浙江省湖州市长兴县3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编3解答题

这是一份浙江省湖州市长兴县3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编3解答题，共35页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省湖州市长兴县3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编03 解答题
三、解答题
49．（2022·浙江湖州·八年级期末）解不等式组：
50．（2022·浙江湖州·八年级期末）在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（4，3），将点A向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点C．

(1)在平面直角坐标系中画出△ABC；
(2)判断△ABC的形状并说明理由．
51．（2022·浙江湖州·八年级期末）如图，在中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
52．（2022·浙江湖州·八年级期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数y=x的图象平移得到，且经过点A（1，2）．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)若这个一次函数的图象与x轴交于点B，求△AOB的面积．
53．（2022·浙江湖州·八年级期末）已知：如图，在中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，于点G，．

(1)求证：；
(2)若，，求CE的长．
54．（2022·浙江湖州·八年级期末）在一次机器猫抓机器鼠的展演测试中，鼠先从起点出发，1min后，猫从同一起点出发去追鼠，抓住鼠并稍作停留后，猫抓着鼠沿原路返回．鼠，猫距起点的距离与时间之间的关系如图所示．

(1)在猫追鼠的过程中，猫的平均速度与鼠的平均速度的差是___________m/min；
(2)求直线AB的函数表达式；
(3)求猫返回过程中的平均速度．
55．（2022·浙江湖州·八年级期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为，连接BC，过点О作于点D，点为线段BC上一个动点．

(1)求BC，OD的长；
(2)在线段BO上是否存在一点P，使得与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当点C关于OQ的对称点恰好落在的边上，请直接写出点Q的坐标．
56．（2022·浙江湖州·八年级期末）数学课上，老师在黑板上展示了如下一道探究题：
在中，，，点D，E分别在边AC，AB上，且，试探究线段AE和线段AD的数量关系．

(1)初步尝试
如图①，若，请探究AE和AD的数量关系，并说明理由．
(2)类比探究
如图②，若，小组讨论后，有小组利用120°的角作垂线构造直角三角形，通过证明两次三角形全等，得到AE和AD的数量关系仍然成立，请你写出推理过程；
(3)延伸拓展
如图③，将第（2）中的“点E在边AB上”改为“点E在边BA的延长线上”，其它条件不变，请探究AE和AD的数量关系（用含m的式子表示），并说明理由．
57．（2021·浙江湖州·八年级期末）（1）解不等式：，并把它的解表示在数轴上．
（2）解不等式组：
58．（2021·浙江湖州·八年级期末）如图，已知在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．

（1）画出．
（2）若与关于x轴对称，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F，画出，并写出点D，E，F的坐标．
59．（2021·浙江湖州·八年级期末）如图，已知在中，，D，E是边上的两点，且．

（1）求证：．
（2）若，且，，求的面积．
60．（2021·浙江湖州·八年级期末）在平面直角坐标系中，点是一次函数图象上一点．
（1）求m的值．
（2）当时，求y的取值范围．
61．（2021·浙江湖州·八年级期末）为了美化校园，某学校决定利用现有的332盆甲种花卉和310盆乙种花卉，搭配A，B两种园艺造型共50个，摆放在校园道路两侧．已知一个A种园艺造型需甲种花卉7盆，乙种花卉5盆；一个B种园艺造型需甲种花卉6盆，乙种花卉8盆．
（1）问搭配A，B两种园艺造型共有几种方案？
（2）若一个A种园艺造型的成本是200元，一个B种园艺造型的成本是300元，哪种方案成本最低？请写出此方案．
62．（2021·浙江湖州·八年级期末）如图，平面直角坐标系中，直线与直线交于点B，与x轴交于点A．

（1）求点B的坐标．
（2）若点C在x轴上，且是以为腰的等腰三角形，求点C的坐标．
63．（2021·浙江湖州·八年级期末）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下研究：

（1）如图1，△ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
（2）如图2，△ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACD，∠EAB＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，若AB＝4，BC＝2，∠ABC＝45゜，求BD的长．
（3）如图3，四边形ABCD中，连接AC，CD＝BC，∠BCD＝60°，∠BAD＝30°，AB＝15，AC＝25，求AD的长．
64．（2021·浙江湖州·八年级期末）如图，已知在平面直角坐标系中，等腰的边在y轴的正半轴上，且，点C在第一象限，过点的直线经过点C．

