2023届广西南宁市高三上学期12月联考数学（文）试题（解析版）

2023届广西南宁市高三上学期12月联考数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据二次不等式求解与根式分式的定义域分别求解集合，进而可得并集.

【详解】或，

，或.

故选：C

2．已知复数为的共轭复数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据共轭复数的定义以及复数四则运算，即可求得结果.

【详解】由得

代入计算可得．

故选：D．

3．双曲线的焦点坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先判断双曲线的焦点位置在轴上，再计算即可.

【详解】双曲线的焦点在轴上，

，

，

则双曲线的焦点坐标为．

故选：B．

4．如图是一个算法的流程图．若输入的值为2，则输出的值是（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据流程图逐个循环判断即可

【详解】开始，，

第一个循环，，不满足；

第二个循环，，满足，跳出循环.

输出．

故选：C．

5．已知等差数列的前项和为，且，则的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质，可得与的关系式，即可求得结果.

【详解】根据等差数列前项和公式得，

，由等差数列的性质可知

所以

即．

故选：B.

6．在区间和分别取一个数，则的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】作出可行域，由几何概型定义即可求.

【详解】

根据图象可知，的概率.

故选：A．

7．若实数满足约束条件则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出不等式组表示的可行域，目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，则当直线的纵截距最小，最大，结合可行域即可判断最大值对应的点.

【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影区域，其中点，

目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，

作直线，平移直线到直线，当直线过点A时，直线的纵截距最小，最大，所以．

故选：B．

8．若函数在上单调递减，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】C

【分析】根据余弦函数的单调性，先求出函数的单调递减区间，再对k赋值即可.

【详解】若函数在上单调递减，

则令，解得，，

当时，，所以，即的最大值为.

故选：C．

9．在正三棱柱中，，则直线与直线所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】过点作，垂足为点，连接，根据正三棱柱的性质得到，即可得到平面，从而得到，即可得解.

【详解】解：由题意可知，为的中点，过点作，垂足为点，连接．

因为三棱柱是正三棱柱，易知为的中点，且，

又，平面，所以平面．

因为平面，所以，即与所成的角为.

故选：D．

10．如图，在中，为上一点，且满足，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据基底向量方法，以为基底表达，进而根据数量积公式求解即可.

【详解】因为，所以，所以，所以，又，所以

．

故选：C

11．已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则的最小值为（    ）

A． B．0 C． D．1

【答案】D

【分析】由题，将代入，进而根据奇偶函数的性质得出方程组，进而求解可得，再根据基本不等式求解即可.

【详解】由题，将代入得，因为分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以可得，将该式与题干中原式联立可得，当且仅当即时取等号.

故选：D

12．已知关于的方程没有实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将方程进行变形可得，

令,则，问题转化为根的情况，分别

画出函数图象即可求解.

【详解】由，

得，

令，则，

关于的方方程没有实数根转化为没有实数根,

等价于函数与函数图象没有交点，分别画出函数与

图象，如图所示

由图可知，.

所以实数的取值范围是.

故选：C.

【点睛】此类问题解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有:

（1）方程法：直接解方程得到函数的零点；

（2）图象法：直接画出函数的图象分析得解；

（3）方程与图象法：令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解.

二、填空题

13．设函数若，则__________．

【答案】或

【分析】分、两种情况讨论求解即可.

【详解】当时，，解得或4（舍去）；

当时，，解得．

综上所述，或．

故答案为：或

14．已知椭圆的左焦点为，过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，则__________．

【答案】

【分析】先求出过左焦点且倾斜角为的直线的方程，与椭圆方程联立，根据弦长公式求得.

【详解】已知椭圆，，则，

所以椭圆的左焦点为,

因为直线倾斜角为，所以直线的斜率，则直线的方程为.

联立，消去，整理得，

解得．．

故答案为：.

15．现有橡皮泥制作的表面积为的球，若将其重新制作成体积不变，母线为的圆锥，则圆锥的高为__________．

【答案】或

【分析】先求得球半径为2，再设圆锥的高为，表达出圆锥底面圆半径，进而根据球与圆锥体积相等列式求解即可.

【详解】表面积为的球半径为2，其体积为，设圆锥的高为，则圆锥底面圆半径，圆锥体积为，

依题意，，即，因为，解得或，

所以圆锥的高为2或．

故答案为：或

16．已知三个内角的对边分别为，且，则的最大值为__________．

【答案】##

【分析】根据余弦定理可得，再代入可得，进而结合与正弦函数的范围求解即可.

