第7讲 函数的奇偶性与周期性 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

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第7讲   函数的奇偶性与周期性思维导图知识梳理1．函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 核心素养分析能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。重点提升数学抽象、逻辑推理素养. 题型归纳题型1    函数奇偶性的判定【例1-1】（2019•全国）下列函数中，为偶函数的是　　A． B． C． D．【例1-2】（2019·肥西质检）判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝         【跟踪训练1-1】（2020春•龙华区校级月考）已知函数，则下列结论正确的是　　A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为非奇非偶函数【跟踪训练1-2】（2019秋•桥西区校级月考）判断下列函数的奇偶性，并求函数的值域（1）（2）          【名师指导】判断函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．(2)图象法：(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．题型2    函数奇偶性的应用【例2-1】(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a＝________．(2)函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________．(3)(2020·湖南永州质检)已知函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)＝________．【跟踪训练2-1】（2019•新课标Ⅱ）设为奇函数，且当时，，则当时，　　A． B． C． D．【跟踪训练2-2】（2020•上海）若函数为偶函数，则　　．【跟踪训练2-3】（2020•迎泽区校级模拟）已知为奇函数，当时，，则的值为　 　．【跟踪训练2-4】（2019秋•丰台区期末）函数是定义在上的偶函数，且图象过点．已知时，且．（Ⅰ）求（1）的值和的值；（Ⅱ）若，，求的取值范围．   【名师指导】与函数奇偶性有关的问题及解题策略(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解．题型3   函数的周期性【例3-1】（2019•上海）已知函数周期为1，且当时，，则　　．【例3-2】（2020•安阳二模）已知是定义在上的函数，且，如果当，时，，则　　．【跟踪训练3-1】（2020春•红旗区校级月考）已知是定义在上周期为2的函数，当，时，，那么当，时，　　A． B． C． D．【跟踪训练3-2】(2019·山西八校联考)已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f＝________．【名师指导】 函数周期性有关问题的求解策略(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．(2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性． 题型4    函数性质的综合应用【例4-1】（2020•山东）若定义在的奇函数在单调递减，且（2），则满足的的取值范围是　　A．，， B．，， C．，， D．，，【例4-2】（2020•安庆模拟）已知奇函数的定义域为，若为偶函数，且（1），则　　A． B． C．0 D．1【例4-3】（多选）（2020•烟台模拟）已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当，时，，则　　A．是周期为2的函数 B． C．的值域为， D．的图象与曲线在上有4个交点【跟踪训练4-1】（2020•新课标Ⅱ）设函数，则　　A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减【跟踪训练4-2】（2020•和平区二模）已知是定义在上的偶函数，且在区间，上单调递增，若实数满足，则的取值范围是　       　．【跟踪训练4-3】（2020•江苏模拟）已知是定义在上的奇函数，且对任意实数恒有，当，时，．（1）求证：函数的周期是4；（2）求的值；（3）当，时，求的解析式．   【名师指导】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．