2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第08讲 函数的奇偶性、对称性和周期性（精讲）（含解析）

这是一份2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第08讲 函数的奇偶性、对称性和周期性（精讲）（含解析），共39页。学案主要包含了必备知识整合，函数的对称性，函数的周期性，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、必备知识整合
一、函数的奇偶性
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
二、函数的对称性
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于点对称．
三、函数的周期性
（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.
1.奇偶性技巧
（1）若奇函数在处有意义，则有；
（2）对于运算函数有如下结论：
①奇奇=奇；
②偶偶=偶；
③奇偶=非奇非偶；
④奇奇=偶；
⑤奇偶=奇；
⑥偶偶=偶.
（3）常见奇偶性函数模型
奇函数：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
注意：关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以写成函数或函数．
偶函数：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数．
2.周期性技巧
3.函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
4.对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
二、考点分类精讲
【题型一 函数的奇偶性及其应用】
1.判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图象法：
(3)性质法：
在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2.已知函数奇偶性可以解决的三个问题
【典例1】（2023高三·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【答案】(1)非奇非偶函数
(2)偶函数
(3)偶函数
(4)奇函数
【分析】由奇偶函数的定义判断（1）（2）（3），由奇函数的图象关于原点对称判断（4）.
【详解】（1）原函数的定义域为，关于原点不对称，
从而函数为非奇非偶函数．
（2）由得，即函数的定义域是，
关于原点对称．又，
因此函数是偶函数．
（3）的定义域为，关于原点对称．
又，，所以既是奇函数又是偶函数．
（4）如图，作出函数的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数为奇函数．
【典例2】已知是定义在R上的偶函数，且当时，.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用偶函数的定义以及已知的解析式，求解即可；
（2）利用偶函数的定义将不等式变形，然后利用单调性求解不等式即可.
【详解】（1）当时，，
，
所以；
（2）当时，，
因此当时，该函数单调递增，
因为是定义在R上的偶函数，且当时，该函数单调递增，
所以由等价于，
所以，
因此，
即，解得或，
所以实数的取值范围是或.
一、单选题
1．（2024·北京通州·二模）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由奇函数的性质可判断A、D错误；由奇函数的性质和导数可得B正确；由正切函数的定义域可得C错误.
【详解】A：因为，所以不是奇函数，故A错误；
B：因为的定义域为，
又，所以是奇函数，
又在恒成立，
所以在区间上单调递减，故B正确；
C：由正切函数的定义域可得函数在上不连续，
所以在区间上不单调，故C错误；
D：因为，所以不是奇函数，故D错误；
故选：B.
2．（23-24高三下·河北沧州·阶段练习）若，函数为奇函数，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】将值代入函数，根据奇函数的定义式是否成立来判断充分性；由奇函数的定义式来构造方程求参数的值，从而判断必要性.
【详解】因为，所以，
所以，
所以此时是奇函数，
所以p是q的充分条件.
若是奇函数，则，
即，所以，即
所以p是q的不必要条件.
综上得：p是q的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2024·河北保定·二模）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性判断即可.
【详解】设，则，
所以为奇函数，
设，可知为偶函数，
所以为奇函数，则B，C错误，
易知，所以A正确，D错误．
故选：A.
4．（2024·安徽淮北·二模）若函数是偶函数（e是自然对数的底数），则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的定义，得出，利用对数的运算性质整理成，分析即得.
【详解】依题意，，即，
整理得：，即，则有，
因不恒为0，故必有，解得，.
故选：B.
5．（2024·云南贵州·二模）若函数的定义域为且图象关于轴对称，在上是增函数，且 ，则不等式的解是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先分析不等式在上的解，再根据对称性得出不等式在上的解即可.
【详解】因为在上是增函数且，所以在范围内的解为.
因为函数在定义域上图象关于轴对称，所以在内的解为，所以不等式在R内的解为.
故选：C
二、多选题
6．（2024·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是 （ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】CD
【分析】先利用函数是奇函数，将不等式转变为，再利用函数在上单调递增，将不等式转变为，求解即可.