（1）求点C的坐标及直线的解析式．
（2）点E为直线上的动点，若的面积等于面积的一半，求点E的坐标．
（3）点F为y轴上的动点，若，求点F的坐标．
65．（2020·浙江湖州·八年级期末）解不等式组：．
66．（2020·浙江湖州·八年级期末）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．

67．（2020·浙江湖州·八年级期末）一次函数的图象过M（6，﹣1），N（﹣4，9）两点．
（1）求函数的表达式．
（2）当y＜1时，求自变量x的取值范围．
68．（2020·浙江湖州·八年级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点在网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C坐标分别是（a，5），（﹣1，b）．

（1）求a，b的值；
（2）在图中作出直角坐标系；
（3）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C'．
69．（2020·浙江湖州·八年级期末）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD．

（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，求AC的长．
70．（2020·浙江湖州·八年级期末）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地.两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示.


（1）根据图象信息，当t=________分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为________米/分钟；
（2）求出线段AB所表示的函数表达式.
71．（2020·浙江湖州·八年级期末）【问题解决】
一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；
思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数．
请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
【类比探究】
如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=，求∠APB的度数．

72．（2020·浙江湖州·八年级期末）如图，已知过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y＝2x+4相交于点P（﹣1，a），l1与y轴交于点C，l2与x轴交于点A．

（1）求a的值及直线l1的解析式．
（2）求四边形PAOC的面积．
（3）在x轴上方有一动直线平行于x轴，分别与l1，l2交于点M，N，且点M在点N的右侧，x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．





【答案】
49．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【详解】解：
由①得：
由②得：
所以原不等式的解为：；
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
50．(1)见解析
(2)等腰直角三角形，见解析

【分析】（1）根据点A（1，1），B（4，3），将点A向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点C．即可在平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）根据勾股定理和勾股定理逆定理即可判断△ABC的形状．
(1)
解：如图，△ABC即为所求；
；
(2)
解：△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
∵AB= ，BC=，AC=，
∴AB=AC，
∵AB2+AC2=BC2=26，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了作图-平移变换，勾股定理，勾股定理的逆定理，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理．
51．(1)见解析
(2)

【分析】（1）由AB=CB，∠ABC=90°，BE=BF，即可利用SAS证得△ABE≌△CBF；
（2）由AB=CB，∠ABC=90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠BAE的度数，又由△ABE≌△CBF，即可求得∠BCF的度数，则由∠ACF=∠BCF+∠ACB即可求得答案．
(1)
证明：∵∠ABC=90°，
∴∠CBF=∠ABE=90°
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
(2)
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
又∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-20°=25°，
由（1）知：△ABE≌△CBF，
∴∠BCF=∠BAE=25°，
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+25°=70°．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
52．(1)
(2)

【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k=1，再将点A（1，2）代入y=x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；
（2）求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．
（1）
解：∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由直线y=x平移得到，
∴k=1，
∵一次函数的图象经过点A（1，2），
∴2=1+b，
解得b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1；
（2）
解：如图，令y=0，则x=-1，
∴B（-1，0），

∴S△AOB=×1×2=1，
∴△AOB的面积为1．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
53．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连结DE．利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，证是等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”性质得出结论；
（2）先由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出DE长，再勾股定理求出EG长，即可由等腰三角形“三线合一”性质求解．
(1)
证明：连结DE．

∵，
∴是直角三角形，
又∵CE是AB边上的中线，
∴
∵，
∴
∴是等腰三角形，
又∵，
∴；
(2)
解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三角形“三线合一”性质是解题的关键．
54．(1)1
(2)
(3)4m/min

