浙江省杭州市上城区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编3解答题

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浙江省杭州市上城区3年（2020-2022）八年级数学上学期期末试题汇编03 解答题
三、解答题
49．（2022·浙江杭州·八年级期末）解不等式组，并把不等式组的解在数轴上表示出来．
50．（2022·浙江杭州·八年级期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是．

(1)画出；
(2)将平移，使点A平移到原点O，画出平移后的图形并写出点B和点C的对应点坐标．
51．（2022·浙江杭州·八年级期末）小聪去购买笔记本和钢笔共30件，每本笔记本2元，每支钢笔5元，若购买的钢笔数量不少于笔记本的数量．
(1)小聪至多能买几本笔记本？
(2)若小聪只带了130元钱，此时他至少要买几本笔记本？
52．（2022·浙江杭州·八年级期末）的周长为12，，设．
(1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)若是等腰三角形，求它的三边长．
53．（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，，D为延长线上一点，且交于点F．

(1)求证：是等腰三角形，
(2)若，F为中点，求的长．
54．（2022·浙江杭州·八年级期末）设两个不同的一次函数（a，b是常数，且）．
(1)若函数的图象经过点，且函数的图象经过点，求a，b的值；
(2)写出一组a，b的值，使函数、图象的交点在第四象限，并说明理由；
(3)已知，点在函数的图象上，点在函数的图象上，若，判断m和n的大小关系．
55．（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，C是线段上的一点，以为斜边在线段同侧作等腰直角三角形和，过D作于点D，且，连接交于点G，连接．

(1)求证：；
(2)请判断的形状，并说明理由；
(3)请写出与的数量关系，并说明理由．
56．（2020·浙江杭州·八年级期末）解不等式组：
（1）；
（2）．
57．（2022·河南信阳·八年级期末）如图，BD为的角平分线，E为AB上一点，，连结DE．

(1)求证：；
(2)若，，，求的面积．
58．（2020·浙江杭州·八年级期末）如图，线段，利用直尺和圆规按照下列要求作出图形．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（1）作一个等边三角形，边长为；
（2）在第（1）题的图中，作一个，使．

59．（2020·浙江杭州·八年级期末）高空的气温与距地面的高度有关．已知某地的地面气温为24℃，该地距地面的高度每升高1km，气温下降6℃．
（1）求距地面2km处的气温；
（2）写出该地空中气温T（℃）与高度之间的函数表达式；
（3）若该地上空某处气温不低于0℃且不高于6℃，求此处距地面的高度的范围．
60．（2020·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，是边上的高线，的垂直平分线分别交，于点，．
（1）若，求的度数；
（2）试判断与的数量关系，并说明理由．

61．（2020·浙江杭州·八年级期末）已知一次函数．
（1）判断点是否在该一次函数的图象上，并说明理由；
（2）若一次函数，当，试比较函数值与的大小；
（3）函数随的增大而减小，且与轴交于点，若点到坐标原点的距离小于，点，的坐标分别为，．求面积的取值范围．
62．（2020·浙江杭州·八年级期末）如图，四边形，，为上一点，平分且．
（1）若，求的度数；
（2）求证：；
（3）设，，过点作一条直线，分别与，所在直线交于点点．若，求的长（用含的代数式表示）．

63．（2020·浙江杭州·八年级期末）解不等式（组）
（1）
（2）
64．（2020·浙江杭州·八年级期末）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，4)，B(1，1)，C(3，2)．

（1）在直角坐标系中画出△ABC，并判断三角形的形状(不写理由)：
（2）平移△ABC，使点A与点O重合，写出点B、点C平移后所得点的坐标，并描述这个平移过程．
65．（2020·浙江杭州·八年级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O．给出下列3个条件:①∠EBO=∠DCO；②AE=AD；③OB=OC．

（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定ΔABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）
（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．
66．（2020·浙江杭州·八年级期末）已知3m+n=1，且m≥n.
（1）求m的取值范围
（2）设y=3m+4n，求y的最大值
67．（2020·浙江杭州·八年级期末）大伟老师购买了一辆新车，加满油后，经过一段时间的试驾，得到一组行驶里程与剩余油量的数据：行驶里程x（km）和剩余油量y（L）的部分关系如表：
x
100
200
300
350
400
y
43
36
29
25.5
22

