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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理备课课件ppt
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理备课课件ppt，共38页。PPT课件主要包含了第1课时，激趣诱思，知识点拨，探究一，探究二，探究三，素养形成，当堂检测，答案B等内容，欢迎下载使用。
今年暑假期间,如果你想去北京旅游,可供选择的比较理想的旅游路线中,坐动车有三条,坐飞机有两条,坐汽车有两条,那么你可以选择的旅游的往返路线共有几条呢?
一、分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.
名师点析应用分类加法计数原理的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事可以有哪些办法,怎么才算是完成这件事.(2)完成这件事的n类方案,无论用哪类方案中的哪种方法都可以单独完成这件事,而不需要再用到其他的方法.(3)确立恰当的分类标准,准确地对“这件事”进行分类,要求每一种方法必属于某一类方案,不同类方案的任意两种方法不同,也就是分类必须既“不重复”也“不遗漏”.从集合的角度看,若完成一件事分A,B两类方案,则A∩B=⌀,A∪B=U(U表示全集).
微练习(1)已知某校高二(1)班有54人,高二(2)班有56人,现从这两个班中任选一人去参加演讲比赛,则共有 种不同的选法. (2)某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时间里,火车有4趟,轮船有3班,则此人的走法共有 种.
解析:(1)若这个人来自(1)班,则有54种不同的选法;若来自(2)班,则有56种不同的选法,所以共有110种不同的选法.(2)因为某人从甲地到乙地,乘火车的走法有4种,坐轮船的走法有3种,每一种方法都能从甲地到乙地.根据分类加法计数原理可得此人的走法共有4+3=7(种).答案:(1)110 (2)7
二、分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
名师点析应用分步乘法计数原理的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事必须要完成几步.(2)完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,缺少哪一步,这件事都不可能完成.(3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐步地去做,才能完成这件事,各步骤之间既不能重复也不能遗漏.
微思考如何区分“完成一件事”是分类还是分步?提示:区分“完成一件事”是分类还是分步,关键看一步能否完成这件事,若能完成,则是分类,否则,是分步.
微练习已知某乒乓球队有男队员9人、女队员8人,现从男、女队员中各选1人去参加比赛,则共有 种不同的选法. 解析:先从男队员中选1人,有9种不同的选法,再从女队员中选1人,有8种不同的选法.由分步乘法计数原理,得共有9×8=72(种)不同的选法.答案:72
三、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别1.联系:都是有关做一件事的不同方法种数的问题.2.区别:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法互相依存,只有每一个步骤都完成才算做完这件事.
微练习判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)从书架上任取数学书、语文书各一本是分类问题.( )(2)分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情.( )(3)分类加法计数原理可用来求完成一件事有若干类方法这类问题.( )(4)从甲地经丙地到乙地是分步问题.( )答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
分类加法计数原理例1某校高三共有三个班,各班人数如下表:
(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,有多少种不同的选法?(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,有多少种不同的选法?
思路分析:(1)从每个班任选1名学生担任学生会主席都能独立地完成这件事,因此应采用分类加法计数原理;(2)完成这件事有三类方案,因此也应采用分类加法计数原理.
解:(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,共有三类不同的方案.第1类,从高三(1)班中选出1名学生,有50种不同的选法;第2类,从高三(2)班中选出1名学生,有60种不同的选法;第3类,从高三(3)班中选出1名学生,有55种不同的选法.根据分类加法计数原理知,从三个班中任选1名学生担任学生会主席,共有50+60+55=165(种)不同的选法.
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,共有三类不同的方案.第1类,从高三(1)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;第2类,从高三(2)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;第3类,从高三(3)班女生中选出1名学生,有20种不同的选法.根据分类加法计数原理知,从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,共有30+30+20=80(种)不同的选法.
反思感悟 1.分类加法计数原理的推广分类加法计数原理:完成一件事有n类不同的方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,……,在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同的方法.2.能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点(1)完成一件事有若干种方案,这些方案可以分成n类;(2)用每一类中的每一种方法都可以单独完成这件事;(3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.
3.利用分类加法计数原理解题的一般步骤(1)分类,即将完成这件事情的方法分成若干类;(2)计数,求出每一类中的方法数;(3)结论,将各类的方法数相加得出结果.
