2023届广西名校高三下学期3月份联考数学（文）试题含答案

这是一份2023届广西名校高三下学期3月份联考数学（文）试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届广西名校高三下学期3月份联考数学（文）试题 一、单选题1．已知集合，则满足的集合B可能是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意结合集合并集的含义，可确定，，依次判断各选项，可得答案.【详解】根据集合，，可得一定有，，结合选项知A，B，D不合题意，C合乎题意,故选：C2．某地教育局为了解“双减”政策的落实情况，在辖区内高三年级在校学生中抽取100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如下频率直方图.根据此频率直方图，下列结论中不正确的是（    ）A．所抽取的学生中有25人在2小时至小时之间完成作业B．该地高三年级学生完成作业的时间超过3小时的概率估计为C．估计该地高三年级学生的平均做作业的时间超过小时D．估计该地高三年级有一半以上的学生做作业的时间在2小时至3小时之间【答案】D【分析】对A，利用直方图中2小时至小时之间的频率判断A;对B，计算超过3小时的频率可判断B;对C，根据直方图中平均数的公式计算，可判断C;对D，计算做作业的时间在2小时至3小时之间的频率，可判断D.【详解】对A，直方图中2小时至小时之间的频率为，故所抽取的学生中有25人在2小时至小时之间完成作业，故A正确；对B，由直方图得超过3小时的频率为,所以B正确；对C，直方图可计算学生做作业的时间的平均数为：，所以C正确；对D，做作业的时间在2小时至3小时之间的频率为，所以D错误.故选:D．3．若复数满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复数代数形式乘、除运算法则计算可得.【详解】因为，所以.故选：A4．已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为A． B． C． D．【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为，从而求得，再根据题中所给的方程中系数，可以得到，利用椭圆中对应的关系，求得，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知，因为，所以，即，所以椭圆的离心率为，故选C.点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中的关系求得结果.5．下列函数中最小值为4的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．6．心理学家经常用函数测定时间（单位：）内的记忆量，其中A表示需要记忆的量，表示记忆率．已知一个学生在内需要记忆200个单词，而他的记忆量为20个单词，则该生的记忆率约为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意得出，再取对数得出k的值.【详解】由题意可得：，则，取对数整理得.故选：A.7．一个正方体截去两个角后所得几何体的正（主）视图、俯视图如图所示，则其侧视图（左）视图为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由正视图和俯视图可得几何体的直观图，由直观图可得侧（左）视图.【详解】由正（主）视图、俯视图可得几何体的直观图如下图所示，侧（左）视图如下图所示，故选：C．8．已知是等比数列的前项和为，且，，则（    ）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】排除的情况，根据等比数列求和公式解得，再根据计算得到答案.【详解】当时，，即，，不成立；当时，，即，即，解得，又，所以，解得.故选：B.9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，的面积为，则的周长为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件及三角形的面积公式，利用余弦定理及三角形的周长公式即可求解.【详解】因为，的面积为，所以，解得.所以.由余弦定理得，解得，所以的周长为.故选：D.10．某校高一年级计划举办足球比赛，采用抽签的方式把全年级6个班分为甲､乙两组，每组3个班，则高一（1）班､高一（2）班恰好都在甲组的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用组合数的概念结合古典概型即可求解.【详解】由题意得, 把全年级6个班分为甲､乙两组共有种方法，高一（1）班､高一（2）班恰好都在甲组共有种方法，所以高一（1）班､高一（2）班恰好都在甲组的概率是，故选:C.11．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据求出，，再根据可求出结果.【详解】因为，所以，，所以.故选：D12．已知函数在上单调递减，，为偶函数，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由已知确定函数的对称性、单调性、周期性，然后把“”后面自变量的值转化为同一单调区间上，比较自变量大小即得函数值的大小关系.【详解】因为函数为偶函数，得的图象关于直线对称，且，由得，所以，即，则，所以函数的一个周期为6，则，当时，，又的图象关于直线对称，所以，由得，的图象关于点对称，又函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，又，所以，所以.故选：A【点睛】方法点睛：比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小 二、填空题13．已知，，若，则______．【答案】【分析】根据数量积的坐标表示求出，即可求出的坐标，再利用坐标法求出模.【详解】因为，且，所以，解得，所以，所以，所以.故答案为：14．若圆锥的侧面积为2，母线长为2，则此圆锥的体积为______.【答案】/【分析】由侧面积公式解得，进而求出圆锥的高，即可由体积公式求得体积【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，因为圆锥的母线长，其侧面积为，所以，所以，该圆锥的体积为.故答案为：15．已知双曲线的左､右焦点分别为，，，是双曲线上关于原点对称的两点，且.若，则四边形的面积为___________.【答案】【分析】设，，由余弦定理可得，由椭圆中的关系即可求出，从而代入三角形的面积公式可求出，进而可选出正确答案.【详解】由对称性可知四边形是平行四边形，所以.设，，则在中，由余弦定理得，即，即.又，所以，所以，所以.故答案为: 【点睛】关键点睛:本题的关键是将四边形的面积转化为两个全等三角形的面积之和，通过余弦定理和椭圆中的关系求出面积.16．已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数为_____．【答案】【分析】利用图象求出函数的解析式，然后解不等式可得出正整数的最小值.【详解】由图可知函数的最小正周期为，，，可得，所以，，则，取，则，，所以，，，由可得，则或，即或，（i）由可得，解得，此时，正整数的最小值为；（ii）由可得，解得，此时，正整数的最小值为.综上所述，满足条件的正整数的最小值为.故答案为：.