（1）求出y与x之间的关系式；
（2）大伟老师驾车到4158公里外的拉萨，问中途至少需要加几次油．
68．（2020·浙江杭州·八年级期末）已知一次函数的表达式是y=(m-4)x+12-4m（m为常数，且m≠4）
（1）当图像与x轴交于点（2，0）时，求m的值;
（2）当图像与y轴的交点位于原点下方时，判断函数值y随着x的增大而变化的趋势;
（3）在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，求其中任意两条直线与y轴围成的三角形面积的取值范围．
69．（2020·浙江杭州·八年级期末）已知△ABC与△A’B’C’关于直线l对称，其中CA=CB，连接，交直线l于点D（C与D不重合）

（1）如图1，若∠ACB=40°，∠1=30°，求∠2的度数；
（2）若∠ACB=40°，且0°＜∠BCD＜110°，求∠2的度数；
（3）如图2，若∠ACB=60°，且0°＜∠BCD＜120°，求证：BD=AD+CD.

【答案】
49．-2＜x≤
【分析】首先解每个不等式，然后在数轴上表示出来，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【详解】解：解不等式，得：x>-2，
解不等式，得：x≤，
则不等式组的解集为-2＜x≤，
将解集表示在数轴上如图所示：

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
50．(1)画图见解析；
(2)画图见解析，，

【分析】（1）根据即可画出；
（2）先画出平移后的，再写出点B1和点C1的坐标即可.
（1）
解：如图所示：即为所求.

（2）
解：平移后的如图所示：

此时，
【点睛】本题考查了作图-平移变换，掌握平移的性质是解决本题的关键.
51．(1)小聪最多能购买15本笔记本
(2)他至少要买7本笔记本

【分析】（1）设小聪购买的笔记本数量为x本，则购买支钢笔，然后根据购买的钢笔数量不少于笔记本的数量列出不等式求解即可；
（2）设小聪购买的笔记本数量为y本，则购买支钢笔，然后根据购买的钢笔数量不少于笔记本的数量以及钢笔和笔记本的花费不能超过130元列出不等式求解即可．
（1）
解：设小聪购买的笔记本数量为x本，则购买支钢笔，
由题意得：，
解得，
∴小聪最多能购买15本笔记本；
（2）
解：设小聪购买的笔记本数量为y本，则购买支钢笔，
由题意得：，
解得，
∴他至少要买7本笔记本．
【点睛】本题主要考查了不等式组的应用，解题的关键在于能够根据题意正确列出不等式求解．
52．(1)（）
(2)

【分析】（1）根据三角形周长计算公式进行计算即可；
（2）分AC为底和腰两种情况进行讨论求解即可．
(1)
∵，
又
∴，即
∴
∴
∵
∴；
(2)
①若AC为底，则BC=AB，
∵
∴
∴
∴
∵
∴不存在
②若AC为腰，则AC=BC=2AB，
∵
∴
∴
∴
此时存在，
∴的三边长分别为
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，熟练掌握三角形的三边关系是解决问题的关键．
53．(1)证明过程见详解．
(2)8

【分析】（1）通过已知条件证明AFD和D相等就能证明是等腰三角形；
（2）因为AC=AB，F是AB的中点所以AF=AD=5，再根据勾股定理求出EF，过A点作AGDE，再通过证明三角形全等得出DF=2EF．
（1）
证明：
∴∠B=∠C
又
∴∠B+∠BFE=90°
∠C+∠D=90°
∴∠BFE=∠D
∠BFE=∠AFD
∴∠D=∠AFD
∴是等腰三角形
（2）

