数学必修第一册5.1 任意角和弧度制示范课ppt课件

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这是一份数学必修第一册5.1 任意角和弧度制示范课ppt课件，共55页。PPT课件主要包含了自主阅读·新知预习，合作探究·深化提能，随堂检测·内化素养，课时作业·分层自检等内容，欢迎下载使用。

5．1　任意角和弧度制5．1.1　任意角
1．了解任意角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.
知识点1　任意角 [巧梳理] 1．角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．
2．角的分类按旋转方向，角可以分为三类：
3.角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的_____________相同且旋转量相等，那么就称α＝β.4．把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做_____________，角α的相反角记为－α.
[微体验]1．每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是(　　)A．30°　　　　　　　B．－30°C．60° D．－60°
知识点2　象限角及终边相同的角[巧梳理]1．象限角在直角坐标系中，使角的顶点与_____________重合，角的始边与_____________轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．
2．终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S＝______________________,即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与_____________的和．
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
[微点拨]对集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的理解(1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略；(2)k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)；(3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．
[微体验]2．－110°是(　　)A．第一象限角　　　　B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角
3．与30°角终边相同的角的集合是(　　)A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}解析：A　由终边相同的角的定义可知与30°角终边相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．
学习任务一　任意角的概念[例1]　(多选)下列说法正确的是(　　)A．锐角都是第一象限角B．第一象限角一定不是负角C．小于180°的角是钝角、直角或锐角D．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
解析：AD　锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以A正确；－350°角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，所以D正确．
理解与角的概念有关的问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要举一个反例即可．
[跟踪训练]1．下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③钝角比第三象限角小．其中正确的结论为________(填序号)．解析：①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；③钝角大于－100°，而－100°的角是第三象限角，故③不正确．答案：②
学习任务二　象限角[例2]　(1)给出下列四个结论：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角； ③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角，其中正确的有(　　)A．1个　　　　　B．2个C．3个 D．4个(2)若α是第四象限角，则下列角中是第一象限角的是(　　)A．α＋180°B．α－180°C．α＋270° D．α－270°
[跟踪训练]2．若β是第二象限角，则270°＋β是(　　)A．第一象限角　　　　B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：A　因为β是第二象限角，所以k·360°＋90°<β学习任务三　终边相同的角角度1　求某区间内的终边相同的角[例3]　(链接教材P170例1)指出下列各角是第几象限角，以及在0°～360°范围内与其终边相同的角．(1)485°；(2)－35°；(3)770°；(4)－500°.解：(1)因为485°＝125°＋360°，所以在0°～360°范围内，与485°角终边相同的角是125°，所以485°是第二象限角．(2)因为－35°＝325°－360°，所以在0°～360°范围内，与－35°角终边相同的角是325°，所以－35°是第四象限角．
(3)因为770°＝50°＋2×360°，所以在0°～360°范围内，与770°角终边相同的角是50°，所以770°是第一象限角．(4)因为－500°＝220°－2×360°，所以在0°～360°范围内，与－500°角终边相同的角是220°，所以－500°是第三象限角．
角度2　表示终边相同的角[例4]　(链接教材P171例3)写出终边如图所示的直线上的角的集合．(1)　　　　　(2)　　　　　(3)
解：(1)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，又所有与0°角终边相同的角的集合为S1＝{β|β＝k·360°，k∈Z}，所有与180°角终边相同的角的集合为S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，所以，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．(2)由题图易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．(3)由教材第171页例3知终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，结合(2)知所求角的集合为S＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}．
求解终边在某条直线上的角的集合的思路(1)若所求角β的终边在某条射线上，则集合的形式为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．(2)若所求角β的终边在某条直线上，则集合的形式为{β|β＝k·180°＋α，k∈Z}．
[跟踪训练] 3.如图所示，α，β分别是终边落在OA，OB位置上的两个角，且α＝60°，β＝315°. (1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合； (2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在0°～360°范围内的角的集合．解：(1)因为与角β终边相同的一个角可以表示为－45°，所以阴影部分(不包括边界)所表示的角的集合为{γ|k·360°－45°<γ1．下列各角中，终边在y轴非负半轴上的是(　　)A．45°　　　　　　B．90°C．180° D．270°解析：B　根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．
2．若α＝1690°，θ与α的终边相同，且θ∈(0°，360°)，则θ＝(　　)A．300°B．250°C．200° D．150°解析：B　∵1690°＝4×360°＋250°，∴在0°～360°范围内θ＝250°.故选B.