变式训练1甲盒中有3个编号不同的红球,乙盒中有5个编号不同的白球,某同学要从甲、乙两盒中摸出1个球,则不同的方法有( )A.3种B.5种C.8种D.15种解析:要完成“摸出1个球”这件事,有两类不同的方法.第1类,从甲盒中取出1个球,有3种不同的取法;第2类,从乙盒中取出1个球,有5种不同的取法.故共有3+5=8(种)不同的方法.答案:C
分步乘法计数原理例2一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码?(各位上的数字允许重复)
解:按从左到右的顺序拨号可以分四步完成:第1步,有10种拨号方式,所以m1=10;第2步,有10种拨号方式,所以m2=10;第3步,有10种拨号方式,所以m3=10;第4步,有10种拨号方式,所以m4=10.根据分步乘法计数原理,共可以组成N=10×10×10×10=10 000(个)四位数的号码.
延伸探究 若各位上的数字不允许重复,那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码?
解:按从左到右的顺序拨号可以分四步完成:第1步,有10种拨号方式,即m1=10;第2步,去掉第1步拨的数字,有9种拨号方式,即m2=9;第3步,去掉前两步拨的数字,有8种拨号方式,即m3=8;第4步,去掉前三步拨的数字,有7种拨号方式,即m4=7.根据分步乘法计数原理,共可以组成N=10×9×8×7=5 040(个)四位数的号码.
反思感悟 利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步,将完成这件事的过程分成若干步;(2)计数,求出每一步中的方法数;(3)结论,将每一步中的方法数相乘得最终结果.
变式训练2张老师要从教学楼的一层走到三层,已知从一层到二层有4个扶梯可走,从二层到三层有2个扶梯可走,则张老师从一层到三层有多少种不同的走法?解:第1步,从一层到二层有4种不同的走法;第2步,从二层到三层有2种不同的走法.根据分步乘法计数原理知,张老师从教学楼的一层到三层的不同走法有4×2=8(种).
两个计数原理的应用例3现有高一四个班的学生34人,其中一、二、三、四班各有7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组.(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法?(2)每班选一名组长,有多少种不同的选法?(3)推选两人做中心发言,这两人需来自不同的班级,有多少种不同的选法?
解:(1)分四类:第1类,从一班学生中选1人,有7种选法;第2类,从二班学生中选1人,有8种选法;第3类,从三班学生中选1人,有9种选法;第4类,从四班学生中选1人,有10种选法.由分类加法计数原理知共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种).(2)分四步:第1、2、3、4步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长.由分步乘法计数原理知共有不同的选法N=7×8×9×10=5 040(种).
(3)分六类,每类又分两步.从一、二班学生中各选1人,有7×8种不同的选法;从一、三班学生中各选1人,有7×9种不同的选法;从一、四班学生中各选1人,有7×10种不同的选法;从二、三班学生中各选1人,有8×9种不同的选法;从二、四班学生中各选1人,有8×10种不同的选法;从三、四班学生中各选1人,有9×10种不同的选法.由分类加法计数原理知共有不同的选法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(种).
反思感悟 1.使用两个原理的原则使用两个原理解题时,一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类,逐类解决,用分类加法计数原理;“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤,然后逐步解决,这时可用分步乘法计数原理.2.应用两个计数原理计数的四个步骤(1)明确完成的这件事是什么.(2)思考如何完成这件事.(3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类.(4)选择计数原理进行计算.
变式训练3如图,从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.从甲地到丙地共有多少种不同的走法?
解:要从甲地到丙地共有两类不同的方案:第1类,从甲地经乙地到丙地,共需两步完成,第1步,从甲地到乙地,有3条公路可走;第2步,从乙地到丙地,有2条公路可走.根据分步乘法计数原理,从甲地经乙地到丙地有3×2=6(种)不同的走法.第2类,从甲地不经乙地到丙地,有2条水路可走,即有2种不同的走法.由分类加法计数原理知,从甲地到丙地共有6+2=8(种)不同的走法.
分类讨论思想的应用典例在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )A.10B.11C.12D.15
解析:分0个相同、1个相同、2个相同讨论.(1)若0个相同,则信息为1001,共1个.(2)若1个相同,则信息为0001,1101,1011,1000,共4个.(3)若2个相同,又分为以下情况:①若位置一与二相同,则信息为0101;②若位置一与三相同,则信息为0011;③若位置一与四相同,则信息为0000;④若位置二与三相同,则信息为1111;⑤若位置二与四相同,则信息为1100;⑥若位置三与四相同,则信息为1010.共有6个.故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1+4+6=11.