解：过A作AG⊥DE，交DE于点G．

∴∠AGF=∠BEF
，，F为中点
∴BF=AF=5
又在RtBEF中，BE=3,
∴EF=＝＝4
在AGF和BEF中

∴AGF≌BEF
∴EF=GF
AG⊥DE，AD=AF
∴GF=DG
∴DF=2EF
∴DF=8
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质以及勾股定理．解题的关键是熟悉全等三角形的判定以及等腰三角形的性质．
54．(1)
(2)，理由见解析
(3)

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先联立然后求出，即可得到函数与函数的交点坐标为（1，），然后根据第四象限点的坐标特点写出一组满足题意的a、b的值即可；
（3）先求出函数，函数，然后根据一次函数图像上点的坐标特征得到，，则．
(1)
解：∵函数，函数分别经过点（2，1），（1，2），
∴，
解得；
(2)
解：即为一组满足题意的解，理由如下：
联立，即，
解得，
∴函数与函数的交点坐标为（1，），
∵，
∴函数与函数的交点坐标为（1，-1）在第四象限，符合题意；
(3)
解：∵，，
∴函数，函数，
∵点（p，m）在函数上，点（q，n）在函数上，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征，第四象限点的坐标特征，熟知相关知识是解题的关键．
55．(1)证明见解析
(2)△AEF是等腰直角三角形，理由见解析
(3)∠CAG+∠DEF =45°，理由见解析.

【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠EDC=45°，由垂直的定义得∠EDF=90°，由此∠FDB=45°，再由AAS证和全等即可；
（2）△AEF是等腰直角三角形，理由：由等腰直角三角形的性质得，AB=AC，EC=ED，∠ACB=∠ECD=45°，∠CED=90°，故∠ECA=90°，等量代换得CA=DF，由SAS证得和全等，可得EA=EF，∠AEC=∠FED，进而∠AEF=90°，由此可证△AEF是等腰直角三角形；
（3）如图，由等边对等角可得，∠1=45°，由全等三角形对应角相等得∠2=∠DEF，由直角三角形两锐角互余得∠CAG+∠3=90°，由三角形外角的性质可得∠1+∠2=∠3，等量代换即可得到∠CAG+∠DEF =45°.
(1)
证明：∵和都是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠EDC=45°，
∵DF⊥DE于点D，
∴∠EDF=90°，
∴∠FDB=45°，
在和中，
，
∴≌（AAS）
(2)
解：△AEF是等腰直角三角形，
理由：∵和都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，EC=ED，∠ACB=∠ECD=45°，∠CED=90°，
∴∠ECA=90°，
∵AB=DF，
∴CA=DF，
在和中，
，
∴≌（SAS），
∴EA=EF，∠AEC=∠FED，
∵∠CEF+∠FED=90°，
∴∠CEF+∠AEC=90°，即∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形.
(3)
解：如图：

由（2）知：△AEF是等腰直角三角形，
∴∠1=45°，
∵≌，
∴∠2=∠DEF，
∵∠ECA=90°，
∴∠CAG+∠3=90°，
∵∠1+∠2=∠3，
∴∠CAG+∠1+∠2=90°，
∴∠CAG+∠45°+∠DEF =90°，
∴∠CAG+∠DEF =45°.
【点睛】此题考查三角形外角的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，掌握相应的性质和判定是解答此题的关键.
56．（1）x>；（2）＜x≤1．
【分析】（1）移项合并，将x系数化为1，即可求出解集；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，利用取解集的方法即可得到不等式组的解集．
【详解】解：（1）移项得：5x﹣3x>2+1，
合并得：2x>3，
解得：x>；
（2），
由①解得：x＞；
由②去分母得：3（1-x）≥2（2x+1）-6，
去括号得：3-3x≥4x+2-6，
移项合并得：-7x≥-7，
解得：x≤1，
则不等式组的解集为＜x≤1．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式及不等式组，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
57．(1)证明见解析；
(2)7

【分析】（1）由角平分线的定义可知，结合题意即可利用“SAS”直接证明；
（2）根据全等的性质可得出，，再利用三角形面积公式计算即可．
(1)
∵BD为的平分线，
∴，
又∵，，
∴；
(2)
∵，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形全等的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
58．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）过作射线，在上截取，以、为圆心，为半径作弧交于，则△ABC为等边三角形；
（2）作∠CAB的角平分线AP，则∠PAB==30．
【详解】（1）如图，△ABC为所作；