4．若角α的终边与75°角的终边关于x轴对称，且－360°<α<360°，则角α的值为________．解析：如图，设75°角的终边为射线OA，射线OA关于x轴对称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为－75°，所以以射线OB为终边的角的集合为{α|α＝－75°＋k·360°，k∈Z}．又－360°<α<360°，令k＝0或1，得α＝－75°或285°. 答案：－75°或285°
基础巩固练1．下列角的终边位于第二象限的是(　　)A．420°　　　　　　B．860°C．1060° D．1260°解析：B　420°＝360°＋60°，终边位于第一象限；860°＝2×360°＋140°，终边位于第二象限；1060°＝2×360°＋340°，终边位于第四象限；1260°＝3×360°＋180°，终边位于x轴非正半轴．故选B.
2．与1303°终边相同的角是(　　)A．763°B．493°C．－137° D．－47°解析：C　因为1303°＝4×360°－137°，所以与1303°终边相同的角是－137°.
3．已知集合A＝{α|α＝－36°＋k·90°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝(　　)A．{－36°，54°}B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°}D．{－126°，54°}解析：C　令k＝－1，0，1，2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.
4．集合{α|45°＋k·180°≤α≤90°＋k·180°，k∈Z}中角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是(　　)解析：C　当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋45°≤α≤n·360°＋90°，n∈Z；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°≤α≤n·360°＋270°，n∈Z.故选C.
解析：D　结合图形分析，知α＋β＝180°＋k·360°＝(2k＋1)·180°(k∈Z)．
6．如果角α与角x＋45°具有同一条终边，角β与角x－45°具有同一条终边，则α与β的关系是(　　)A．α＋β＝0B．α－β＝0C．α＋β＝k·360°(k∈Z)D．α－β＝k·360°＋90°(k∈Z)解析：D　∵α＝(x＋45°)＋k1·360°(k1∈Z)，β＝(x－45°)＋k2·360°(k2∈Z)，∴α－β＝(k1－k2)·360°＋90°＝k·360°＋90°(k∈Z)．
7．已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________．解析：∵α与120°角终边相同，∴α＝k·360°＋120°，k∈Z.又－990°<α<－630°，∴－990°8．如图所示，顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分(不包含边界)内的角θ的集合为________________________________________．
解析：由题图可知，以OA为终边的最小正角是75°，以OB为终边的最小正角是330°，∴以OB为终边的最大负角为－30°.∴以OA，OB为终边的角的集合分别是S1＝{x|x＝75°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{x|x＝－30°＋k·360°，k∈Z}，∴终边落在阴影部分(不包含边界)内的角的集合为θ＝{x|－30°＋k·360°9．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M有几类终边不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角有哪几个？(3)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)集合M的角可以分成四类，即终边分别与－150°角，－60°角，30°角，120°角的终边相同的角．
综合应用练10．(多选)下列说法中，正确的是(　　)A．120°角与420°角的终边相同B．若α是锐角，则2α是第二象限的角C．－240°角与460°角都是第二象限的角D．60°角与－420°角的终边关于x轴对称
解析：CD　A项，420°＝360°＋60°，∴60°角与420°角的终边相同，A错；B项，0°<α<90°，则0°<2α<180°，∴2α是第一或第二象限的角，或终边在y轴的非负半轴，B错；C项，460°＝360°＋100°，∴460°是第二象限角，－240°＝120°－360°，∴－240°是第二象限角，C正确；D项，－420°＝－360°－60°，∴－420°角与－60°角的终边相同，而－60°角与60°角的终边关于x轴对称．∴60°角与－420°角的终边关于x轴对称．D正确．
11．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　　)A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：AC　因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°<2α<180°＋k·360°，k∈Z.则有k·180°<α12．已知角α满足180°<α<360°，若角5α与α既有相同的始边，又有相同的终边，则角α＝________．解析：因为5α与α的始边和终边相同，所以这两个角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝k·360°，α＝k·90°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.答案：270°
13．已知α，β都是锐角且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，因为α，β都是锐角，所以0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°.①因为α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.因为α，β都是锐角，所以－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.
探索创新练14．如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动．若两只蚂蚁同时从点A(1，0)按逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14 s回到A点，并且在第2 s时均位于第二象限，求α，β的值．