【点睛】方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函数的最小正周期，进而得出；（3）取特殊点代入函数可求得的值. 三、解答题17．为了调查抖音平台某直播间带货服务的满意程度，现随机调查了年龄在20岁至70岁的100人，他们年龄的频数分布和“满意”的人数如下表（其中）：年龄/岁[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70]频数1525302010满意13a2716b(1)从[60，70]段中随机抽取一人“满意”的概率为0.4，若以频率估计概率，以上表的样本据来估计总体，求从全国玩抖音的市民（假设年龄均在20岁至70岁）中随机抽取一人是“满意”的概率(2)根据（1）的数据，填写下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄低于岁的人和年龄不低于50岁的人对服务态度有差异； 年龄低于50岁的人数年龄不低于50岁的人数合计满意   不满意   合计   附：，其中．0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828 【答案】(1)80%(2)表格见解析，有95%的把握认为年龄低于50岁的人和年龄不低于50岁的人对服务态度有差异 【分析】(1)先计算，，再计算概率；(2)结合列联表计算即可判断.【详解】（1）由，且，得，，∴从100人随机抽取一人“满意”的概率为，以频率估计概率，从全国玩抖音的市民中随机抽取一人是“满意”的概率为80%．（2）列联表 年龄低于50岁的人数年龄不低于50岁的人数合计满意602080不满意101020合计7030100的观测值，∴有95%的把握认为年龄低于50岁的人和年龄不低于50岁的人对服务态度有差异.18．已知数列的前项和为，在①且；②；③且，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：(1)已知数列满足______，求的通项公式；(2)已知正项等比数列满足，，求数列的前项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）若选①，由已知可推得，进而得出数列是常数列，从而得出；若选②，由已知推得，进而根据与的关系，即可推得；若选③，根据等差中项的性质，可推得数列是等差数列.然后由已知求得，即可得出.（2）根据已知可求出，然后根据对数运算以及裂项化简可得，然后相加即可得出.【详解】（1）若选①且由可得.又，所以数列是常数列，且，所以.若选②由已知可得，.当时，有；当时，有，，两式作差可得，，所以.又满足，所以.若选③且，由可得，，所以，数列是等差数列.又，，所以，所以，所以.（2）由（1）知，，所以.设等比数列公比为，由已知可得，解得，所以.所以，所以.19．如图（1），点E是直角梯形ABCD底边CD上的一点，∠ABC＝90°，BC＝CE＝1，AB＝DE＝2，将沿AE折起，使得D－AE－B成直二面角，连接CD和BD，如图（2）．(1)求证：平面平面BCD；(2)在线段BD上确定一点F，使得平面ADE.【答案】(1)证明见解析(2)当点F线段的中点时，平面ADE 【分析】（1）由D－AE－B成直二面角得到平面平面，利用面面垂直性质定理得平面，从而，再通过线面垂直证明面面垂直；（2）分别取线段BD，AB的中点F，G，利用线线平行证明线面平行，进而证明面面平行，即可证明结论.【详解】（1）在直角梯形ABCD中，取DE中点为M，连接AM，则DM=EM=1，AM=BC=1，所以，所以，所以，因为D－AE－B成直二面角，所以平面平面，又平面平面=AE，平面，所以平面，因为平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，因为平面BCD，所以平面平面BCD；（2）如图，分别取线段BD，AB的中点F，G，连接，则，又平面，平面，所以平面，在直角梯形ABCD中，且，所以四边形AGCE为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又因为平面，所以平面ADE.所以当点F线段的中点时，平面ADE.20．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若，证明: .【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负得单调区间；（2）计算，构造函数，，求出，对再一次求导（需引入新函数），确定的单调性后得其正负，从而确定的单调性，得证结论成立．【详解】（1），若，，即，此时在R上单调递减．若，解得，解得，∴在上单调递减，在上单调递增．（2）∵，设，  ，设  ，∴在上单调递增，，．∴，在上单调递增．∴．∴．21．已知抛物线：的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于，两点，当直线的倾斜角为时，.(1)求抛物线的方程；(2)求证：过焦点且垂直于的直线与以为直径的圆的交点分别在定直线上．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）写出直线的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理与焦点弦长公式即可得出抛物线的方程；（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理得出以为直径的圆的方程，然后与过焦点且垂直于的直线联立求解即可得出答案．【详解】（1）当直线的倾斜角为时，设直线的方程为，联立方程，得：，∴，，∴，∴抛物线的方程为．（2）抛物线：的焦点，设直线的方程为，，，联立方程得：，∴，，，，设以为直径的圆上任意一点为，则,即，则以为直径的圆的方程为：，即：，代入得：，过焦点且垂直于的直线为：，联立方程，得：即：，解得：或3，所以过焦点且垂直于的直线与以为直径的圆的交点分别在定直线和上．22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若极坐标系内异于的三点，，都在曲线上.（1）求证：；（2）若过，两点直线的参数方程为（为参数），求四边形的面积.【答案】（1）详见解析；（2）.【分析】（1）将 代入极坐标方程，求出，利用两角和与差的余弦公式化简可得结论；（2）求得，则；又得.四边形面积为，化简可得结果.【详解】（1）由 ，则 ；（2）由曲线的普通方程为：，联立直线的参数方程得：解得；平面直角坐标为：则；又得.即四边形面积为为所求.【点睛】本题主要考查极坐标方程以及参数方程的应用，考查了极径与极角的几何意义的应用，意在考查综合应用所学知识，解答问题的能力，属于中档题.23．已知实数，满足．（1）若，求证：；（2）设，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）利用基本不等式可证得，再由基本不等式计算的最值，即可求证；（2）利用反证法证明，假设，将已知条件平方可得，由已知条件可知可得，得出矛盾即可得证.【详解】（1）时，，因为 所以，，从而当且仅当即时等号成立，（2）假设，则由，知，故．又由，得但由知矛盾，故不成立，所以．【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值或证明不等式时，必须满足一正、二定、三相等，验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.