高中人教A版 (2019)1.2 集合间的基本关系导学案

这是一份高中人教A版 (2019)1.2 集合间的基本关系导学案，共12页。

1．理解子集、真子集、空集的概念．
2．能用符号和Venn图表示集合间的关系．
3．掌握列举有限集的所有子集的方法．
1．子集的概念
温馨提示：“A是B的子集”的含义是：对任意x∈A都能推出x∈B.
2．集合相等的概念
如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.
3．真子集的概念
温馨提示：在真子集的定义中，A?B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.
4.空集的概念
1．给出下列集合：
A＝{a，b，c}，B＝{a，b，c，d，e}．
(1)集合A与集合B有什么关系？
(2)集合B中的元素与集合A有什么关系？
[答案] (1)A?B (2)a，b，c∈A；d，e∉A
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空集中只有元素0，而无其余元素．( )
(2)任何一个集合都有子集．( )
(3)若A＝B，则A⊆B.( )
(4)方程x2＋2＝0的解集为空集∅.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
题型一 集合间关系的判断
【典例1】 判断下列两个集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{x|x2＝1}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
[思路导引] 集合间基本关系的刻画均是由元素的从属关系决定的．
[解] (1)用列举法表示集合B＝{－1,1}，故A＝B.
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A?B.
(4)解法一(特殊值法)：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N?M.
解法二(列举法)：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N?M.
判断集合间关系的3种方法
(1)列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系．
(2)元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．
(3)图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系．
[针对训练]
1．设集合M＝{x|x>－2}，则下列选项正确的是( )
A．{0}⊆M B．{0}∈M
C．∅∈M D．0⊆M
[解析] 选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；选项D中是元素与集合之间的关系，符号错误．
[答案] A
2．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是( )
[解析] M＝{－1,0,1}，N＝{0，－1}，∴N?M.
[答案] B
题型二 有限集合子集、真子集的确定
【典例2】 (1)填写下表，并回答问题
由此猜想，含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集个数呢？
(2)求满足{1,2}?M⊆{1,2,3,4,5}的集合M.
[解] (1)
猜想：含n个元素的集合的子集共有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
(2)由题意可得{1,2}?M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；
含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；
含有五个元素：{1,2,3,4,5}．
故满足题意的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
(1)求解有限集合子集问题的3个关键点
①确定所求集合，是子集还是真子集．
②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出．
③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
(2)与子集、真子集个数有关的3个结论
假设集合A中含有n个元素，则有：
①A的子集的个数为2n个；
②A的真子集的个数为2n－1个；
③A的非空真子集的个数为2n－2个．
[针对训练]
3．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝ ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析] 根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，则m＝2.
[答案] B
4．已知集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A⊆B，A⊆C，则满足条件的集合A的个数是________．
[解析] 若集合A＝∅，满足A⊆B，A⊆C；若集合A≠∅，集合A可能是{a}，{b}，{a，b}．故集合A共4个．
[答案] 4
题型三 利用集合间的关系求参数值(或范围)
【典例3】 已知集合A＝{x|－3[思路导引] A⊆B，即集合A中的数在集合B中，特别注意A＝∅的情况．
[解] 由A⊆B，将集合A，B分别表示在数轴上，如图所示，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤－3，,1－m<2m－1，,4≤2m－1，))解得m≥4.故m的取值范围是{m|m≥4}．
[变式] (1)本例中若将“A⊆B”改为“B⊆A”，其他条件不变，求m的取值范围．
(2)本例若将集合A，B分别改为A＝{3，m2}，B＝{1,3,2m－1}，其他条件不变，求实数m的值．
[解] (1)由B⊆A，将集合A，B分别表示在数轴上，如图所示．
∵B⊆A，∴当B＝∅时，1－m≥2m－1，解得m≤eq \f(2,3)；
当B≠∅时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－1>1－m，,2m－1<4，,1－m≥－3，))
解得eq \f(2,3)综上可知，m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<\f(5,2))))).
(2)由A⊆B，按m2＝1和m2＝2m－1两种情况分类讨论．
①若m2＝1，则m＝－1或m＝1.
当m＝－1时，B中元素为1,3，－3，适合题意；
当m＝1时，B中元素为1,3,1，与元素的互异性矛盾．
②若m2＝2m－1，则m＝1，由①知不合题意．
综上所述，m＝－1.