（2）如图，为所作．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，作一条线段等于已知线段，角平分线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
59．（1）距地面2km处的气温为；（2）；（3）此处距地面的高度的范围为．
【分析】（1）直接根据空中气温T=地面温度-6×上升高度，列式计算即可得出答案；
（2）直接利用空中气温T=地面温度-6×上升高度，进而得出答案；
（3）根据，得到，解不等式即可求出答案．
【详解】（1），
答：距地面2km处的气温为；
（2）∵离地面距离每升高1 km，气温下降6℃，
∴该地空中气温T（℃）与高度h（km）之间的函数表达式为：；
（3）当时，则，
∴．
答：此处距地面的高度的范围为．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，正确得出T与h的关系是解题关键．
60．（1）；（2），证明见解析
【分析】（1）由垂直平分线的性质，高线的性质可得，，，即可求得；
（2）由，，证明，可得，由为的垂直平分线可得，与的关系，进而即可得到与的数量关系．
【详解】（1）如图，

∵，为的垂直平分线，
∴，，
∴,
又∵是边上的高线，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
又∵为的垂直平分线，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形高线的性质、垂直垂直平分线的性质、平行线的证明与性质、等腰三角形的性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握运用以上知识点．
61．（1）点在该一次函数的图象上，理由见解析；（2）当时，，当时，，当时，；（3）
【分析】（1）根据一次函数的性质，将点代入到函数解析式，判断等式两边是否相等即可；
（2）根据（1）中结果，即可求得两个函数的交点，根据函数的增减性即可判断函数值与的大小；
（3）根据函数的增减性以及若点到坐标原点的距离小于，确定的取值范围，再用表示出的面积，即可求得面积的取值范围．
【详解】（1）将点代入到函数解析式，
得，，
即，
∴点在该一次函数的图象上；
（2）两函数联立得，
∵一次函数 ，，
∴该函数单调递减，
∵一次函数，，
∴该函数单调递增，
∴当时，，
当时，，
当时，；
（3）设A(0，),
∵由A(0，)，B，C三点构成，
又∵函数随的增大而减小，
∴，
当时，，
解得，，
∴，
∴A(0，)，
∵B，C，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、三角形的面积、绝对值的性质、平面直角坐标系中的点等知识，解题的关键是熟练运用以上知识点找到等量关系进行求解．
62．（1）；（2）证明见解析；（3）或
【分析】（1）根据已知条件平分且以及三角形内角和，即可求得的度数；
（2）延长交的延长线于点，由已知条件即可证明，即可得到，，进而即可证明，即可得到，通过相等关系，即可证明；
（3）根据题意可知，可以分两种情况进行讨论，分别为：①当时，延长交的延长线于点，可知此时四边形是平行四边形，可以求得的长度，由（2）中证明的，，可得，，，，进而可以证明≌，可得，进而通过线段的等量关系求得的长；②如图3，过作交于，过作交于，
同①可得，则，则可得，由和梯形的面积关系可得的长度，通过勾股定理即可得到的长度，通过证明≌，可得，进而通过等量关系即可得到的长．
【详解】（1）∵平分，，
∴,，
∴在中，；
（2）如图1，延长交的延长线于点，
∵，平分，
∴，，
在和中，
，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
∴；

（3）分两种情况讨论，
①当时，如图2，延长交的延长线于点，
∴由已知条件可知，此时四边形是平行四边形，
∴，
∵，，，
∴在中，，解得，，
由（2）可知，，
∴，，
由（2）可知，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，，，
∴≌，
∴，
∵，
∴,
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴,
∴,
∴，
∴；

图2
②如图3，过作交于，过作交于，
同①可得，
∴，
∴，
∴，
在中，，
由（2）可知，梯形的面积，
梯形的面积，
解得，，
在中，，
∵，
∴，，
∵在和中，
，，
∴≌，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

