，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，圆与圆

可得，，

因为两圆相外切，可得，解得．

故选：C.

7．已知函数，则（    ）

A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称

C．的最大值为 D．的图象关于直线对称

【答案】D

【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图像和性质判断各个选项是否正确，从而得出结论.

【详解】解：

对于选项，因为，故不正确；

对于选项，因为，故不正确；

对于选项，因为当时，，故不正确；

对于选项，因为，是的最大值，

所以的图象关于直线对称，故正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查三角恒等变换和正弦函数的图像和性质，属于中档题.

8．如果两直线：与：互相平行，那么它们之间的距离为（    ）

A．4 B． C． D．

【答案】D

【分析】先根据两直线平行得到的值，进而利用两平行线距离公式求出它们之间的距离.

【详解】由题意得：且，解得：，故直线：与：它们之间的距离为.

故选：D

9．已知点在直线上，则最小值为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．16

【答案】B

【分析】利用点在直线上可得，利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.

【详解】由点在直线上可得，

，，，

则，

当且仅当且即时取等号，

故选：B.

【点睛】本题主要考查利用基本不等式求和的最小值，属于基础题.

10．方程(x+y-1)=0所表示的曲线是    

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：由题意得方程，得或，且

，所以方程所表示的曲线为选项D，故选D．

【解析】曲线与方程．

11．若圆上有且仅有两个点到直线的距离为,则半径的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为,可得:其圆心为,到距离为:,设与直线距离是,解得与直线距离是的直线有两条:和,讨论两条:和与圆的位置关系,即可求得答案.

【详解】

可得:其圆心为

根据点到直线距离公式可得到距离为:

设与直线距离是.

根据平行线间距离公式可得:

解得:或

与直线距离是的直线有两条:和

又圆心到距离:

圆心到距离:

如果圆与相交,那么圆也肯定与相交,交点个数多于两个,于是圆上点到的距离等于的点不止两个.

圆与不相交,

如果圆与的距离小于等于,那么圆与和交点个数和至多为个,

圆只能与相交,与相离

.

故选:B.

【点睛】本题考查了根据圆上点与直线的距离求圆的半径范围,解题关键掌握求直线与圆位置关系解法,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

12．已知三棱锥中，底面BCD是边长为的正三角形，底面BCD，且，则该几何体的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将三棱锥补成正三棱柱，找出球心，勾股定理求得外接球半径，再由球的表面积求解即可.

【详解】

由题意知：底面BCD是正三角形，底面BCD，将三棱锥补成如图所示正三棱柱，取上下底面的外心，

易得球心即为中点，连接，易得，，

设外接球半径为，则，则.

故选：C．

二、填空题

13．已知向量，若，则___________.

【答案】

【分析】利用向量平行的充要条件得到方程求解.

【详解】解：向量，

∴，解得.

故答案为：

【点睛】平面向量平行的的充分必要条件.

14．在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则线段的最小值为____.

【答案】

【分析】作出可行域，数形结合易得最小值为到直线的距离，再求解点到线的距离即可.

【详解】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，

因此的最小值为点O到直线的距离，所以.

故答案为：

15．已知两点，，直线：与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围________

【答案】或

【分析】直线恒经过定点，利用斜率公式求解即可

【详解】由题意，直线恒经过定点，

由直线的斜率公式，可得，

要使直线与线段有公共点，或

故答案为：或

【点睛】本题考查直线的斜率，考查直线过定点问题，是基础题

16．α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

（3）如果α∥β，mα，那么m∥β. （4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.

其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号）

【答案】②③④

【详解】试题分析：：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；

②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；

③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确

④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确

【解析】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系

三、解答题

17．在三角形ABC中，已知点A(4，0)，B(－3，4)，C(1，2)．

(1)求BC边上中线的方程；

(2)若某一直线过B点，且x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）求得线段BC的中点坐标，再结合点A的坐标，由直线的点斜式写出直线方程；

（2）分两类：①当直线在x轴和y轴上的截距均为0时，可设直线的方程为y＝kx，代入点B（－3，4），求出k的值；②当直线在x轴和y轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为1，代入点B（－3，4），求得m的值，得解.

