2022年山东省济南市章丘区中考数学模拟试卷（一）(含答案)

这是一份2022年山东省济南市章丘区中考数学模拟试卷（一）(含答案)，共37页。

2022年山东省济南市章丘区中考数学模拟试卷（一）
一．选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）|﹣2022|的相反数是（　　）
A．2022 B． C．﹣ D．﹣2022
2．（4分）在下面的四个几何体中，主视图是三角形的是（　　）
A．圆锥 B．正方体
C．三棱柱 D．圆柱
3．（4分）北京2022年冬奥会开幕式完美上演，中国以自己的方式，为世界呈现了一场浪漫十足的冰雪盛宴．据官方数据统计，中国大陆地区观看人数约3.16亿人．3.16亿用科学记数法表示为（　　）
A．0.316×109 B．3.16×109 C．3.16×108 D．31.6×107
4．（4分）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠BAE＝20°，则∠DCE等于（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
5．（4分）若数a，b在数轴上的位置如图所示，则（　　）

A．a+b＞0 B．a﹣b＞0
C．（a﹣b）（a+b）＞0 D．＞0
6．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
7．（4分）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）某校举行“弘扬传统文化”诗词背诵活动，为了解学生一周诗词背诵数量，随机抽取50名学生进行一周诗词背诵数量调查，依据调查结果绘制了折线统计图．下列说法正确的是（　　）

A．一周诗词背诵数量的众数是6
B．一周诗词背诵数量的中位数是6
C．一周诗词背诵数量从5到10首人数逐渐下降
D．一周诗词背诵数量超过8首的人数是24
9．（4分）一次函数y＝kx+b中，若kb＜0，且y随x的增大而减小，则其图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C在上，且的长为π，点D在OA上，连接BD，CD，若点C，O关于直线BD对称，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
11．（4分）如图1，某小区入口处安装“曲臂杆”，OA⊥AB，OA＝1米，点O是臂杆转动的支点，点C是曲臂杆两段的连接点，曲臂杆CD部分始终与AB平行．如图2，曲臂杆初始位置时O、C、D三点共线，当曲臂杆升高到OE时，∠AOE＝121°，点E到AB的距离是1.7米，当曲臂杆升高到OF时，∠AOF＝156°，则点F到AB的距离是（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.5，sin66°≈0.9）（　　）

A．2.0米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.6米
12．（4分）如图，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y＝﹣x交于点B，若抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动，且与线段AB、BO都有公共点，则h的取值范围是（　　）

A．﹣1.5≤h≤0.5 B．﹣2≤h≤0.5 C．﹣1.5≤h≤1.5 D．﹣2≤h≤1.5
二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）分解因式：x3﹣9x＝　 　．
14．（4分）在一个不透明的袋子中装有2个红球和5个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，则摸出白球的概率是　 　．
15．（4分）已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是　 　．
16．（4分）若a﹣2b﹣1＝0，则24+4b﹣2a的值为 　 　．
17．（4分）笔直的海岸线上依次有A，B，C三个港口，甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港口，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港口，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的1.25倍，甲、乙两船与B港口的距离y（km）与甲船行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．给出下列说法：①A，B港口相距400km；②乙船的速度为80km/h；③B，C港口相距200km；④乙船出发4h时，两船相距220km．其中正确的是 　 　（填序号）．

18．（4分）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定等于150°；④无论点M运动到何处，都有S△ACE＝2S△ADH．其中正确结论的序号为　 　．

三．解答题（本大题共9小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：．
20．（6分）解不等式组把它的解集表示在数轴上，并求出这个不等式组的整数解．
21．（6分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：DE＝BF．

22．（8分）济南某社区为倡导健康生活，推进全民健身，去年购进A，B两种健身器材若干件．经了解，B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用6000元购买A种健身器材比用3600元购买B种健身器材多15件．
（1）A，B两种健身器材的单价分别是多少元？
（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B两种健身器材共60件，且B种健身器材的数量不少于A种健身器材的4倍，请你确定一种购买方案使得购进A，B两种健身器材的费用最少．
23．（8分）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上的点（不与A，B重合），连接AC，∠BAC的角平分线交半圆O于点D，过点D作AC的垂线，垂足为E，连接BE交AD于点F．
（1）求证：DE是半圆O的切线；
（2）若AE＝6，半圆O的半径为4，求DF的长．