图3
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的证明和性质、三角形面积、梯形面积、线段的和差、三角形内角和等知识，解答本题的关键是正确的作出辅助线，证明三角形全等．
63．（1）（2）
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同小取小”即可确定不等式组的解集.
【详解】（1）
2x+2-1＞x
2x-x＞-2+1

（2）解不等式，得：x＜-2，
解不等式，得：x≤，
故不等式组的解集为.
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式和解一元一次不等式组的能力，熟练掌握不等式的基本性质以准确求出每个不等式的解集是解答此题的关键．
64．（1）等腰直角三角形（2）点B平移后为（-1，-3），点C平移后为（1，-2）；平移过程：向左平移2个单位，向下平移4个单位
【分析】（1）根据三角形的顶点坐标即可作图，再根据勾股定理即可判断形状；
（2）根据题意可知平移过程：向左平移2个单位，向下平移4个单位，故可找到平移后的坐标，再顺次连接即可.
【详解】（1）如图，△ABC为所求，
∵AB=；
AC=
BC=
又AB2=AC2+BC2,
∴△ABC为等腰直角三角形；
（2）如图，△OB’C’为所求，点B平移后为（-1，-3），点C平移后为（1，-2）；平移过程：向左平移2个单位，向下平移4个单位

【点睛】本题考查了平移的运用，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
65．（1）①②与①③，②③（写前两个或写三个都对）（2）见解析
【分析】（1）由①②；①③．两个条件可以判定△ABC是等腰三角形，
（2）先求出∠ABC＝∠ACB，即可证明△ABC是等腰三角形．
【详解】（1）①②与①③或②③（写前两个或写三个都对）
（2）选①③证明如下，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠EBO＝∠DCO，
又∵∠ABC＝∠EBO＋∠OBC，∠ACB＝∠DCO＋∠OCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是找出相等的角求∠ABC＝∠ACB．
66．（1） （2）
【分析】（1）把n用m表示，再代入m≥n即可求解;
（2）先表示为y关于m的函数，再根据一次函数的性质即可求解.
【详解】（1）∵3m+n=1
∴n=-3m+1
∵m≥n
∴m≥-3m+1
解得
（2）y=3m+4n=3m+4(-3m+1)=-9m+4
∵-9＜0,∴y随m的增大而减小，
∴当m=时，y的最大值为-9×+4=
【点睛】此题主要考查一次函数与不等式，解题的关键是熟知一次函数的性质及不等式的求解.
67．（1） （2）6
【分析】（1）根据表格可知行驶里程x（km）和剩余油量y（L）的关系符合一次函数，故代入两组数据即可求解；
（2）先求出加满油能行驶的距离，再求出x=4158，y的值，故可求解.
【详解】（1）设y与x之间的关系式为y=kx+b(k≠0)
把（100,43）、（200,36）代入得
解得
∴y与x之间的关系式为
（2）令y=0，即，解得x=
把4158÷≈5.8
故中途至少需要加6次油.
【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据题意求出一次函数解析式.
68．（1）；(2) 当时，函数值y随着自变量x的增大而减小；当 时，函数值y随着自变量x的增大而增大；（3）
【分析】（1）把（2，0）代入解析式即可求解；
（2）先求出直线与y轴交点为（0,12-4m），故可得到不等式，再根据一次函数的性质即可额求解；
（3）先判断函数图像恒过点（4,-4），再根据函数图像求得两条直线形成的面积最大为，故可求解.
【详解】（1）∵一次函数经过点（2,0）
∴解得
（2）∵图像与y轴交点位于原点下方，且与y轴交点为（0,12-4m）
∴，解得
∴
∴当，即时，函数值y随着自变量x的增大而减小；
当 ，即时，函数值y随着自变量x的增大而增大.
（3）∵函数值y随着自变量x的增大而减小，
∴
∵
∴函数图像恒过点（4,-4）

由函数图像可知，当时，，当时，，
此时两条直线形成的面积最大为；
当两条直线相同时，形成的面积为，
故任意两条直线与y轴形成的三角形面积的取值范围为.
【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的性质及三角形的面积公式.
69．（1）70°；（2）当0°