方法点睛 利用分类加法计数原理解题时的注意点(1)切实理解“完成一件事”的含义,根据问题的特点确定一个合适的分类标准,分类标准要统一,不能遗漏;(2)分类时,注意完成这件事情的任何一种方法必属于某一类方案,分类的关键在于做到“不重不漏”;(3)确定题目中是否有特殊条件限制.
1.某校高一年级共8个班,高二年级共6个班,从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务,安排方法共有( )A.8种B.6种C.14种D.48种解析:由分类加法计数原理,得完成升旗这一任务分两类,安排方法共有8+6=14(种).答案:C
2.现有4件不同款式的上衣和7条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,那么不同的配法种数为( )A.11B.28C.16 384D.2 401解析:要完成配套,分两步:第1步,选上衣,从4件上衣中任选一件,有4种不同的选法;第2步,选长裤,从7条长裤中任选一条,有7种不同的选法.故共有4×7=28(种)不同的配法.答案:B
3.(2020山东济南高三三模)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,已知甲同学喜欢牛、马和猴,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学所有的吉祥物都喜欢,让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏,若各人所选取的礼物都是自己喜欢的,则不同的选法有( )A.50种B.60种C.80种D.90种
解析:根据题意,按甲的选择不同分成2种情况讨论:若甲选择牛,此时乙的选择有2种,丙的选择有10种,此时有2×10=20(种)不同的选法.若甲选择马或猴,此时甲的选择有2种,乙的选择有3种,丙的选择有10种,此时有2×3×10=60(种)不同的选法.一共有20+60=80(种)不同的选法.故选C.答案:C
4.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有 个. 解析:第1步,确定数b,有6种不同取值;第2步,确定数a,也有6种不同取值.根据分步乘法计数原理,知共有虚数6×6=36(个).答案:36
今年暑假期间,如果你想去北京旅游,可供选择的比较理想的旅游路线中,坐动车有三条,坐飞机有两条,坐汽车有两条,那么你可以选择的旅游的往返路线共有几条呢?
一、分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.
名师点析应用分类加法计数原理的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事可以有哪些办法,怎么才算是完成这件事.(2)完成这件事的n类方案,无论用哪类方案中的哪种方法都可以单独完成这件事,而不需要再用到其他的方法.(3)确立恰当的分类标准,准确地对“这件事”进行分类,要求每一种方法必属于某一类方案,不同类方案的任意两种方法不同,也就是分类必须既“不重复”也“不遗漏”.从集合的角度看,若完成一件事分A,B两类方案,则A∩B=⌀,A∪B=U(U表示全集).
微练习(1)已知某校高二(1)班有54人,高二(2)班有56人,现从这两个班中任选一人去参加演讲比赛,则共有 种不同的选法. (2)某人从甲地到乙地,可以乘火车,也可以坐轮船,在这一天的不同时间里,火车有4趟,轮船有3班,则此人的走法共有 种.
解析:(1)若这个人来自(1)班,则有54种不同的选法;若来自(2)班,则有56种不同的选法,所以共有110种不同的选法.(2)因为某人从甲地到乙地,乘火车的走法有4种,坐轮船的走法有3种,每一种方法都能从甲地到乙地.根据分类加法计数原理可得此人的走法共有4+3=7(种).答案:(1)110 (2)7
二、分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
名师点析应用分步乘法计数原理的注意事项(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,完成这件事必须要完成几步.(2)完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,缺少哪一步,这件事都不可能完成.(3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐步地去做,才能完成这件事,各步骤之间既不能重复也不能遗漏.
微思考如何区分“完成一件事”是分类还是分步?提示:区分“完成一件事”是分类还是分步,关键看一步能否完成这件事,若能完成,则是分类,否则,是分步.
微练习已知某乒乓球队有男队员9人、女队员8人,现从男、女队员中各选1人去参加比赛,则共有 种不同的选法. 解析:先从男队员中选1人,有9种不同的选法,再从女队员中选1人,有8种不同的选法.由分步乘法计数原理,得共有9×8=72(种)不同的选法.答案:72
三、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别1.联系:都是有关做一件事的不同方法种数的问题.2.区别:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法互相依存,只有每一个步骤都完成才算做完这件事.