【详解】因为函数是奇函数，
则不等式，可变形为，
因为函数在上单调递增，
则不等式成立，则，
解得，1，2符合题意，
故选：CD.
7．（2024·浙江杭州·二模）已知函数对任意实数均满足，则（ ）
A．B．
C．D．函数在区间上不单调
【答案】ACD
【分析】令等价于，则，可推导出，进而可判断A，利用赋值法可判断B,C；先算出满足的值，由此可得，即可判断D.
【详解】对于A，令等价于，则，
所以，故A正确；
对于B，令，则，
令，则，解得：，
令，，则，故B错误；
对于C，由知，，所以，故C正确；
对于D，令，所以，解得：，
令，则，
所以，因为，，
所以函数在区间上不单调，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
8．（2024·上海崇明·二模）已知函数为奇函数，则 ．
【答案】/
【分析】考查分段函数奇偶性，先根据函数奇偶性求出函数解析式即可求出函数值.
【详解】令，则由题意为奇函数，
所以当时，，
此时，
故，所以.
故答案为：.
9．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）为定义在上的奇函数，当时，，则时， ．
【答案】
【分析】由时，得到，从而，再利用为定义在上的奇函数求解.
【详解】解：当时，，
则，
因为为定义在上的奇函数，
所以．
故答案为：
10．（2024·云南·模拟预测）若为奇函数，则 .
【答案】
【分析】
根据对数函数的性质令，求出函数的定义域，又奇函数的定义域关于原点对称得到方程，求出的值，再代入检验.
【详解】
对于函数，
令，解得或，
所以函数的定义域为，
又为奇函数，所以，所以，
此时，定义域为，
且，满足为奇函数.
故答案为：
11．（2024·陕西西安·三模）已知函数，若，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】构造奇函数，结合其单调性解不等式即可.
【详解】由条件知，令，
则，
易知，即为奇函数，
又，
易知在时单调递减，
由复合函数的单调性及奇函数的性质得在R上单调递减，
对于，
所以.
故答案为：.
四、解答题
12．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知定义在区间上的函数为奇函数．
(1)求函数的解析式；
(2)判断并证明函数在区间上的单调性.
【答案】(1)
(2)函数在区间上为增函数,证明见解析.
【分析】（1）依题意函数图象必过原点，由此求出值即得解析式；
（2）运用定义法的步骤证明函数单调性即可.
【详解】（1）由题意知：，即得：，故函数的解析式为：.
（2）函数在区间上为增函数.理由如下：
任取且，由，
因，故，，，即，
则在区间上为增函数.
13．（2024·山东济南·三模）已知函数，其中且．
(1)若是偶函数，求a的值；
(2)若时，，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)且．
【分析】（1）由题意，，即可得解；
（2）分，且和三种情况讨论，结合基本不等式和导数求解即可.
【详解】（1）由题意，，即，
解得，或（舍），经检验时，是偶函数，
所以a的值为；
（2）当时，，成立；
当且时，，，
又已证，故此时符合题意；
当时，，
因为函数都是增函数，
所以函数在上单调递增，且，
故存在，使得当时，，从而单调递减，
所以，存在，使得，此时不合题意．
综上所述，且．
【题型二 函数的周期性及其应用】
函数周期性的判断与应用
【典例1】（单选题）（23-24高三上·福建三明·期中）若偶函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性与周期性计算即可.
【详解】由已知可得，
即是函数的一个周期，
所以.
故选：C
一、单选题
1．（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知函数的定义域为，满足，且当时，，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】先得到函数的周期，从而得到，代入求解即可.
【详解】因为，所以的周期为12，
因为，所以，
因为当时，，
故.
故选：D
2．（22-23高三上·江西·阶段练习）已知函数满足：对任意，有，当时，，则（ ）
A．B．C．1D．0
【答案】B
【分析】根据函数的周期性即可求得答案.
【详解】解：由题意得：
所以函数的最小正周期为
故
由当时，可知：
故选：B
3．（2024·陕西渭南·二模）已知定义在上的函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】由题意可得函数是以为周期的周期函数，且为奇函数，再根据函数的周期性可得代入已知解析式即可得解.
