数学3.2 函数的基本性质第1课时导学案

这是一份数学3.2 函数的基本性质第1课时导学案，共13页。

 3．2　函数的基本性质
3．2.1　单调性与最大(小)值
第1课时　函数的单调性


1．理解函数单调区间、单调性等概念．
2．会划分函数的单调区间，判断单调性．
3．会用定义证明函数的单调性．

1．函数的单调性

温馨提示：定义中的x1，x2有以下3个特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1 (3)属于同一个单调区间．
2．函数的单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
温馨提示：(1)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，它是函数的一个局部性质．
(2)函数f(x)在定义域的某个区间D上单调，不一定在定义域上单调．如f(x)＝x2等．
(3)并非所有的函数都具有单调性，如f(x)＝
，它的定义域是N，但不具有单调性．

1．观察下列函数图象：

(1)从图象上看，自变量x增大时，函数f(x)的值如何变化？
(2)甲、乙图中，若x1 (3)丙图中，若x1 [答案]　(1)甲：自变量x增大时，函数f(x)也随之变大
乙：自变量x增大时，函数f(x)随之减小
丙：在y轴左侧函数f(x)的值随x的增大而减小；在y轴右侧，函数f(x)的值随x的增大而增大
(2)甲：∵x1 乙：∵x1f(x2)
(3)[0，＋∞)．∀x1，x2∈[0，＋∞)，若x1 2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x2在R上是增函数．(　　)
(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性．(　　)
(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“∀x1，x2”改为“∃x1，x2”．(　　)
(4)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，则f(x)在[3,4]上也为增函数．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

题型一 函数单调性的判断与证明
【典例1】　证明函数f(x)＝x＋在(－∞，－2)上是增函数．
[思路导引]　设出∀x1 [证明]　∀x1，x2∈(－∞，－2)，且x1 则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋
＝.
∵x14，
x1x2－4>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1) ∴函数f(x)＝x＋在(－∞，－2)上是增函数．

证明或判断函数单调性的方法步骤

[针对训练]
1．求证：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．
[证明]　∀x1，x2∈(－∞，0)，且x1 ∵x1 ∴x2－x1>0，x1＋x2<0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) ∴函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数．
∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1 有f(x1)－f(x2)＝.
∵00，x2＋x1>0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数.
题型二 求函数的单调区间
【典例2】　求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝|x2－3x＋2|.
[思路导引]　(1)先求出函数的定义域，再利用定义求解；(2)作出函数y＝x2－3x＋2的图象，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，结合图象写出f(x)的单调区间．
[解]　(1)函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
∀x1，x2∈(－∞，1)，且x1 f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为x10，x1－1<0，x2－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．
(2)f(x)＝|x2－3x＋2|

＝
作出函数的图象，如图所示．
根据图象，可知，
单调递增区间是和[2，＋∞)；
单调递减区间是(－∞，1]和.

(1)求函数单调区间的2种方法
①定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
②图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间．
(2)求函数单调区间的注意点
一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．

[针对训练]
2．函数f(x)＝＋2的单调递减区间是________________．
[解析]　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
当x10，∴f(x)在(－∞，0)上为减函数；
当00，
∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
[答案]　(－∞，0)，(0，＋∞)
3．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数的单调区间．
[解]　f(x)＝
的图象如图所示．

由图象可知：函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞).
题型三 函数单调性的应用
【典例3】　(1)已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在[4，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
(2)已知y＝f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是减函数，且f(1－a) [思路导引]　二次函数的单调性由开口方向及对称轴确定，与函数值有关的不等式问题依据单调性转化为自变量的不等关系．
[解]　(1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，
∴f(x)的增区间是[1－a，＋∞)．
又∵已知f(x)在[4，＋∞)上是增函数，
∴1－a≤4，即a≥－3.
∴所求实数a的取值范围是[－3，＋∞)．
(2)∵f(x)在R上是减函数，且f(1－a) ∴1－a>2a－1，得a<，∴a的取值范围是.
[变式]　(1)若本例(1)条件改为“函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2的单调递增区间为[4，＋∞)”，其他条件不变，如何求解？
(2)若本例(2)中“定义域(－∞，＋∞)”改为“定义域(－1,1)”，其他条件不变，如何求解？
[解]　(1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，
∴f(x)的递增区间为[1－a，＋∞)．
∴1－a＝4，得a＝－3.
(2)由题意可知
解得0 又f(x)在(－1,1)上是减函数，且f(1－a) ∴1－a>2a－1，即a<.②
由①②可知，0
函数单调性的3个应用要点
(1)二次函数的单调性由于只与对称轴及开口方向有关，因此处理起来较容易，只需结合图象即可获解．
(2)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围．
(3)需注意若一函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．

[针对训练]
4．若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　)
A．f(a)>f(2a) B．f(a2) C．f(a2＋a) [解析]　∵f(x)在(－∞，＋∞)为减函数，且a2＋1>a2，∴f(a2＋1) [答案]　D
5．函数f(x)＝x2－2mx－3在区间[1,2]上单调，则m的取值范围是________．
[解析]　二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置，函数f(x)＝x2－2mx－3的对称轴为x＝m，函数在区间[1,2]上单调，则m≤1或m≥2.
[答案]　{m|m≤1或m≥2}
课堂归纳小结
1.若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减，如函数y＝.
2.对增函数的判断，当x10或>0.
对减函数的判断，当x1f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0.
3.熟悉一些常见函数的单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等.
4.若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增，②－f(x)单调递减，③单调递减(f(x)≠0).
5.对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商与1比较.

