人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用第3课时同步训练题

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第五章　5.3　5.3.2　第3课时

A级——基础过关练
1．将8分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为(　　)
A．2和6 B．4和4
C．3和5 D．以上都不对
【答案】B
2．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(140－x)件，要使利润最大每件定价为(　　)
A．80元 B．85元
C．90元 D．95元
【答案】B
3．(2021年合肥期末)设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为(　　)
A．V B．
C．2 D．
【答案】D　【解析】设底面边长为x，则高为h＝，S表＝3×·x＋2×x2＝＋x2，所以S′表＝－＋x，令S′表＝0，得x＝，经检验得，当x＝时，S表取得最小值．
4．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x(x∈N*)满足y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C　【解析】由题意得，年平均利润为f(x)＝＝－x＋12－(x>0)，f′(x)＝－1＋，令f′(x)＝0，得x＝5，经检验得，当x＝5时，年平均利润最大．
5．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．设该商品零售价定为p元，销售量为Q件，且Q与p有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　)
A．30元　 B．60元
C．28000元　 D．23000元
【答案】D　【解析】由题意知，毛利润等于销售额减去成本，即L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23 000.因为在p＝30附近的左侧L′(p)＞0，右侧L′(p)＜0.所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值．
6．现要做一个容积为256m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为(　　)
A．6m B．8m
C．4m D．2m
【答案】C　【解析】设底边长为x(x＞0)，由题意可得，高h＝，用料y＝x2＋4xh＝x2＋＝x2＋＋≥3＝192，当且仅当x2＝即x＝8时，取等号，故它的底边长为8，高为4时最省材料．故选C．
7．(多选)一艘船的燃料费y(单位：元/时)与船速x(单位：千米/时)的关系是y＝x3＋x.若该船航行时其他费用为540元/时，航程为100千米，设航行总费用为L(x)，则下列说法正确的是(　　)
A．L(x)＝x2＋＋100(x＞0)
B．L(x)＝x2＋＋100(x＞0)
C．要使得航行的总费用最少，航速应为20千米/时
D．要使得航行的总费用最少，航速应为30千米/时
【答案】BD　【解析】由题意可得，航行的总费用L(x)＝＝x2＋＋100(x＞0)，故A错误，B正确；L′(x)＝2x－，令L′(x)＝0，得x＝30，当0＜x＜30时，L′(x)＜0，L(x)单调递减，当x＞30时，L′(x)＞0，L(x)单调递增，所以当x＝30时，L(x)取得极小值，也是最小值，所以要使得航行的总费用最小，航速应为30千米/时，故C错误，D正确．故选BD．
8．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面一边比高长出0.5m，则当高为__________m时，容器的容积最大．
【答案】1　【解析】由题意列出函数表达式，再用导数求最值，设高为x m，则体积V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)，V′＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0，解得x＝1或x＝－(舍去)．
9．某车间要盖一间长方形小屋，其中一边利用已有的墙壁，另三边新砌，现有存砖只够砌20m长的墙壁，问应围成长为________m，宽为________m的长方形才能使小屋面积最大．
【答案】10　5　【解析】要使长方形的小屋面积最大，已有的墙壁一定是小屋的长，设小屋宽为x m，则长为(20－2x)m，小屋面积S＝x(20－2x)，S′＝－4x＋20，令S′＝0，解得x＝5，∴20－2x＝10，∴当小屋长为10 m，宽为5 m时，面积最大．
10．已知某工厂生产x件产品的成本(单位：元)为C(x)＝25000＋200x＋x2.
(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？
(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
解：(1)设平均成本为y元，则
y＝＝＋200＋，所以y′＝＋.
令y′＝0，得x＝1000.
当在x＝1000附近左侧时，y′0，
故当x＝1000时，y取极小值也是最小值，
所以要使平均成本最低，应生产1000件产品．
(2)利润函数为
S＝500x－＝300x－25 000－.
令S′＝300－＝0，得x＝6000.
当在x＝6000附近左侧时，S′>0，在x＝6000附近右侧时S′