微练习判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)从书架上任取数学书、语文书各一本是分类问题.( )(2)分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情.( )(3)分类加法计数原理可用来求完成一件事有若干类方法这类问题.( )(4)从甲地经丙地到乙地是分步问题.( )答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
分类加法计数原理例1某校高三共有三个班,各班人数如下表:
(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,有多少种不同的选法?(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,有多少种不同的选法?
思路分析:(1)从每个班任选1名学生担任学生会主席都能独立地完成这件事,因此应采用分类加法计数原理;(2)完成这件事有三类方案,因此也应采用分类加法计数原理.
解:(1)从三个班中任选1名学生担任学生会主席,共有三类不同的方案.第1类,从高三(1)班中选出1名学生,有50种不同的选法;第2类,从高三(2)班中选出1名学生,有60种不同的选法;第3类,从高三(3)班中选出1名学生,有55种不同的选法.根据分类加法计数原理知,从三个班中任选1名学生担任学生会主席,共有50+60+55=165(种)不同的选法.
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,共有三类不同的方案.第1类,从高三(1)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;第2类,从高三(2)班男生中选出1名学生,有30种不同的选法;第3类,从高三(3)班女生中选出1名学生,有20种不同的选法.根据分类加法计数原理知,从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生担任学生会生活部部长,共有30+30+20=80(种)不同的选法.
反思感悟 1.分类加法计数原理的推广分类加法计数原理:完成一件事有n类不同的方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,……,在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同的方法.2.能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点(1)完成一件事有若干种方案,这些方案可以分成n类;(2)用每一类中的每一种方法都可以单独完成这件事;(3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.
3.利用分类加法计数原理解题的一般步骤(1)分类,即将完成这件事情的方法分成若干类;(2)计数,求出每一类中的方法数;(3)结论,将各类的方法数相加得出结果.
变式训练1甲盒中有3个编号不同的红球,乙盒中有5个编号不同的白球,某同学要从甲、乙两盒中摸出1个球,则不同的方法有( )A.3种B.5种C.8种D.15种解析:要完成“摸出1个球”这件事,有两类不同的方法.第1类,从甲盒中取出1个球,有3种不同的取法;第2类,从乙盒中取出1个球,有5种不同的取法.故共有3+5=8(种)不同的方法.答案:C
分步乘法计数原理例2一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码?(各位上的数字允许重复)
解:按从左到右的顺序拨号可以分四步完成:第1步,有10种拨号方式,所以m1=10;第2步,有10种拨号方式,所以m2=10;第3步,有10种拨号方式,所以m3=10;第4步,有10种拨号方式,所以m4=10.根据分步乘法计数原理,共可以组成N=10×10×10×10=10 000(个)四位数的号码.
延伸探究 若各位上的数字不允许重复,那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码?
解:按从左到右的顺序拨号可以分四步完成:第1步,有10种拨号方式,即m1=10;第2步,去掉第1步拨的数字,有9种拨号方式,即m2=9;第3步,去掉前两步拨的数字,有8种拨号方式,即m3=8;第4步,去掉前三步拨的数字,有7种拨号方式,即m4=7.根据分步乘法计数原理,共可以组成N=10×9×8×7=5 040(个)四位数的号码.
反思感悟 利用分步乘法计数原理解题的一般思路(1)分步,将完成这件事的过程分成若干步;(2)计数,求出每一步中的方法数;(3)结论,将每一步中的方法数相乘得最终结果.
变式训练2张老师要从教学楼的一层走到三层,已知从一层到二层有4个扶梯可走,从二层到三层有2个扶梯可走,则张老师从一层到三层有多少种不同的走法?解:第1步,从一层到二层有4种不同的走法;第2步,从二层到三层有2种不同的走法.根据分步乘法计数原理知,张老师从教学楼的一层到三层的不同走法有4×2=8(种).
两个计数原理的应用例3现有高一四个班的学生34人,其中一、二、三、四班各有7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组.(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法?(2)每班选一名组长,有多少种不同的选法?(3)推选两人做中心发言,这两人需来自不同的班级,有多少种不同的选法?
