广西2023届高三上学期开学摸底考试数学（文）试题（含答案）

2023届高三开学摸底考试

文科数学

本试卷满分150分，考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

4．做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则（    ）

A．  B．

C．  D．

2．若复数的实部与虚部相等，则b的值为（    ）

A． B． C．1 D．2

3．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两种商品连续10天的销售数据，则下列说法错误的是（    ）

A．甲销售数据的中位数为92 B．甲销售数据的众数为93

C．乙销售数据的极差为24 D．乙销售数据的均值比甲大

4．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（    ）

A．15 B．105 C．245 D．945

5．有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4种花色，每种花色13张牌），充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或“A”的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数，若把的图象向左平移个单位后为偶函数，则（    ）

A． B． C． D．

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（    ）

A．14 B．20 C． D．

8．已知函数有两个极值点，，且，则的极大值为（    ）

A． B． C． D．

9．函数在区间上的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

10．已知双曲线C：（，）的右焦点为F，直线与双曲线C交于A，B两点，若，且△OAF的面积为，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

11．在长方体中，，，点E，F分别是棱AB，的中点，E，F，平面，直线平面，则直线BP与直线所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

12．设实数，，e为自然对数的底数，若，则（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，，，若A，C，D三点共线，则________．

14．已知是椭圆上任何一点，则的最大值为________．

15．在平面直角坐标系xOy中，直线与直线被圆截得弦长之比为2：1，则________．

16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角________，当时，的取值范围是________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

晨跑是指在早晨以跑步为主的进行身体锻炼的一种运动方式，某机构随机抽取了某社区200名运动爱好者进行问卷调查，其中男、女生的人数之比为3：2，得到如下的列联表．

（1）完成表中数据并判断是否有90%的把握认为喜欢晨跑与性别有关？

（2）若从这200名运动爱好者中任意选取了5人，其中女生3人．再从这5人中随机抽取2人做进一步调查，求这2人中男生与女生都有的概率．

参考公式：，其中．

参考数据：

18．（12分）

已知是数列的前n项和，且．

（1）求的通项公式；

（2）若，是的前n项和，求．

19．（12分）

如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点．

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积．

20．（12分）

已知函数的图象在点处的切线方程为．

（1）求在内的单调区间；

（2）设函数，证明：．

21．（12分）

已知抛物线E的顶点在原点，焦点为，过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点，

（1）求抛物线方程；

（2）若，求k的值；

（3）过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求△TMN面积的最小值．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）已知点P的直角坐标为，直线l与曲线C相交于A，B两点，求．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数，，且的解集为．

（1）求m的值；

（2）设a，b，c为正数，且，求的最大值．

2023届高三开学摸底考试·文科数学

参考答案、提示及评分细则

1．B

，．

2．C

∵的实部与虚部相等，∴，解得．

3．A

对于A，由图可知，甲销售数据的中位数为93，故A错误；对于B，甲销售数据的众数为93，故B正确；对于C，乙销售数据的极差是，故C正确；对于D，甲销售数据的均值：，乙销售数据的均值：，∴乙销售数据的均值比甲大，故D正确．

4．B

，，，，，，，，结束算法，输出．

5．C

依题意，样本空间包含样本点为52，抽到的牌为“红桃”或“A”包含的样本点为16，所以抽到的牌为“红桃”或“A”的概率为．

6．A

把的图象向左平移个单位后，得到函数，因为该函数为偶函数，所以，，所以，，因为，所以．

7．D

由三视图还原几何体如图，该几何体为直四棱柱，底面为直角梯形．，，，，，，则该几何体的表面积是．

8．B

因为，，所以有两个不同的实数解，，且由根与系数的关系得，，由题意可得，解得，此时，，当，时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得极大值．

9．B

因为，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，排除A项；当时，，排除D项；因为，，所以，排除C项．

10．D

设双曲线的左焦点，因为，由正比例函数图象和双曲线的对称性，可知，四边形为矩形，，设，，则，∵△OAF的面积为，∴△ABF的面积，且，联立三式：得，∴，即．

11．A

如图，连接EF并延长，交线段的延长线于点G，连接交于点P．知，连接，由正方体的结构特征知，∴异面直线BP与所成的角为，在中，由已知得，，，则．

12．C

∵，∴，即，（*）∵，∴，．令，（*）式可化为，则恒成立，∴在上单调递增，∴，即．

13．

，，∵A，C，D三点共线，∴与共线，∴，解得．

14．

∵在椭圆上，∴可设，，∴（其中，），∴当时，取得最大值．

15．

由题意知，，因为，所以，即，可得，解得：．

16． 

由正弦定理及，知，因为，所以，因为，所以，因为，所以．由正弦定理知，，所以，，所以，因为，所以，所以，故，所以．

17．解：（1）由题意知，男生总人数为：，女生总人数为：，

∴，故没有90%的把握认为喜欢晨跑与性别有关．

（2）由题意知5人中女生3人，记为A，B，C，男生2人，记为d，e；随机抽取两人，所有可能情况为，，，，，，，，，共10种，

其中符合题意的有，，，，，共6种，故所求概率为．

18．解：（1）已知是数列的前n项和，且，①

则，②则，

又，即

（2）由（1）得：当时，，

则．

19．（1）证明：∵，，∴．∵平面，平面，∴．∵，∴．∵，，平面，∴平面，又平面，∴．

（2）解：∵平面ABC，平面ABC，∴．

又∵，，∴平面．

，．

20．（1）解：，∴．

又∵，∴．

∴，令，得，

∴当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，即在内的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）证明：

，

设函数，则，

∴当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，

∴．

设函数，则，

设，则，令，得，

当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，

则，∴，函数单调递增，∴．

又，，，∴．

21．解：（1）∵抛物线E的顶点在原点，焦点为，∴．

（2）如图①，若，不妨设，则．设抛物线的准线为l，过点P作，垂足为H，过点Q作，垂足为G．

，∴．在Rt△PQG中，，，

得，∴，同理时，，

∴．

（3）根据题意得AB，CD斜率存在．设AB：，CD：，

，，，，由得，

∴，，，同理可得，

∴，

，∴，

当且仅当时，面积取到最小值16．

22．解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），

消去参数，可得曲线C的普通方程为．

由，得，即，

将，代入，得直线l的直角坐标方程为．

（2）∵直线l的直角坐标方程为，∴它的参数方程为（t为参数），

代入C的直角坐标方程，得，即．

由于，设，是上述方程的两实根，则，，

又直线l过点，所以．

23．解：（1）由题意，由的解集为，

得解得．

（2）由（1）可得，由柯西不等式可得

，

∴．

当且仅当，即时等号成立，

∴的最大值为．