由集合间的关系求参数的2种方法
(1)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．
(2)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．
[针对训练]
5．已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x[解] 结合数轴，∵A?B，∴a≥4，故实数a的取值集合为{a|a≥4}．
6．设集合M＝{x|2x2－5x－3＝0}，N＝{x|mx＝1}，若N⊆M，求m的取值集合．
[解] 集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(3，－\f(1,2))).若N⊆M，则N＝{3}或eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))或∅.于是当N＝{3}时，m＝eq \f(1,3)；当N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))时，m＝－2；当N＝∅时，m＝0.所以m的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，0，\f(1,3))).
课堂归纳小结
1．对子集、真子集有关概念的理解
(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．
(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．
(3)在真子集的定义中，A?B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.
2．集合子集的个数
求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分
类，再依次写出符合要求的子集．
集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．
3．由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法
(1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形；
②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．
(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.
1．下列四个关系式：①{a，b}⊆{b，a}；②∅＝{∅}；③∅?{0}；④0∈{0}．其中正确的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[解析] 对于①，任何集合是其本身的子集，正确；对于②，相对于集合{∅}来说，∅∈{∅}，也可以理解为∅⊆{∅}，错误；对于③，空集是非空集合的真子集，故∅?{0}正确；对于④，0是集合{0}的元素，故0∈{0}正确．
[答案] B
2．集合A＝{x|－1≤x<2，x∈N}的真子集的个数为( )
A．4 B．7
C．8 D．16
[解析] A＝{－1,0,1}，其真子集为∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，共有22－1＝4(个)．
[答案] A
3．已知集合A＝{3，－1}，集合B＝{|x－1|，－1}，且A＝B，则实数x等于( )
A．4 B．－2
C．4或－2 D．2
[解析] ∵A＝B，∴|x－1|＝3，解得x＝4或x＝－2.
[答案] C
4．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________．
[解析] 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．
[答案] 6
5．设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知B⊆A.
(1)求实数m的取值范围；
(2)当x∈N时，求集合A的子集的个数．
[解] (1)当m－1>2m＋1，即m<－2时，B＝∅，符合题意．
当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠∅.
由B⊆A，借助数轴(如图)，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－1≥－1，,2m＋1≤6，))解得0≤m≤eq \f(5,2).
综上所述，实数m的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<－2或0≤m≤\f(5,2))))).
(2)当x∈N时，A＝{0,1,2,3,4,5,6}，
∴集合A的子集的个数为27＝128.
课后作业(三)
复习巩固
一、选择题
1．下列关系式不正确的是( )
A．{1}⊆{1,2} B．{0}⊆{1,2}
C．{2}⊆{1,2} D．1∈{1,2}
[解析] ∵0∉{1,2}，∴{0}⊆{1,2}不正确；根据子集的概念可知A，C正确；D显然正确．
[答案] B
2．下列四个集合中，是空集的是( )
A．{0} B．{x|x>8且x<5}
C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}
[解析] 选项A、C、D都含有元素，而选项B中无元素，故选B.
[答案] B
3．设集合A＝{x|1A．{a|a≥2} B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}
[解析] 在数轴上表示出两个集合(图略)，因为A?B，所以a≥2.
[答案] A
4．若集合A满足A⊆B，A⊆C，B＝{0,1,2,3}，C＝{0,2,4,8}，则满足上述条件的集合A的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．4
[解析] ∵A⊆B，A⊆C，∴A中最多能含有0,2两个元素，∴A＝∅，{0}，{2}，{0,2}共4个．
[答案] D
5．若集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,2)＋\f(1,4)，k∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,4)＋\f(1,2)，k∈Z))))，则( )
A．M＝N B．M?N
C．M?N D．M与N没有相同元素
[解析] M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2k＋1,4)，k∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k＋2,4)，k∈Z)))).∵k∈Z,2k＋1为奇数，k＋2为整数，∴M?N.故选C.
[答案] C
二、填空题
6．集合A＝{2n＋1|n∈Z}，集合B＝{4k±1|k∈Z}，则A与B间的关系是________．
[解析] 因为整数包括奇数与偶数，所以n＝2k或2k－1(k∈Z)，当n＝2k时，2n＋1＝4k＋1，当n＝2k－1时，2n＋1＝4k－1，故A＝B.