【详解】因为，所以，
所以函数是以为周期的周期函数，
因为，所以函数是奇函数，
因为，
所以
.
故选：D.
4．（2024·陕西铜川·三模）已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（ ）
A．B．
C．函数的周期为2D．
【答案】D
【分析】根据题意，由函数奇偶性与周期性的定义即可判断AC，再由函数的周期为4，代入计算，即可判断BD
【详解】为奇函数，，
又为偶函数，，故A项错误.
即函数的周期为4，
即C项错误.
由，令，得，
即B项错误.
又，
所以D项正确.
故选：D
5．（2024·辽宁沈阳·三模）已知是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则等于（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】根据偶函数的性质得到，再由奇函数的性质得到，从而推导出，再由所给解析式及周期性计算可得.
【详解】因为为偶函数，所以，
即，
所以，
又是奇函数，所以，
即，所以，
则，
所以是以为周期的周期函数，
又当时，，所以，
则，
所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：对于抽象函数的奇偶性，推导出函数的周期性，从而利用周期性求出函数值.
二、多选题
6．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）函数和的定义域为，若的最小正周期为的最小正周期为，则（ ）
A．为周期函数B．为周期函数
C．为周期函数D．为周期函数
【答案】CD
【分析】由周期函数的定义逐一验算每个选项即可得解.
【详解】当是无理数时，两个函数周期不存在最小整数公倍数，和可能不为周期函数，故AB选项错误，
但的周期均为，
因此和均有为的周期，CD选项正确.
故选：CD.
7．（2024·广东茂名·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，则（ ）
A．B．函数是奇函数C．D．的一个周期为3
【答案】AC
【分析】根据条件等式，利用赋值法，求特殊函数值，以及判断函数的奇偶性和周期性.
【详解】令，则，所以，A选项正确；
令，则，即，所以是偶函数，B选项错误；
，令，则，
令，则，所以，
所以，因为，所以，，C选项正确；
令，则，
所以，，所以，的一个周期为6，D选项错误.
故选：AC．
三、填空题
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）的定义域为R，且对于x∈R，恒有f（x＋1）＝－f（x），则函数f（x）的周期为 ．
【答案】2
【分析】利用已知条件进行代换即可得到答案.
【详解】已知，用替换式子中的可得，由周期定义可得函数的周期为2，
故答案为：2
9．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）设奇函数满足，当时，， .
【答案】/
【分析】利用函数的周期性和奇偶性求函数值.
【详解】因为，所以，
则有，
所以函数是以4为周期的周期函数，且为奇函数，
所以，
故答案为: .
10．（23-24高三下·湖南岳阳·开学考试）已知定义在上的偶函数满足，，则等于 ．
【答案】
【分析】
由满足，利用函数的奇偶性，求得函数是以为周期的周期函数，进而可求的值．
【详解】由题意，函数满足，即，
，，
又由函数是上的偶函数，即，所以，
即，取得，
所以函数是以为周期的周期函数，
则.
故答案为：.
【题型三 函数的对称性及其应用】
函数图象的对称性的判断与应用
【典例1】（单选题）（2024·四川内江·三模）已知函数的定义域为R，对任意实数x都有成立，且函数为偶函数，，则（ ）
A．-1B．0C．1012D．2024
【答案】B
【分析】利用抽象函数的奇偶性、周期性、对称性计算即可.
【详解】由，即的一个周期为4，
由为偶函数可知关于轴对称，即，
又可知，
所以，
显然，
所以.
故选：B
一、单选题
1．（2023·云南昆明·模拟预测）已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．函数的图象关于点对称B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于直线对称D．函数的图象关于点对称
【答案】D
【分析】根据求导公式和求导法则可得，结合抽象函数的对称性即可求解.
【详解】由，可知函数的图象关于直线对称；
对求导，得，
则函数的图象关于点对称，所以ABC错误，D正确.
故选：D．
2．（2024·全国·模拟预测）若函数的图象关于点对称，则（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】C
【分析】特殊值法：由图象关于点对称可得代入计算求解，然后检验即可.
【详解】解：的图象关于点对称，
，即，
解得，
经检验知的图象关于点对称，
故选：C.