【分析】（1）由图象求出“猫”和“鼠”的速度即可；
（2）先设出函数关系式，用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）令（2）中解析式y=0，求出x即可．
（1）
解：由图像知：
“鼠”6min跑了30m，∴“鼠”的速度为：30÷6＝5（m/min），
“猫”5min跑了30m，∴“猫”的速度为：30÷（6-1）＝6（m/min），
∴“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是6-5=1（m/min），
故答案为：1；
（2）
解：设AB的解析式为：，
∵图象经过和
把点A和点B坐标代入函数解析式得：
，解得：
∴AB的解析式为：；
（3）
解：令，则，
∴，
∴“猫”返回至起点所用的时间为14.5－7＝7.5（min）．
：“猫”猫返回过程中的平均速度为：30÷7.5＝4（m/min）
答：“猫”猫返回过程中的平均速度4m/min．
【点睛】本题考查一次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是读取图形中信息，写出函数关系式．
55．(1)，
(2)存在，或
(3)点Q坐标为或

【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点求得点，的坐标，进而求得，的长，根据勾股定理即可求得、的长，根据等面积法求得的长；
（2）先证明，则与全等分两种情况：①当时，②当时，根据全等三角形的性质分别求解即可
（3）分两种情况讨论，利用折叠的性质，三角形面积公式，等腰三角形的性质可求解．
（1）
解：∵令，，得：，
∴，
又∵，
∴，
∴．
令，，得，
∴，
∵，
∴．
（2）
存在，理由如下：
由（1）可知，
，
，
，
，
,，
，
即，
所以与全等分两种情况：
①当时，，
因为，
所以，即；
②当时，，


（3）
设点关于OQ的对称点为，
①当落在上时，作QE⊥CO于点E，QF⊥BO于点F，

∴∠COQ＝∠OQ＝45°，
又∵QE⊥CO，QF⊥BO，
∴QE＝QF，
∵S△OBC＝×OB×OC＝×OC×QE＋×OB×QF，
∴6×8＝（6＋8）×QE，
∴QE＝QF＝，
∴点Q的坐标为．
②点C关于OQ的对称点落在AB上时，

∴OC＝O＝OA，CQ＝Q，∠OCQ＝∠OQ，
∴∠AO＝∠OA，
∴∠OCQ＝∠OQ＝∠AO＝∠OA，
∴∠CBA＝∠QB，
∴BQ＝Q，
∴CQ＝BQ＝Q，
∴点Q是BC的中点，
∴点Q（−3，4），

综上所述：点Q坐标为或
【点睛】本题考查了一次函数与坐标系交点问题，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理等知识，分类讨论思想解决问题是解题的关键．
56．(1)，理由见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析

【分析】（1）证明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得结论．
（2）过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于N．证△CAM≌△BAN（AAS），得CM＝BN，AM＝AN，再证Rt△CME≌Rt△BND（HL），得EM＝DN，可得结论．
（3）在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．证明TE＝TE′，再由含30°角的直角三角形的性质得AT＝m，可得结论．
（1）
∵，
又∵，，
∴，
∴．

（2）
如图（1）中，过点C作交BA的延长线于M，过点N作交CA的延长线于N．
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴．

（3）
如图（2）中，结论：．
理由：在上取一点，使得，则．
过点C作于T．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴．

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，本题综合性强，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
57．（1），图见见解析；（2）
【分析】（1）去分母，移项、合并同类项，系数化1，得出不等式的解集，在数轴上用空心圆表示；
（2）分别求出两个不等式的解集，取其公共部分从而得出不等式组的解集．
【详解】解：（1），
去分母得：
移项得：
合并同类项得：
系数化1得：，
这个不等式解集在数轴上的表示如图所示：

（2），
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
【点睛】本题考查了不等式和不等式组的解法，以及数轴上表示不等式的解集，解题关键是熟练掌握解不等式的步骤，以及解不等式组时最后的结果是去其公共部分．
58．（1）见解析；（2）见解析，
【分析】（1）分别描出点A、B、C，然后依次连接即可；
（2）分别作出点A、B、C关于x轴对称的点，然后依次连接，最后由图像得到点D、E、F的坐标即可．
【详解】解：（1）如图；
（2）就是所求作的图形；
．