解:(1)分四类:第1类,从一班学生中选1人,有7种选法;第2类,从二班学生中选1人,有8种选法;第3类,从三班学生中选1人,有9种选法;第4类,从四班学生中选1人,有10种选法.由分类加法计数原理知共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种).(2)分四步:第1、2、3、4步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长.由分步乘法计数原理知共有不同的选法N=7×8×9×10=5 040(种).
(3)分六类,每类又分两步.从一、二班学生中各选1人,有7×8种不同的选法;从一、三班学生中各选1人,有7×9种不同的选法;从一、四班学生中各选1人,有7×10种不同的选法;从二、三班学生中各选1人,有8×9种不同的选法;从二、四班学生中各选1人,有8×10种不同的选法;从三、四班学生中各选1人,有9×10种不同的选法.由分类加法计数原理知共有不同的选法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(种).
反思感悟 1.使用两个原理的原则使用两个原理解题时,一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类,逐类解决,用分类加法计数原理;“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤,然后逐步解决,这时可用分步乘法计数原理.2.应用两个计数原理计数的四个步骤(1)明确完成的这件事是什么.(2)思考如何完成这件事.(3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类.(4)选择计数原理进行计算.
变式训练3如图,从甲地到乙地有3条公路可走,从乙地到丙地有2条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.从甲地到丙地共有多少种不同的走法?
解:要从甲地到丙地共有两类不同的方案:第1类,从甲地经乙地到丙地,共需两步完成,第1步,从甲地到乙地,有3条公路可走;第2步,从乙地到丙地,有2条公路可走.根据分步乘法计数原理,从甲地经乙地到丙地有3×2=6(种)不同的走法.第2类,从甲地不经乙地到丙地,有2条水路可走,即有2种不同的走法.由分类加法计数原理知,从甲地到丙地共有6+2=8(种)不同的走法.
分类讨论思想的应用典例在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )A.10B.11C.12D.15
解析:分0个相同、1个相同、2个相同讨论.(1)若0个相同,则信息为1001,共1个.(2)若1个相同,则信息为0001,1101,1011,1000,共4个.(3)若2个相同,又分为以下情况:①若位置一与二相同,则信息为0101;②若位置一与三相同,则信息为0011;③若位置一与四相同,则信息为0000;④若位置二与三相同,则信息为1111;⑤若位置二与四相同,则信息为1100;⑥若位置三与四相同,则信息为1010.共有6个.故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1+4+6=11.
方法点睛 利用分类加法计数原理解题时的注意点(1)切实理解“完成一件事”的含义,根据问题的特点确定一个合适的分类标准,分类标准要统一,不能遗漏;(2)分类时,注意完成这件事情的任何一种方法必属于某一类方案,分类的关键在于做到“不重不漏”;(3)确定题目中是否有特殊条件限制.
1.某校高一年级共8个班,高二年级共6个班,从中选一个班级担任学校星期一早晨升旗任务,安排方法共有( )A.8种B.6种C.14种D.48种解析:由分类加法计数原理,得完成升旗这一任务分两类,安排方法共有8+6=14(种).答案:C
2.现有4件不同款式的上衣和7条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,那么不同的配法种数为( )A.11B.28C.16 384D.2 401解析:要完成配套,分两步:第1步,选上衣,从4件上衣中任选一件,有4种不同的选法;第2步,选长裤,从7条长裤中任选一条,有7种不同的选法.故共有4×7=28(种)不同的配法.答案:B
3.(2020山东济南高三三模)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,已知甲同学喜欢牛、马和猴,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学所有的吉祥物都喜欢,让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏,若各人所选取的礼物都是自己喜欢的,则不同的选法有( )A.50种B.60种C.80种D.90种
解析:根据题意,按甲的选择不同分成2种情况讨论:若甲选择牛,此时乙的选择有2种,丙的选择有10种,此时有2×10=20(种)不同的选法.若甲选择马或猴,此时甲的选择有2种,乙的选择有3种,丙的选择有10种,此时有2×3×10=60(种)不同的选法.一共有20+60=80(种)不同的选法.故选C.答案:C
4.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有 个. 解析:第1步,确定数b,有6种不同取值;第2步,确定数a,也有6种不同取值.根据分步乘法计数原理,知共有虚数6×6=36(个).答案:36
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