3．（2024·四川泸州·三模）已知函数（）满足，若函数与图象的交点横坐标分别为，，…，，则（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【分析】依题意可得，即可得到函数的图象关于对称，再根据对称性计算可得结论.
【详解】因为，所以，
所以函数的图象关于对称，又函数关于对称，
则与的交点应为偶数个，且关于对称，
所以.
故选：B.
4．（2024·江西·二模）已知定义在上的函数满足且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，可得关于对称，进一步求得，结合条件求得，可求得.
【详解】由，可知关于对称，又，则，
又，则，
，.
故选：A.
二、多选题
5．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数单调递增
B．函数值域为
C．函数的图象关于对称
D．函数的图象关于对称
【答案】ABD
【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B，根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD.
【详解】，
函数，，则，
又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确；
因为，所以，则，所以函数的值域为，故B正确；
，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确.
故选：ABD
6．（2024·全国·三模）已知函数定义域为且不恒为零，若函数的图象关于直线对称，的图象关于点对称，则（ ）
A．
B．
C．是图象的一条对称轴
D．是图象的一个对称中心
【答案】BCD
【分析】由条件证明直线为函数的对称轴，点为函数的对称中心，结合函数的周期定义证明为周期函数，由此判断A，再证明，结合周期性判断B，证明为函数的对称轴，结合周期性判断C，证明原点为函数的对称中心，结合周期性判断D.
【详解】因为的图象关于直线对称，
所以，即，
所以，
所以的图象关于直线对称.
因为的图象关于点对称，
所以，即，
所以的图象关于点对称.
所以.
令，得.
由，可得，
故即，
所以，
所以函数的周期，
所以，又不恒为零，
所以错误，A错误，
，B正确；
因为的图象关于直线对称，的图象关于点对称，
所以，
所以为函数的对称轴，
结合周期性可得，，为函数的图象的对称轴，
所以是函数图象的一条对称轴，C正确；
因为，，
所以，
所以原点为函数的一个对称中心，
结合函数周期性可得点，，为函数图象的对称中心，
所以点是函数图象的一个对称中心，D正确.
故选：BCD.
三、填空题
7．（2024高三·全国·专题练习）若函数y＝g（x）的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g（x）＝ ．
【答案】ln （4－x）
【分析】利用对称的定义求解即可.
【详解】在函数y＝g（x）的图象上任取一点（x，y），则点（x，y）关于直线x＝2对称的点为（4－x，y），且点（4－x，y）在函数y＝ln x的图象上，所以y＝ln （4－x）,
即,
故答案为：
8．（2024·四川成都·模拟预测）函数，若，则 .
【答案】
【分析】利用和的关系求解即可.
【详解】，
，
.
故答案为：
9．（2024·山西临汾·三模）已知函数的定义域为，且，，则 ．
【答案】
【分析】令求，令求，令得，通过迭代求周期，然后可解.
【详解】令，则，
因为，所以，
令，则，得，
令，则，即，
所以，
所以
所以，所以，即，
是以6为周期的周期函数，
所以，
故答案为：.
【题型四 ★④函数性质的综合应用】
(1)函数周期性与奇偶性的综合多是求值或比较大小问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知函数解析式的定义域内求解．
(2)解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时，要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再判断函数图象的对称轴或对称中心；也可利用图象变换关系得出函数图象的对称性．总之，要充分利用已知条件进行适当转化．
(3)单调性、奇偶性、周期性是函数的三大特征．对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
【典例1】（单选题）（2023·西藏昌都·模拟预测）已知函数f（x）的图象关于原点对称，满足．若，则等于（ ）
A．－50B．50C．D．2
【答案】D
【分析】运用函数奇偶性、对称性可得函数周期为4，运用赋值法可得、、的值进而运用周期性可求得结果.
【详解】因为图象关于原点对称，
所以且
又因为，①
所以，
所以， ②
所以，
所以，③
即的周期为4，
将代入①得：，
将代入②得：，
又因为，
所以，
将代入③得：，
所以，
所以，
故选：D.