【点睛】本题主要考查图形与坐标及轴对称，熟练掌握图像与坐标及轴对称是解题的关键．
59．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据已知条件证明即可；
（2）过点A作交于点F，证明是等腰直角三角形，再根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出BC即可得到结果；
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；

（2）解：过点A作交于点F，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，DE=2-1=1，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合等腰三角形的性质和勾股定理计算是解题的关键．
60．（1），（2）
【分析】（1）将点P的坐标代入一次函数中求出m的值即可；
（2）把x=-1、2分别代入一次函数中，求出对应的y的值，再根据一次函数的增减性即可求出y的取值范围．
【详解】解：（1）把，，代入，得：
∴
（2）当时，
当时，
∵，y随x的增大而减小
∴
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，函数图像上的点，一定满足函数的解析式，也考查了一次函数的性质，解题的关键是正确掌握一次函数的相关知识．
61．（1）共有3种方案；（2）当A种园艺造型32个，B种园艺造型18个，成本最低
【分析】(1)根据题意列出一元一次不等式组，直接解不等式组，然后取整数解即可得出答案；
(2)根据题意列出总成本关于x的一次函数，利用一次函数的性质求解可得.
【详解】（1）解：设A种园艺造型x个，B种园艺造型个

∴
x为正整数：x取30，31，32，
∴可设计3种搭配方案:
第一种：A种园艺造型30个，B种园艺造型20个；
第二种：A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；
第三种：A种园艺造型32个，B种园艺造型18个.
（2）解：设总成本为y元


∴，y随x的增大而减小
∴当时，y取最小值
∴当A种园艺造型32个，B种园艺造型18个，成本最低
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组和一次函数的实际应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出不等式组，属于中档题．
62．（1）；（2）
【分析】（1）联立两直线解析式构建二元一次方程组求解即可；
（2）由题意易得点A的坐标，然后分AB=AC和AB=BC两种情况结合等腰三角形的性质可进行分类求解．
【详解】解：（1）由题意可联立解析式得：，
解得：，
∴；

（2）由直线可令y=0得：，
①若A为顶角顶点，如图所示：
由（1）及两点距离公式可得，
∴，
∴，，
②若B为顶角顶点，
∴，
过点B作BD⊥x轴于点D，则有，
∴，
∴综上所述：当△ABC以AB为腰的等腰三角形，则有．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理及一次函数的性质，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定理及一次函数的性质是解题的关键．
63．（1）CE=BD，见解析；（2）6；（3）20
【分析】（1）证△EAC≌△BAD即可；
（2）证△EAC≌△BAD，得BD=CE，易得∠EBC=90゜，从而在Rt△EBC中运用勾股定理即可求得结果；
（3）连接BD，把△ACD绕点D顺时针旋转60゜得到△EBD，连接AE，则可得BE=AC，△ADE是等边三角形，从而易得AB⊥AE，在Rt△BAE中由勾股定理可求得AE，也即AD的长．
【详解】（1）∵∠EAB=∠CAD
∴∠BAC+∠EAB=∠BAC+∠CAD
即∠EAC=∠BAD
在△EAC和△BAD中

∴△EAC≌△BAD(SAS)
∴CE=BD
（2）∵∠EAB=∠CAD=90゜
∴∠BAC+∠EAB=∠BAC+∠CAD
即∠EAC=∠BAD
∵△EAB、△CAD都是等腰直角三角形，且∠EAB=∠CAD=90゜
∴AE=AB=4，∠EBA=45゜，AC=AD
∴由勾股定理得：
在△EAC和△BAD中

∴△EAC≌△BAD(SAS)
∴CE=BD
∵∠EBC=∠EBA+∠ABC=45゜+45゜=90゜
∴在Rt△EBC中，由勾股定理得：
∴BD=6
（3）如图，连接BD
∵CD=BC，∠BCD=60゜
∴△BCD是等边三角形
把△ACD绕点D顺时针旋转60゜得到△EBD，点E与点A对应，连接AE
则BE=AC=25，△ADE是等边三角形
∴∠DAE=60゜，AD=AE
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=30゜+60゜=90゜
即AB⊥AE
在Rt△BAE中，由勾股定理得：
∴AD=20