24．（10分）进入移动支付时代后，购物方式的转变不仅让大家生活更便捷，也改变着人们的消费观念．为了更好的满足顾客的支付需求，一商场随机抽取了若干名顾客的支付情况，进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）求出本次调查参与的人数，并将条形统计图补充完整；
（2）若某假期该商场有1800人进行购物支付，估计有 　 　人会选择“刷脸或现金”这种支付方式；
（3）若甲、乙两人在购物时，选择“刷脸或现金”、“刷卡”、“支付宝”、“微信”（分别用A、B、C、D表示）付款的可能性相同．请通过列表或画树形图的方法，求两人在购物时，用同一种付款方式的概率．
25．（10分）已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为（4，2），反比例函数y＝的图象经过AB的中点D，且与BC交于点E，设直线DE的解析式为y＝mx+n，连接OD，OE．
（1）求反比例函数y＝的表达式和点E的坐标；
（2）点M为y轴正半轴上一点，若△MBO的面积等于△ODE的面积，求点M的坐标；
（3）点P为x轴上一点，点Q为反比例函数y＝图象上一点，是否存在点P、Q使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

26．（12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是直线AB上的一动点（不与点A，B重合）连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，点H是BD的中点，连接EH．
【问题发现】
（1）如图（1），当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是　 　．EH与AD的位置关系是　 　．
【猜想论证】
（2）如图（2），当点D在边AB上且不是AB的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】
（3）若AC＝BC＝2，其他条件不变，连接AE、BE．当△BCE是等边三角形时，请直接写出△ADE的面积．

27．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，并且与x轴交于另一点C（点C在点A的右侧），点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD∥y轴交AB于点D，点E为线段DB上一点，且DE＝，过点E作EF∥PD交抛物线于点F，当点P运动到什么位置时，四边形PDEF的面积最大？并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，点F为AO的中点，连接BF，点G为y轴负半轴上一点，且GO＝2，沿x轴向右平移直线AG，记平移过程的直线为A'G'，直线A'G'交x轴于点M，交直线AB于点N．是否存在点M，使得△FMN为等腰三角形，若存在，直接写出平移后点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2022年山东省济南市章丘区中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）|﹣2022|的相反数是（　　）
A．2022 B． C．﹣ D．﹣2022
【分析】直接利用绝对值的性质以及相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：|﹣2022|＝2022，
故|﹣2022|的相反数是：﹣2022．
故选：D．
【点评】此题主要考查了绝对值以及相反数，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（4分）在下面的四个几何体中，主视图是三角形的是（　　）
A．圆锥 B．正方体
C．三棱柱 D．圆柱
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：A．该圆锥主视图是等腰三角形，故A符合题意；
B．该正方体主视图是正方形，故B不符合题意；
C．该三棱柱的主视图是矩形，故C不符合题意；
D．该圆柱主视图是矩形，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3．（4分）北京2022年冬奥会开幕式完美上演，中国以自己的方式，为世界呈现了一场浪漫十足的冰雪盛宴．据官方数据统计，中国大陆地区观看人数约3.16亿人．3.16亿用科学记数法表示为（　　）
A．0.316×109 B．3.16×109 C．3.16×108 D．31.6×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：3.16亿＝316000000＝3.16×108．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠BAE＝20°，则∠DCE等于（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】过点E作EJ∥CD．利用等边三角形的性质以及平行线的性质求解即可．
【解答】解：过点E作EJ∥CD．

∵△ACE是等边三角形，
∴∠AEC＝60°，
∵AB∥CD，EJ∥CD，
∴AB∥EJ，
∴∠AEJ＝∠BAE＝20°，
∴∠CEJ＝60°﹣20°＝40°，
∴∠DCE＝∠CEJ＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查等边三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
5．（4分）若数a，b在数轴上的位置如图所示，则（　　）

A．a+b＞0 B．a﹣b＞0
C．（a﹣b）（a+b）＞0 D．＞0
【分析】根据数轴可判断a与b的大小关系从而可求出答案．
【解答】解：由数轴可知：a＜﹣1＜﹣b＜0＜b＜1＜﹣a，
A、a+b＜0，故A不符合题意．
B、a﹣b＜0，故B不符合题意．
C、（a﹣b）（a+b）＞0，故C符合题意．
D、＜0，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查数轴，解题的关键是正确根据数轴得出a＜﹣1＜﹣b＜0＜b＜1＜﹣a，本题属于基础题型．
6．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
7．（4分）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【分析】本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应将m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）分解，然后再通分，最后要注意将结果化为最简分式．
【解答】解：
＝﹣
＝﹣
＝
＝﹣．
故选：A．
【点评】本题比较容易，考查分式的运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
8．（4分）某校举行“弘扬传统文化”诗词背诵活动，为了解学生一周诗词背诵数量，随机抽取50名学生进行一周诗词背诵数量调查，依据调查结果绘制了折线统计图．下列说法正确的是（　　）