一、单选题
1．（2023·陕西西安·三模）已知是定义域为的奇函数，若的最小正周期为1，则下列说法中正确的个数是（ ）
① ②
③的一个对称中心为 ④的一条对称轴为
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据条件得出周期，结合周期性、对称性可得答案.
【详解】因为的最小正周期为1，所以；
即，所以2是的周期；
因为为奇函数，所以，②正确；
，不一定为零，①不正确；
因为，所以的一个对称中心为，③正确；
通过题目条件无法得出的一条对称轴为，④不正确；
故选：B
2．（22-23高三上·辽宁·阶段练习）定义在R上的函数于满足是偶函数，且于，若，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】根据条件可判断是周期为6的周期函数，进而根据周期以及奇偶性即可求解.
【详解】由得，所以，即，所以是周期为6的周期函数，进而，因为是偶函数，所以，又，所以．
故选：C
3．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）已知定义在上的奇函数满足：的图象是连续不断的且为偶函数.若有，则下面结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性和对称性得到函数的周期，然后利用函数的单调性即可求解.
【详解】∵为偶函数，
∴且的图象关于对称，

∵为奇函数，∴的图象关于对称，
∴为周期函数，，
∵有，∴在上单调性递减，
∴由的图象的连续性以及单调性、对称性可得其草图如上所示：
∵，，，
∴，
故选：D.
4．（2023·广东广州·一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，若，则（ ）
A．116B．115C．114D．113
【答案】C
【分析】
由可得函数的周期为，
再结合为偶函数，可得也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解.
【详解】由，得，
即，
所以，
所以函数的周期为，
又为偶函数，
则，
所以，
所以函数也为偶函数，
又，
所以，，
所以，
又，即，所以，
又，，
，
所以
故选：.
5．（2023·四川绵阳·一模）若函数的定义域为，且偶函数，关于点成中心对称，则下列说法正确的个数为（ ）
①的一个周期为2 ②
③的一条对称轴为 ④
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由题意，根据函数的对称性，可得，，且，根据函数周期性的定义，可判①的正误；根据周期性的应用，可判②的正误；根据函数的轴对称性的性质，可判③的正误；根据函数的周期性，进行分组求和，根据函数的对称性，可得，，可判④的正误.
【详解】因为偶函数，所以，则，即函数关于直线成轴对称，
因为函数的图象是由函数的图象向左平移个单位，所以函数关于点成中心对称，则，且，
对于①，，
，则函数的周期，故①错误；
对于②，，故②正确；
对于③，，故③正确；
对于④，，则，
，则，
由，则，故④正确.
故选：C.
二、多选题
6．（2024·山东临沂·二模）已知定义在上的函数满足，，且，则（ ）
A．的最小正周期为4B．
C．函数是奇函数D．
【答案】AB
【分析】据题意，通过赋值得到，，即可判断A；令，可求出，由周期性可判断B；令，得到，由周期性，可证明是奇函数，假设函数是奇函数，推出矛盾，判断C；由周期性及对称性可计算D.
【详解】对于A，因为，
所以，，
所以，故的最小正周期为4，A正确；
对于B，因为，
令，则，
所以，
由A可知，，故B正确；
对于C， 因为，①
令，则，
所以，
所以，②
由①②，所以，即，故为奇函数，
若函数是奇函数，则，
所以，即，
所以，
所以的最小正周期为2，与选项A矛盾，故C错误；
对于D，因为为奇函数，且，所以，
又因为的最小正周期为4，所以，
因为
所以，，
所以，
，
以此类推，
所以，故D错误.
故选：AB
【点睛】方法点睛：本题以抽象函数为载体综合考查函数的性质，关键是根据已知条件判断出的周期.
以下是抽象函数周期性质的一些总结，可以适当总结记忆：
设函数，
（1）若，则函数的周期为；
（2）若，则函数的周期为；
（3）若，则函数的周期为；
（4）若，则函数的周期为；
（5）若，则函数的周期为.
7．（2024·河南开封·三模）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．B．
C．是周期函数D．的解析式可能为
【答案】ABC
【分析】利用赋值法求判断A；赋值法可得函数奇偶性即可判断D；利用赋值法求得，化简得，即可判断C,由周期性和奇偶性即可求解B.
