(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第7讲《函数的奇偶性与周期性》（解析版）

第7讲   函数的奇偶性与周期性

思维导图

知识梳理

1．函数的奇偶性

2.周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

核心素养分析

能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。

重点提升数学抽象、逻辑推理素养.

题型归纳

题型1    函数奇偶性的判定

【例1-1】（2019•全国）下列函数中，为偶函数的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据函数奇偶性的定义分别进行判断即可．

【解答】解：．函数关于对称，函数为非奇非偶函数，

．函数的减函数，不具备对称性，不是偶函数，

，，

则函数是偶函数，满足条件．

．由得得，函数的定义为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，

故选：．

【例1-2】（2019·肥西质检）判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝＋；

(3)f(x)＝；

(4)f(x)＝

【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可.

【解答】　(1)由f(x)＝，可知⇒故函数f(x)的定义域为(－6，0)∪(0，6]，定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数．

(2)由⇒x2＝1⇒x＝±1，故函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，所以f(－x)＝f(x)＝－f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．

(3)由⇒－1<x<0或0<x<1，

定义域关于原点对称．

此时f(x)＝＝

＝－，

故有f(－x)＝－＝

＝－f(x)，

所以函数f(x)为奇函数．

(4)

法一：图象法

画出函数f(x)＝的图象如图所示，图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．

法二：定义法

易知函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，

当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，－x>0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x<0时，f(x)＝x2＋x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)，故原函数是偶函数．

法三：f(x)还可以写成f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故f(x)为偶函数．

【跟踪训练1-1】（2020春•龙华区校级月考）已知函数，则下列结论正确的是　　

A．为奇函数 B．为偶函数 

C．为奇函数 D．为非奇非偶函数

【分析】判断可知函数，均为奇函数，利用奇函数的性质即可得解．

【解答】解：，故函数为奇函数，显然函数也为奇函数，

为偶函数，为奇函数，

故选：．

【跟踪训练1-2】（2019秋•桥西区校级月考）判断下列函数的奇偶性，并求函数的值域

（1）

（2）

【分析】（1）可以得出，从而可看出是奇函数，值域为；

（2）可看出是偶函数，并容易求出的值域为，．

【解答】解：（1），

是奇函数，且的值域为；

（2）为偶函数，

，

，

的值域为，．

【名师指导】

判断函数奇偶性的3种常用方法

(1)定义法：

确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．

(2)图象法：

(3)性质法：

设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

题型2    函数奇偶性的应用

【例2-1】(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a＝________．

(2)函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________．

(3)(2020·湖南永州质检)已知函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)＝________．

【分析】根据函数奇偶性的性质求解.

【解答】　(1)当x>0时，－x<0，f(－x)＝－e－ax.因为函数f(x)为奇函数，

所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以f(ln 2)＝e－aln 2＝＝8，

所以a＝－3.

(2)因为f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x＋1，

所以当x<0时，－x>0，

f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，

即x<0时，f(x)＝－(－x＋1)＝x－1.

(3)设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，显然F(x)为奇函数．又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0.