【详解】因为，所以．

因为，所以，

所以．

因为，所以，所以，

所以，

所以．即的最大值为．

故答案为：

三、解答题

17．上海市为了调查市民对2022年上海进博会举办的满意程度，现对居民按年龄（单位：岁）进行调查，从某小区年龄在内的居民中随机抽取100人，将获得的数据按照年龄区间分成5组，同时对这100人的满意程度进行统计得到频率分布表．经统计在这100人中，共有78人对上海进博会的成功举办感到非常满意．

(1)求和的值；

(2)在这100人中，按分层抽样的方法从年龄在区间内的居民中抽取9人进行访谈，再从这9人中抽取2人参加电视台的座谈，求抽取参加座谈的2人中年龄都在的概率．

【答案】(1)，．

(2)．

【分析】（1）根据非常满意的人数和为78可得，再根据总人数为100人求解可得；

（2）根据分层抽样方法，设设年龄在内的人有，年龄在内的人有，再列举所有情况求解概率即可.

【详解】（1）位居民中，共有78位居民非常满意，

，解得，

又，解得．

（2）由（1）可知，年龄在的居民共有25人，年龄在的居民共有20人，按分层抽样抽取9人，则共有5人年龄在内，4人年龄在内．

设年龄在内的人有，年龄在内的人有，则抽取的2人有：

，，，，共36种．

其中两人年龄都在的有，共6种，

所以抽取参加座谈的2人中年龄都在的概率为．

18．已知数列满足，且．

(1)证明：数列是等比数列；

(2)记的前项和为，若，均有，求实数的最小值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）构造证明即可；

（2）由（1）可得，再累加可得，求出代入化简可得，进而根据恒成立方法求解即可.

【详解】（1）证明：因为，所以．

又因为，所以是以3为首项，3为公比的等比数列．

（2）由（1），得，所以，

所以

．

经检验当时，，亦满足，所以．

所以．

因为任意，均有，

所以．

易知，所以，即实数的最小值为．

19．在如图所示的多面体中，平面，，，，点、分别为、的中点．

(1)求证：平面平面；

(2)求多面体的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)16

【分析】（1）先证面内两相交线和分别平行于平面，即证平面， 平面，从而可证平面平面；

（2）由平面，可证．又， 平面，即是四棱锥的高，同理可证平面，从而可求多面体的体积.

【详解】（1）证明：，

四边形是平行四边形，．

又平面平面平面．

分别为的中点，

是的中位线，．

平面平面平面．

平面，

平面平面．

（2）平面平面．

又平面，

平面是四棱锥的高，且．

．

又平面，

平面．

．

20．设函数，其中

（1）讨论在其定义域上的单调性；

（2）当时，求取得最大值和最小值时的的值.

【答案】（1）,在和内单调递减，在内单调递增；（2）当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时，在处取得最小值.

【详解】（1）的定义域为，.令，得，

所以.当或时；

当时，.

故在和内单调递减，在内单调递增.;

（2）因为，所以.

①当时，，由（1）知，在上单调递增，

所以在和处分别取得最小值和最大值.

②当时，.由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，

因此在处取得最大值.又，

所以当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时，在处取得最小值.

21．已知抛物线的焦点到准线的距离为1．

(1)求抛物线的标准方程；

(2)设点是该抛物线上一定点，过点作圆（其中）的两条切线分别交抛物线于点，连接．探究：直线是否过一定点，若过，求出该定点坐标；若不经过定点，请说明理由．

【答案】(1)

(2)直线恒过定点．

【分析】（1）根据抛物线定义即可知，即可求得抛物线的标准方程；（2）设出两点坐标，根据直线、与圆相切，得出等量关系式，可得直线方程的表达式，即可求出定点.

【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离是1，所以，

所以抛物线的标准方程为．

（2）当时，，所以，

设，则直线为，

即．

因为直线与圆相切，

所以，整理得．

同理，直线与圆相切，

可得．

所以可得是方程的两个根，

所以，

代入，化简得，

若直线过定点，则须满足，解得

所以直线恒过定点．

【点睛】方法点睛：本题当中求解直线过定点问题可根据题设条件选择参数，设出点的坐标，由等量关系建立一个直线系或曲线方程，再根据直线方程中参数的任意性得到关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求的定点.

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．设直线与曲线相交于两点．

(1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

(2)已知点，求的值．

【答案】(1)曲线的方程为，直线的普通方程为；

(2)

【分析】（1）由可得曲线的直角坐标方程，消去参数可得直线的普通方程；

（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，然后利用参数的几何意义求解即可.

【详解】（1）由题意，曲线的极坐标方程为，

又由，则，

所以曲线的方程为，即．

由直线的参数方程为（其中为参数），

可得

两式相加消去参数得直线的普通方程为．

（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，

得，化简得．

设点所对应的参数分别为，则．

由（1）可知，曲线是圆心，半径为1的圆，点在圆外，

所以．

23．已知的最小值为．

(1)求的值；

(2)若正实数满足，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先在数轴上标根，把数轴分成三区，再打开绝对值，写出分段函数，求其最小值.

（2）先把两边平方，再利用重要不等式进行放缩求出结果.

【详解】（1）由已知，

当时，；当时，；当时，.

所以，即，即．

（2）由（1）知：，

所以，

因为，当时取等号；同理，当时取等号；，当时取等号.

所以，

则，

所以，当且仅当时取等号，

所以的最小值为．