A．一周诗词背诵数量的众数是6
B．一周诗词背诵数量的中位数是6
C．一周诗词背诵数量从5到10首人数逐渐下降
D．一周诗词背诵数量超过8首的人数是24
【分析】从折线图统计中获取信息，通过折线统计图和中位数、众数的定义等知识求解．
【解答】解：因为5出现了13次，出现的次数最多，所以一周诗词背诵数量的众数是5，故选项A错误，不符合题意；
一周诗词背诵数量最中间的两个数字都为6，所以该组数据的中位数为6，故选项B正确，符合题意；
从折线图可以看出，一周诗词背诵数量从5到7首人数逐渐下降，从7到9首人数逐渐上升，从9到10首人数逐渐下降，故选项C错误，不符合题意；
一周诗词背诵数量超过8首的人数是6+2＝8，故选项D错误，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查折线统计图、众数及中位数的定义等知识点，掌握众数、中位数的定义，并能从统计图中得到必要的信息是解决本题的关键．
9．（4分）一次函数y＝kx+b中，若kb＜0，且y随x的增大而减小，则其图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的增减性可得k＜0，进一步可得b＞0，即可确定一次函数的图象．
【解答】解：一次函数y＝kx+b中，y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵kb＜0，
∴b＞0，
∴一次函数经过第一、二、四象限，
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质与系数的关系是解题的关键．
10．（4分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C在上，且的长为π，点D在OA上，连接BD，CD，若点C，O关于直线BD对称，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接BC，OC，OC交BD于W，根据对称求出BC＝OB，求出△COB是等边三角形，求出∠COB＝60°，根据弧长公式求出OB＝3，求出∠AOC＝30°，求出DW，再求出答案即可．
【解答】解：连接BC，OC，OC交BD于W，

∵点C，O关于直线BD对称，
∴∠DWO＝90°，OW＝CW，BC＝OB，
∵OC＝OB，
∴OC＝BC＝OB，
即△OCB是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∵的长为π，
∴＝π，
解得：OB＝3，
即OC＝OB＝3，
∴OW＝CW＝1.5，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝30°，
∴OD＝2DW，
由勾股定理得：OD2＝DW2+OW2，
即（2DW）2＝DW2+1.52，
解得：DW＝（负数舍去），
∴阴影部分的面积S＝S扇形AOC﹣S△DOC＝﹣＝，
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称的性质，扇形面积的计算，弧长公式的计算，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．
11．（4分）如图1，某小区入口处安装“曲臂杆”，OA⊥AB，OA＝1米，点O是臂杆转动的支点，点C是曲臂杆两段的连接点，曲臂杆CD部分始终与AB平行．如图2，曲臂杆初始位置时O、C、D三点共线，当曲臂杆升高到OE时，∠AOE＝121°，点E到AB的距离是1.7米，当曲臂杆升高到OF时，∠AOF＝156°，则点F到AB的距离是（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.5，sin66°≈0.9）（　　）

A．2.0米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.6米
【分析】过点E,F分别作EG⊥OD,FH⊥OD,于点G,H,根据已知条件可得∠EOG＝121°﹣90°＝31°,∠FOH＝156°﹣90°＝66°,然后利用锐角三角函数列式计算可得OE的长，根据OE＝OF，计算可得FH的长，进而可得点F到AB的距离．
【解答】解：如图，过点E,F分别作EG⊥OD,FH⊥OD,于点G,H,

∵OA⊥AB,OD∥AB,
∴OA⊥OD,
∴∠AOD＝90°,
∵∠AOE＝121°，∠AOF＝156°，
∴∠EOG＝121°﹣90°＝31°,∠FOH＝156°﹣90°＝66°,
∵点E到AB的距离是1.7米，OA＝1米,
∴EG＝1.7﹣1＝0.7(米），
在Rt△OEG中，
∵EG＝OE×sin∠EOG,
∴OE＝≈＝1.4(米），
∵OE＝OF,
在Rt△OFH中，
∵FH＝OF×sin∠FOH＝1.4×sin66°≈1.4×0.9＝1.26(米），
∴FH+OA＝1.26+1＝2.26≈2.3(米）．
∴点F到AB的距离是2.3米．
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的方法．
12．（4分）如图，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y＝﹣x交于点B，若抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动，且与线段AB、BO都有公共点，则h的取值范围是（　　）

