高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 全称量词与存在量词第2课时达标测试

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 全称量词与存在量词第2课时达标测试，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A 组·素养自测
一、选择题
1．“∃m，n∈Z，m2＝n2＋2021”的否定是( C )
A．∀m，n∈Z，m2＝n2＋2021B．∃m，n∈Z，m2≠n2＋2021
C．∀m，n∈Z，m2≠n2＋2021D．以上都不对
[解析] 命题的否定是∀m，n∈Z，m2≠n2＋2021，故选C．
2．“a2＋b2≠0”的含义为( C )
A．a和b都不为0
B．a和b至少有一个为0
C．a和b至少有一个不为0
D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0
[解析] a2＋b2≠0的等价条件是a≠0或b≠0，即两者中至少有一个不为0，故选C．
3．若命题p：x∈(A∩B)，则命题p的否定是( B )
A．x∉A且x∉B B．x∉A或x∉B
C．x∉A且x∈B D．x∈(A∪B)
[解析] 命题p：x∈(A∩B)是指x∈A且x∈B，因此其否定为x∉A或x∉B．
4．对下列命题的否定说法错误的是( C )
A．p：能被2整除的数是偶数；命题p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；命题p的否定：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；命题p的否定：所有的三角形不都是正三角形
D．p：∃x∈R，x2＋x＋2≤0；命题p的否定：∀x∈R，x2＋x＋2＞0
[解析] A正确，B正确，C中“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误，D正确，故选C．
二、填空题
5．若命题p：∀a，b∈R，方程ax＋b＝2恰有一解，则命题p的否定：__∃a，b∈R，方程ax＋b＝2无解或至少有两解__．
[解析] 命题p的否定：∃a，b∈R，方程ax＋b＝2无解或至少有两解．
6．若命题“∃x∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≥－\f(1,4)))))，x＋m＜0”是假命题，则实数m的取值范围是__m≥eq \f(1,4)__．
[解析] 命题“∃x∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≥－\f(1,4)))))，x＋m＜0”是假命题，即命题的否定为真命题．其否定为：“∀x∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≥－\f(1,4)))))，x＋m≥0”，解得m≥eq \f(1,4)．
三、解答题
7．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)有一个实数x，使x3＋1＝0；
(2)四边形的对角线不都互相垂直；
(3)有一个点(x，y)，满足y＝2x＋1．
[解析] (1)命题的否定：∀x∈R，x3＋1≠0；因为x＝－1时，x3＋1＝0，故原命题的否定为假命题．
(2)命题的否定：任意四边形的对角线都互相垂直；原命题的否定是假命题．
(3)命题的否定：对所有的点(x，y)，都不满足y＝2x＋1；原命题的否定为假命题．
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题p的否定为( B )
A．某班至多有一个男生爱踢足球
B．某班至少有一个男生不爱踢足球
C．某班所有的男生都不爱踢足球
D．某班所有的女生都爱踢足球
[解析] 命题“某班所有的男生都爱踢足球”是一个全称量词命题，它的否定是一个存在量词命题，为“某班至少有一个男生不爱踢足球”．故选B．
2．(多选题)取整函数：[x]＝不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[－1.2]＝－2．取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取整函数”进行计费的．以下关于“取整函数”的性质是真命题的有( BC )
A．∀x∈R，[2x]＝2[x]
B．∃x∈R，[2x]＝2[x]
C．∀x，y∈R，若[x]＝[y]，则x－y＜1
D．∀x，y∈R，[x＋y]≤[x]＋[y]
[解析] 根据新定义“取整函数”的意义知[2x]＝2[x]不一定成立，如x取1.5，[2x]＝3，2[x]＝2，A错误；x取1，[2x]＝2，2[x]＝2，B正确；在C中，设x＝n＋a(n∈Z，0≤a＜1)，y＝m＋b(m∈Z，0≤b＜1)，若[x]＝[y]，则n＝m，因此x－y＝a－b≤a＜1，故C正确；x取1.6，y取1.6，[x＋y]＝[3.2]＝3，[x]＋[y]＝1＋1＝2，D错误，故选BC．
二、填空题
3．命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则命题p的否定为__∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解__．
4．以下四个命题：
①∀x∈R，－3x＋2＞0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2．其中假命题的序号为__①②③④__．
[解析] 因为x＝1时，－3×1＋2＜0．
所以①为假命题；
当且仅当x＝±eq \r(2)时，x2＝2，
所以不存在x∈Q，使得x2＝2，所以②为假命题；
对∀x∈R，x2＋1＞0，所以③为假命题；
4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，
所以④为假命题．
所以①②③④均为假命题．
三、解答题
5．已知命题p：∀x≥－eq \f(1,3)，3x＋2－a＞0为真命题，求实数a的取值范围．
[解析] 由∀x∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≥－\f(1,3)))))，3x＋2－a＞0为真命题，则3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＋2－a＞0．
得a＜1，所以实数a的取值范围为a＜1．