1．如图所示，函数y＝f(x)在下列哪个区间上是增函数(　　)

A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
[解析]　观察题中图象知，函数在[－3,1]上是增函数．
[答案]　C
2．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是(　　)
A．y＝x2－2 B．y＝
C．y＝1＋2x D．y＝－(x＋2)2
[解析]　选项A，B在(－∞，0)上为减函数，选项D在(－2，0]上为减函数，只有选项C满足在(－∞，0]内为增函数．故选C.
[答案]　C
3．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　由一次函数的性质得2a－1<0，即a<.故选D.
[答案]　D
4．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x) [解析]　因为f(x)在区间[－1,1]上为增函数，且f(x) [答案]　
5．已知函数f(x)＝，判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性并用定义证明．
[解]　f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
证明如下：任取x1>x2>0，
f(x1)－f(x2)＝－＝，
由x1>x2>0知x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2>0，
故f(x1)－f(x2)>0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
课后作业(十九)
复习巩固
一、选择题
1．若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上(　　)
A．必是增函数 B．必是减函数
C．是增函数或减函数 D．无法确定单调性
[解析]　函数在区间(a，b)∪(b，c)上无法确定单调性．如y＝－在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．
[答案]　D
2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是(　　)
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
[解析]　因为－1<0，所以一次函数y＝－x＋3在R上递减，反比例函数y＝在(0，＋∞)上递减，二次函数y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.
[答案]　A
3．对于函数y＝f(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，且x1 A．一定是增函数 B．一定是减函数
C．可能是常数函数 D．单调性不能确定
[解析]　由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值．
[答案]　D
4．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的单调递减区间是(　　)
A. B．[－1，＋∞)
C. D．(－∞，＋∞)
[解析]　y＝x2＋x＋1＝2＋，其对称轴为x＝－，在对称轴左侧单调递减，∴当x≤－时单调递减．
[答案]　C
5．若f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则下列说法中正确的是(　　)
A．f(x)>f(0) B．f(x2)>f(0)
C．f(3a＋1) [解析]　∵a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，∴a2＋1≥2a.
当a＝1时，f(a2＋1)＝f(2a)；
当a≠1时，f(a2＋1)>f(2a)．故选D.
[答案]　D
二、填空题
6．若函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝________.
[解析]　由条件知x＝－2是函数f(x)图象的对称轴，所以＝－2，m＝－8，则f(1)＝13.
[答案]　13
7．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)是单调函数，则a的取值范围是________．
[解析]　因为函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－a]，所以－a≥－1，解得a≤1.
[答案]　(－∞，1]
8．已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x－2) [解析]　∵f(x)是定义在R上的增函数，
又∵f(x－2) 即x的取值范围是.
[答案]　

三、解答题
9．画出下列函数的图象，并写出它们的值域和单调区间．
(1)y＝|x＋1|；
(2)y＝(x＋3)|x－1|.
[解]　(1)∵y＝|x＋1|，∴y＝
其图象如下图所示：

由图象可得函数的值域为[0，＋∞)．(－∞，－1]为函数的单调递减区间；[－1，＋∞)为函数的单调递增区间．
(2)f(x)＝

即f(x)＝
图象如图所示．
结合图象可知，f(x)在(－∞，－1)上是单调增函数，在[－1,1]上是单调减函数，在[1，＋∞)上是单调增函数．函数的值域是R.
10．已知函数y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，试比较
f与f(a2－a＋1)的大小．
[解]　∵a2－a＋1＝2＋≥，
∴与a2－a＋1都在区间[0，＋∞)内．
又∵y＝f(x)在区间[0，＋∞)上是减函数，
∴f≥f(a2－a＋1).
综合运用
11．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是(　　)
A．a>－ B．a≥－
C．－≤a<0 D．－≤a≤0
[解析]　当a＝0时，f(x)＝2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的；当a>0时，由函数f(x)＝ax2＋2x－3的图象知，不可能在区间(－∞，4)上是单调递增；当a<0时，只有－≥4，即a≥－满足函数f(x)在区间(－∞，4)上是单调递增的，综上可知实数a的取值范围是－≤a≤0.
[答案]　D
12．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则(　　)
A．f(－1) C．f(2) [解析]　因为二次函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1，所以f(－1)＝f(3)．又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，则f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，故f(1) [答案]　B
13．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,3) B．(0,3]
C．(0,2) D．(0,2]
[解析]　依题意得实数a满足
解得0 [答案]　D
14．设函数f(x)满足：对∀x1，x2∈R都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．
[解析]　由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函数f(x)为增函数．又－3>－π，所以f(－3)>f(－π)．
[答案]　f(－3)>f(－π)
15．设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为________．
[解析]　由条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，又f(3)＝1，∴不等式f(x)＋f(－2)>1，即为f(－2x)>f(3)．
∵f(x)是定义在R上的增函数，∴－2x>3，
解得x<－.故不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为.
[答案]　
16．已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
[解]　设11.
∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
∴f(x1)－f(x2)＝x1－＋－
＝(x1－x2)<0.
∵x1－x2<0，∴1＋>0，即a>－x1x2.
∵11，∴－x1x2<－1，∴a≥－1.
∴a的取值范围是[－1，＋∞)．