【详解】（1）∵B（－3，4），C（1，2），

∴线段BC的中点D的坐标为（－1，3），

又BC边上的中线经过点A（4，0），

∴y（x－4），即3x+5y－12＝0，

故BC边上中线的方程.

（2）当直线在x轴和y轴上的截距均为0时，可设直线的方程为y＝kx，

代入点B（－3，4），则4＝－3k，解得k，

所以所求直线的方程为yx，即4x+3y＝0；

当直线在x轴和y轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为1，

代入点B（－3，4），则，解得m，

所以所求直线的方程为1，即x+2y－5＝0，

综上所述，该直线的一般式方程为4x+3y＝0或x+2y－5＝0．

18．直线过点且与直线垂直.

（1）求直线的方程；

（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的方程；

（2）设圆心的坐标为，根据已知条件可得出关于实数的等式，求出的值，可得出圆心坐标以及圆的半径，进而可得出所求圆的方程.

【详解】（1）因为直线与直线垂直，则直线的方程可设为，

又因为直线过点，所以，即，

所以直线的方程为；

（2）因为圆心在直线上，所以圆心坐标可设为，

 又因为该圆过点、，

所以有，解得，

所以圆心坐标为，半径，

故圆的方程为.

19．已知数列是首项，且满足的正项数列，设．

(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）直接由对数运算结合等比数列的定义即可证明，由等比数列通项公式即可求出通项；

（2）先求出，再由错位相减法求和即可.

【详解】（1）对任意的，，所以，所以数列是等比数列，

且首项为，公比为，∴．

（2）∵，∴，所以①，

②，由①减②得：

，所以．

20．如图，已知平面，底面为正方形，，分别为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.

（2）利用直线的方向向量，平面的法向量，计算线面角的正弦值.

【详解】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则

.

，

，所以,

由于，所以平面.

（2），

，

设平面的法向量为，则

，令，则，所以.

设直线与平面所成角为，则

.

21．△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，D是AC的中点，已知平面向量、满足，，．

(1)求A；

(2)若，，求△ABC的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先利用正弦定理角化边得到，再借助余弦定理即可求出A；

（2）先利用余弦定理得到，再化简为，即可求出，再利用三角形面积公式求解即可.

【详解】（1）∵，，，

∴．

∴，即．

∴．

∵，

∴．

（2）

在△ABD中，由，和余弦定理，得

．

∵D是AC的中点，

∴

∴，化简得，即．

∵，

∴，解得．

∴．

∴△ABC的面积为．

22．在直角坐标系中，直线：交轴于，以为圆心的圆与直线相切.

(1)求圆的方程；

(2)是否存在定点，对于经过点的直线，当与圆交于，时，恒有？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由；

(3)设点为直线上一动点，若在圆上存在点，使得，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)存在，恒过定点

(3)

【分析】（1）由直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，即可求解；

（2）分两种情况讨论，对于斜率存在时，由成立，即，直线与圆联立，利用根与系数的关系以及斜率公式求解即可；

（3）判断出当与圆相切时最大，由此可得，设点，利用距离公式转化为解不等式问题即可求解

【详解】（1）由题意，圆心，直线与圆相切，

所以圆心到直线的距离即半径，

所以圆：；

（2）当直线斜率不存在时，与圆交于、两点，

则点和点关于轴对称，

点在轴上，当时，，所以，

所以成立，点存在；

当直线斜率存在时，设直线：，

代入圆方程，并整理得，，

设点，点，

则，，

若成立，即，

故，整理得，

将，代入得，

，化简得，

所以直线：，恒过定点.

（3）由题意，当与圆相切时最大，

此时，

在圆上存在点，使得，

即，，

设点，则，

所以，解得.