【跟踪训练2-1】（2019•新课标Ⅱ）设为奇函数，且当时，，则当时，　　

A． B． C． D．

【分析】设，则，代入已知函数解析式，结合函数奇偶性可得时的．

【解答】解：设，则，

，

设为奇函数，，

即．

故选：．

【跟踪训练2-2】（2020•上海）若函数为偶函数，则　　．

【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得，变形分析可得答案．

【解答】解：根据题意，函数为偶函数，则，

即，

变形可得：，

必有；

故答案为：1．

【跟踪训练2-3】（2020•迎泽区校级模拟）已知为奇函数，当时，，则的值为　 　．

【分析】结合已知函数解析式及奇函数的定义代入即可求解．

【解答】解：因为为奇函数，当时，，

则（1）．

故答案为：3

【跟踪训练2-4】（2019秋•丰台区期末）函数是定义在上的偶函数，且图象过点．已知时，且．

（Ⅰ）求（1）的值和的值；

（Ⅱ）若，，求的取值范围．

【分析】（Ⅰ）根据题意，由偶函数的性质可得（1），进而结合函数的解析式可得（1），解可得的值，即可得答案；

（Ⅱ）根据题意，由函数的解析式分析可得时，的解集，结合函数的奇偶性分析可得答案．

【解答】解：（Ⅰ）根据题意，图象过点，即，

又由是定义在上的偶函数，则（1），

又由时，，则（1），

解可得；

（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）的结论，时，，

此时若，即且，

解可得：，

又由为偶函数，则，

即的取值范围为，．

【名师指导】

与函数奇偶性有关的问题及解题策略

(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．

(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．

(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解．

题型3   函数的周期性

【例3-1】（2019•上海）已知函数周期为1，且当时，，则　　．

【分析】由题意知函数周期为1，所以化简再代入即可．

【解答】解：因为函数周期为1，所以，

因为当时，，所以，

故答案为：．

【例3-2】（2020•安阳二模）已知是定义在上的函数，且，如果当，时，，则　　．

【分析】推导出，再由当，时，，得到（2），由此能求出结果．

【解答】解：是定义在上的函数，且，

，

当，时，，

（2）．

故答案为：．

【跟踪训练3-1】（2020春•红旗区校级月考）已知是定义在上周期为2的函数，当，时，，那么当，时，　　

A． B． C． D．

【分析】当，时，，．再利用周期性即可得出．

【解答】解：当，时，，．

，

故选：．

【跟踪训练3-2】(2019·山西八校联考)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f＝________．

【分析】先求出函数的周期，再根据周期函数的性质计算即可.

【解答】∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)，

∴f＝f，又2≤x≤3时，f(x)＝x，

∴f＝，∴f＝.

【名师指导】

 函数周期性有关问题的求解策略

(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．

(2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性．

题型4    函数性质的综合应用

【例4-1】（2020•山东）若定义在的奇函数在单调递减，且（2），则满足的的取值范围是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

【分析】根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可．

【解答】解：定义在的奇函数在单调递减，且（2），的大致图象如图：

在上单调递减，且；

故；

当时，不等式成立，

当时，不等式成立，

当或时，即或时，不等式成立，

当时，不等式等价为，

此时，此时，

当时，不等式等价为，

即，得，

综上或，

即实数的取值范围是，，，

故选：．

【例4-2】（2020•安庆模拟）已知奇函数的定义域为，若为偶函数，且（1），则　　

A． B． C．0 D．1

【分析】根据题意，由为偶函数，分析可得且（1），结合函数周期即可得答案

【解答】解：根据题意，函数为奇函数，则，

又由为偶函数，则函数的图象关于对称，则有，

所以即函数的周期为4，且（1），

则（1），，

则

故选：．

【例4-3】（多选）（2020•烟台模拟）已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当，时，，则　　

A．是周期为2的函数 

B． 

C．的值域为， 

D．的图象与曲线在上有4个交点

【分析】，根据题意得，是周期为4的周期函数，错误；

，因为是周期为4的周期函数，则；当，时，，则（1），则（1），进而得出正确．

，当，时，，此时有，又由为上的奇函数，则，时，，进而得出正确．

，由函数图象可知，正确．

【解答】解：根据题意，

对于，为上的奇函数，为偶函数，则；

则是周期为4的周期函数，错误；

对于，为定义域为的奇函数，则，

是周期为4的周期函数，则；

当，时，，则（1），

则（1），

则；故正确．

对于，当，时，，此时有，

又由为上的奇函数，则，时，，

所以函数的值域，．故正确．

对于，由函数图象可知，正确．

故选：．

【跟踪训练4-1】（2020•新课标Ⅱ）设函数，则　　

A．是奇函数，且在单调递增 

B．是奇函数，且在单调递减 

C．是偶函数，且在单调递增 

D．是偶函数，且在单调递减

【分析】先检验与的关系即可判断奇偶性，然后结合幂函数的性质可判断单调性．

【解答】解：因为，

则，即为奇函数，

根据幂函数的性质可知，在为增函数，故在为减函数，在为增函数，

所以当时，单调递增，

故选：．

【跟踪训练4-2】（2020•和平区二模）已知是定义在上的偶函数，且在区间，上单调递增，若实数满足，则的取值范围是　       　．

【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．

【解答】解：因为是定义在上的偶函数，且在区间，上单调递增，

根据偶函数的对称性可知，在上单调递减，

因为，

所以，即，

解可得，

故答案为：

【跟踪训练4-3】（2020•江苏模拟）已知是定义在上的奇函数，且对任意实数恒有，当，时，．

（1）求证：函数的周期是4；

（2）求的值；

（3）当，时，求的解析式．

【分析】（1）结合已知及周期的定义即可求解；

（2）结合已知周期性及已知区间上的函数解析式进行转化，代入可求；

（3）先把所求区间上的变量进行转化到已知区间上，然后结合奇函数的性质可求．

【解答】解：（1）证明：因为，

故函数的周期；

（2）（1）（2）（3）（4）

（1）（2）（1）（2）（1）（2），

（3）当，时，，，

所以，

所以，

所以，，．

【名师指导】

函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略

(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．

(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．