[答案] A＝B
7．已知非空集合A满足：①A⊆{1,2,3,4}；②若x∈A，则5－x∈A，则满足上述要求的集合A的个数为________．
[解析] 由题意知，满足题中要求的集合A可以是{1,4}，{2,3}，{1,2,3,4}，共3个．
[答案] 3
8．定义集合A*B＝{x|x∈A且x∉B}，若A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,4,5}，则A*B的子集个数是________．
[解析] 在A*B中，x∈A，∴x可能取1,2,3,4,5.
又x∉B，∴x又不能取2,4,5.
因此x可能取值只有1和3，
∴A*B＝{1,3}，其子集个数为4.
[答案] 4
三、解答题
9．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B?A，求a的值．
[解] ∵B?A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.
①当a2－a＋1＝3时，解得a＝－1或a＝2.
经检验，满足题意．
②当a2－a＋1＝a时，解得a＝1，此时集合A中的元素1重复，与元素互异性矛盾，故a＝1不合题意．
综上所述，a＝－1或a＝2为所求．
10．已知集合M＝{x|x2＋2x－a＝0}．
(1)若∅?M，求实数a的取值范围；
(2)若N＝{x|x2＋x＝0}且M⊆N，求实数a的取值范围．
[解] (1)由题意得，方程x2＋2x－a＝0有实数解，
∴Δ＝22－4×(－a)≥0，得a≥－1.
(2)∵N＝{x|x2＋x＝0}＝{0，－1}，
又M⊆N，
当M＝∅时，即Δ＝22－4(－a)<0得a<－1，符合题意．
当M≠∅时，当Δ＝0时，即a＝－1时，
此时M＝{－1}，满足M⊆N，符合题意．
当Δ>0时，即a>－1时，
M中有两个元素，
若M⊆N则M＝N，从而eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＋0＝－2，,－1×0＝a，))无解．
综上，a的取值范围为{a|a≤－1}．
综合运用
11．已知集合A，B，若A不是B的子集，则下列说法中正确的是( )
A．对任意的a∈A，都有a∉B
B．对任意的b∈B，都有b∉A
C．存在a0，满足a0∈A，a0∉B
D．不存在a0，满足a0∈A，a0∈B
[解析] A不是B的子集，也就是说A中存在某个元素不属于B，显然正是C选项要表达的．对于A和B选项，取A＝{1,2}，B＝{2,3}可否定，对于D选项，可存在a0∈A，a0∈B，但A不是B的子集，如A＝{1,3}，B＝{2,3}．
[答案] C
12．若B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是( )
A．A∈B B．B∈A
C．A⊆B D．B⊆A
[解析] 因为B的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅，所以A＝
{x|x⊆B}＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，所以B∈A.
[答案] B
13．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．
[解析] ∵y＝(x－1)2－2≥－2，
∴M＝{y|y≥－2}，∴N?M.
[答案] N?M
14．已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B⊆A，则实数a的取值范围是________．
[解析] ∵B⊆A，
∴B的可能情况有B≠∅和B＝∅两种．
①当B≠∅时，
∵B⊆A，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>3，,a≤2a－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－1<－2，,a≤2a－1))成立，
解得a>3；
②当B＝∅时，由a>2a－1，得a<1.
综上可知，实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}．
[答案] {a|a<1或a>3}
15．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，B＝{1,2，b}．
(1)是否存在实数a，使得对于任意的实数b，都有A⊆B？若存在，求出对应的a的值；若不存在，请说明理由．
(2)若A⊆B成立，求出对应的实数对(a，b)．
[解] (1)由题意知，当且仅当集合A中的元素为1,2时，对于任意的实数b，都有A⊆B.
因为A＝{a－4，a＋4}，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－4＝1，,a＋4＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－4＝2，,a＋4＝1，))
方程组均无解，
所以不存在实数a，使得对于任意的实数b，都有A⊆B.
(2)由(1)知，若A⊆B，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－4＝1，,a＋4＝b))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－4＝2，,a＋4＝b))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－4＝b，,a＋4＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－4＝b，,a＋4＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝9))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝6，,b＝10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝－7))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－6，))
所以所求实数对(a，b)为(5,9)，(6,10)，(－3，－7)，(－2，－6)．
原集合
子集
子集的个数
∅
________
________
{a}
________
________
{a，b}
________
________
{a，b，c}
________
________
原集合
子集
子集的个数
∅
∅
1
{a}
∅，{a}
2
{a，b}
∅，{a}，{b}，{a，b}
4
{a，b，c}
∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}
8