【点睛】本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，旋转变换，第三问作旋转变换是关键，也是难点．本质上来说，前两问也可看成把△EAC绕A点逆时针旋转一定角度而得到△BAD．
64．（1），；（2）或；（3）点F坐标为，．
【分析】（1）直接利用待定系数法求解直线的解析式，然后根据点的坐标特点求得点的坐标；
（2）设点的横坐标为，根据题意可知的面积，的面积，根据的面积等于面积的一半，即可求得的值；
（3）由已知条件可知，可以分为点F在点D下方和上方两种情况讨论，点F在点D下方时，过点A作交直线于点H，过点H作轴于点G，过点C作轴于点M，根据角度相等可证明，进而可以证明，则，，即可得到的坐标，通过待定系数法即可得到直线的解析式，即可得到F的坐标，因为轴，所以另一个点F关于对称，即可求得．
【详解】（1）设直线：，
把代入，得，
，
∴，，
∴，
设点C的坐标为，代入，
解得，，
∴点；
（2）三角形的面积：，
设点的横坐标为，
∴三角形的面积：，
∴ ，
∴，
∴点E的横坐标为，
①当时，，
②当时，，
∴点E的坐标为或；
（3）①当点F在点D下方时，
是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
过点A作交直线于点H，
过点H作轴于点G，过点C作轴于点M，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，
得：点H的坐标为，
把H，C(4,4)代入到得，

解得：
∴直线的解析式为：，
将，代入到解析式中，得，
∴点坐标为，
②当点F在点D上方时，
设点F在点D上方时，为，
∵轴，
∴此时点与①中所求的点关于对称，
∵C(4，4)，D(0，4)，，
∴点的坐标为，
∴点F坐标为，．

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的性质、三角形的面积、三角形全等等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，正确找出点F，并分情况进行讨论．
65．3＜x＜6．
【分析】按照解不等式组的步骤求解即可.
【详解】解不等式3x﹣5＞x+1
移项、合并同类项，得：x＞3，
解不能等式x＜2得：x＜6，
所以不等式组的解集为3＜x＜6．
【点睛】此题主要考查不等式组的求解，熟练掌握，即可解题.
66．证明见解析.
【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以∠ACB=∠DBC，故OB=OC．
【详解】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中 ，

∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠OBC=∠OCB，
∴BO=CO．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
67．（1）y＝﹣x+5；（2）当y＜1时，x＞4．
【分析】（1）采用待定系数法，求解即可；
（2）根据函数的增减性，即可得解.
【详解】（1）设一次函数的解析式为y=kx+b
将M（6，﹣1），N（﹣4，9）代入得：
解得
∴函数的表达式 y=﹣x+5．
（2）∵k=﹣1＜0
∴一次函数 y=﹣x+5的函数值随着x的增大而变小
∵当y=1时，1=﹣x+5
∴x=4
∴当y＜1时，x＞4．
【点睛】此题主要考查一次函数解析式以及自变量范围的求解，熟练掌握，即可解题.
68．（1）a=﹣4，b=3；（2）如图所示，见解析；（3）△A'B'C'如图所示，见解析．
【分析】（1）根据点A的纵坐标和点C的横坐标即可画出直角坐标系，即可判定a，b的值；
（2）根据点A的纵坐标和点C的横坐标即可画出直角坐标系；
（3）根据轴对称的性质，先找出各点的对称点，然后连接即可.
【详解】（1）由题意平面直角坐标系如图所示，