【详解】由，
令，，有，可得,故A正确；
令，则，则，
函数是偶函数， 而为奇函数，故D错误，
，令，
则，
所以，
则，
，
所以，则周期为6，C正确．
由于为偶函数且周期为6，故，B正确，
故选：ABC
8．（2024·广东韶关·二模）已知定义在R上的函数的导函数分别为，且，，则（ ）
A．关于直线对称B．
C．的周期为4D．
【答案】ACD
【分析】由题意，根据函数的对称性，合理赋值即可判断A；利用导数求导可得、，通过合理赋值即可判断BCD.
【详解】由，得①，
②，得③，
由①②③，得，所以函数图象关于直线对称，故A正确；
由，得，令，得；
由，得，
令，得，
∴④，
又⑤，令，得，故B错误；
④⑤两式相加，得，得，
所以，即函数的周期为4，故C正确；
由，令，得，所以，
所以，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的对称性和周期性，结合导数的运算，寻找关系式、和是解题的关键，原函数与导函数的联系，对称性与周期性的联系，都是解题的思路.
三、填空题
9．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数的定义域为，且为偶函数，其图象关于点对称.当时，，则 .
【答案】8
【分析】根据对称性得到，接和偶函数的定义进行联合分析，得到函数的周期性，进而求值.
【详解】由已知，且，
，
即函数是以24为周期的周期函数，
故.
故答案为：8.
10．（23-24高三上·福建·期中）已知定义域为的函数同时具有下列三个性质，则 .（写出一个满足条件的函数即可）
①；
②；
③.
【答案】（答案不唯一，形如即可）
【分析】利用函数的性质写出一个满足条件的函数即可.
【详解】由②可知函数为奇函数，由③可知函数为单调递减函数，
不妨设函数，
则符合题意.
可取.
故答案为：.
11．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）函数的定义域为R，且，，若函数的图象关于对称，且，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，得到为偶函数，进而求得，得到，得出函数是周期为的周期函数，结合，即可求解.
【详解】由，
令，代入上式可得，即，
又函数的图象关于对称，可得的图象关于轴对称，
即函数为偶函数，所以，
联立，可得，
所以恒成立，所以函数是周期为的周期函数，
因为，所以.
故答案为：.
12．（22-23高三·全国·对口高考）设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则 ．
【答案】
【分析】根据奇函数的性质可得出的值，根据函数对称性可得出的值，推导出函数为周期函数，确定该函数的周期，结合周期性可求得的值.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，
则对任意的，，，则，
所以，，
所以，函数是周期为的周期函数，且，
因此，.故答案为：.
13．（22-23高三上·河南洛阳·阶段练习）定义在R上的函数满足，且在上是增函数，给出下列几个命题：
①是周期函数；
②的图象关于直线x＝1对称；
③在上是减函数；
④．
其中正确命题的序号是 （请把正确命题的序号全部写出来）．
【答案】①②③④
【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再逐一判断各个命题作答.
【详解】依题意，，，取得：，
，取，则有，即函数是R上的奇函数，
由得：，因此函数以4为周期的周期函数，①正确；
，因此的图象关于直线x＝1对称，②正确；
因在上是增函数，则在上是增函数，于是得在上是减函数，③正确；
由得：，④正确.
故答案为：①②③④
14．（23-24高三上·山西朔州·开学考试）函数,的定义域为，的导函数的定义域为，若，，，，则的值为 .
【答案】
【分析】令，得到，结合条件得到，从而得出关于直线对称，再结果合条件，，得到，所以函数周期为8，再结合条件得到，从而得出，即可求出结果.
【详解】令，则，
又，所以为常数函数，
又，所以，故关于直线对称，
又因为，，
所以，故，所以，
得到，所以函数周期为8，
又，故有，即有，
又由，得到，
故，
所以
，
因为，所以 ，，
因为，，
所以，，
所以，即，则，
所以.故答案为：.
①函数的奇偶性及其应用
②函数的周期性
③函数的对称性
★④函数性质的综合应用
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称