可得：a=﹣4，b=3
（2）如图所示：

（3）△A'B'C'如图所示：

【点睛】此题主要考查平面直角坐标系的确定以及轴对称图形的画法，熟练掌握，即可解题.
69．（1）见解析；（2）AC的长为17．
【分析】（1）首先根据垂线的意义得出∠CFD=∠CEB=90°，然后根据角平分线的性质得出CE=CF，即可判定Rt△BCE≌Rt△DCF；
（2）首先由（1）中全等三角形的性质得出DF=EB，然后判定Rt△AFC≌Rt△AEC，得出AF=AE，构建方程得出CF，再利用勾股定理即可得出AC.
【详解】（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠CFD=90°，∠CEB=90°（垂线的意义）
∴CE=CF（角平分线的性质）
∵BC=CD（已知）
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）
（2）由（1）得，
Rt△BCE≌Rt△DCF
∴DF=EB，设DF=EB=x
∵∠CFD=90°，∠CEB=90°，
CE=CF，AC=AC
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）
∴AF=AE
即：AD+DF=AB﹣BE
∵AB=21，AD=9，DF=EB=x
∴9+x=21﹣x解得，x=6
在Rt△DCF中，
∵DF=6，CD=10
∴CF=8
∴Rt△AFC中，AC2=CF2+AF2=82+（9+6）2=289
∴AC=17
答：AC的长为17．
【点睛】此题主要考查角平分线、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.
70．（1）24；40；（2）线段AB的表达式为：y=40t（40≤t≤60）
【详解】解：（1）根据图象信息，当t=24分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为2400÷60=40米/分钟．
故答案是：24，40；
（2）∵甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，t=24分钟时甲乙两人相遇，
∴甲、乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟，
∴乙的速度为100-40=60米/分钟．
乙从图书馆回学校的时间为2400÷60=40分钟，
40×40=1600，
∴A点的坐标为（40，1600），
设线段AB所表示的函数表达式为y=kt+b，
∵A（40，1600），B（60，2400），
∴，解得，
∴线段AB所表示的函数表达式为y=40t（40≤t≤60）．
71．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）先利用旋转求出∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3，利用勾股定理求出PP′，进而判断出△APP′是直角三角形，得出∠APP′=90°，即可得出结论；
（2）同（1）的思路一的方法即可得出结论．
【详解】（1）如图1，

将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，
∴△ABP′≌△CBP，
∴∠PBP′=90°，BP′=BP=2，AP′=CP=3，
在Rt△PBP′中，BP=BP′=2，
∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=BP=2，
∵AP=1，
∴AP2+PP′2=1+8=9，
∵AP′2=32=9，
∴AP2+PP′2=AP′2，
∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，
∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=90°+45°=135°；
（2）如图2，

将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，
∴△ABP′≌△CBP，
∴∠PBP′=90°，BP′=BP=1，AP′=CP=，
在Rt△PBP′中，BP=BP′=1，
∴∠BPP′=45°，根据勾股定理得，PP′=BP=，
∵AP=3，
∴AP2+PP′2=9+2=11，
∵AP′2=（）2=11，
∴AP2+PP′2=AP′2，
∴△APP′是直角三角形，且∠APP′=90°，
∴∠APB=∠APP′﹣∠BPP′=90°﹣45°=45°．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
72．（1）a=2，y=﹣x+1；（2）四边形PAOC的面积为；（3）点Q的坐标为或或（﹣，0）．
【分析】（1）将点P的坐标代入直线l2解析式，即可得出a的值，然后将点B和点P的坐标代入直线l1的解析式即可得解；
（2）作PE⊥OA于点E，作PF⊥y轴，然后由△PAB和△OBC的面积即可得出四边形PAOC的面积；
（3）分类讨论：①当MN=NQ时，②当MN=MQ时，③当MQ=NQ时，分别根据等腰直角三角形的性质，结合坐标即可得解.
【详解】（1）∵y=2x+4过点P（﹣1，a），
∴a=2，
∵直线l1过点B（1，0）和点P（﹣1，2），
设线段BP所表示的函数表达式y=kx+b并解得：
函数的表达式y=﹣x+1；
（2）过点P作PE⊥OA于点E，作PF⊥y轴交y轴于点F，

由（1）知，AB=3，PE=2，OB=1，点C在直线l1上，
∴点C坐标为（0,1），
∴OC=1
则；
（3）存在，理由如下：
假设存在，如图，设M（1﹣a，a），点N，

①当MN=NQ时，

∴
∴，
②当MN=MQ时，
∴
∴，
③当MQ=NQ时，，
∴，
∴．
综上，点Q的坐标为：或或（﹣，0）.
【点睛】此题主要考查一次函数的几何问题、解析式求解以及动直线的综合应用，熟练掌握，即可解题.