A．﹣1.5≤h≤0.5 B．﹣2≤h≤0.5 C．﹣1.5≤h≤1.5 D．﹣2≤h≤1.5
【分析】把x＝0代入y＝x+2求得对应的y的值，从而可得到点A的坐标，然后将y＝x+2与y＝﹣x联立求得方程组的解，从而可得到点B的坐标，接下来，依据抛物线的顶点在直线y＝﹣x上可得到h与k的关系，则抛物线的解析式可变形为y＝（x﹣h）2﹣h，最后，求得当抛物线恰好与线段AB、BO都有公共点时h的值，从而可得到h的取值范围．
【解答】解：把x＝0代入y＝x+2得：y＝2，
∴A（0，2）．
将y＝x+2与y＝﹣x联立，解得：x＝﹣2，y＝1，
∴B（﹣2，1）．
∵抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上，
∴抛物线的顶点坐标为（h，k）且k＝﹣h．
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2﹣h．
当抛物线经过点O时，抛物线恰好与BO、AB均有交点，
将点C（0，0）代入y＝（x﹣h）2﹣h得：h2﹣h＝0，解得h＝0（舍去）或h＝．
当抛物线经过点B时，抛物线恰好与BO、AB均有交点，
此时点B恰好为抛物线的顶点，
∴h＝﹣2．
∴当﹣2≤h≤时，抛物线与线段AB、BO都有公共点．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，解答本题主要应用了函数与方程的关系，求得抛物线与线段AB、BO恰好都有公共点时h的值是解题的关键．
二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）分解因式：x3﹣9x＝　x（x+3）（x﹣3）　．
【分析】根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．
【解答】解：原式＝x（x2﹣9）
＝x（x+3）（x﹣3），
故答案为：x（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解，利用了提公因式法与平方差公式，注意分解要彻底．
14．（4分）在一个不透明的袋子中装有2个红球和5个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，则摸出白球的概率是　　．
【分析】根据概率的计算公式即可．
【解答】解：由概率的计算公式可得：
P(摸到白球)＝，
故答案为．
【点评】本题主要考查概率的计算公式，记住概率的计算公式是解此类题型的关键．
15．（4分）已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是　9　．
【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案．
【解答】解：设多边形为n边形，由题意，得
（n﹣2）•180°＝140°n，
解得n＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了多边形，利用多边形的内角和是解题关键．
16．（4分）若a﹣2b﹣1＝0，则24+4b﹣2a的值为 　22　．
【分析】利用等式的性质对等式变形，整体代入代数式求值即可．
【解答】解：∵a﹣2b﹣1＝0，
∴a﹣2b＝1，
∴2b﹣a＝﹣1，
∴4b﹣2a＝﹣2，
∴24+4b﹣2a
＝24﹣2
＝22，
故答案为：22．
【点评】本题考查了代数式的求值，做题关键是掌握等式的性质，整体代入．
17．（4分）笔直的海岸线上依次有A，B，C三个港口，甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港口，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港口，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的1.25倍，甲、乙两船与B港口的距离y（km）与甲船行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．给出下列说法：①A，B港口相距400km；②乙船的速度为80km/h；③B，C港口相距200km；④乙船出发4h时，两船相距220km．其中正确的是 　①②③　（填序号）．

【分析】根据如图的图象可知A、B港口相距400km，从而可以判断①；
根据图象可知甲船4个小时行驶了400km，可以求得甲船的速度，再根据甲船的速度是乙船的1.25倍，从而可以判断②；
根据甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的1.25倍，可以计算出B、C港口间的距离，从而可以判断③；
根据题意和图象可以计算出乙出发4h时两船相距的距离，从而可以判断④．
【解答】解：由题意和图象可知，
A、B港口相距400km，故①正确；
∵甲船4个小时行驶了400km，
∴甲船的速度为：400÷4＝100（km/h），
∵甲船的速度是乙船的1.25倍，
∴乙船的速度为：100÷1.25＝80（km/h），
故②正确；
∵乙船的速度为80km/h，
∴400÷80＝（400+sBC）÷100﹣1，
解得：sBC＝200km，
故③正确；
乙出发4h时两船相距的距离是：4×80+（4+1﹣4）×100＝420（km），
故④错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
18．（4分）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定等于150°；④无论点M运动到何处，都有S△ACE＝2S△ADH．其中正确结论的序号为　①②④　．

【分析】①由正方形的性质、平移的特征证明△ADH≌△EMH，再以MD为直径作圆，则该圆经过点A、H，可证明∠BEC＝∠AMD＝∠DHC＝60°，由∠B＝90°，得2BE＝CE＝DM，故①正确；
②由①得△DMH是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得到DM＝HM，故②正确；
③由①得∠CHM的大小随∠DHC的变化而变化，举一个反例说明∠CHM的大小不是定值150°，故③错误；
④过点H作HP⊥AB，HQ⊥AD，设正方形的边长为x，HP的长为a，用含x、a的式子分别表示△ACE和△ADH的面积，即可得出S△ACE＝2S△ADH，故④正确．
【解答】解：①如图，在正方形ABCD中，AB＝CB＝AD＝CD，∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠DAH＝∠BAC＝45°，
∵EH⊥AC，
∴∠AHE＝90°，
∴∠MEH＝∠EAH＝45°＝∠DAH，
∴AH＝EH；
由平移得AM＝BE，
∴EM＝AB＝AD，
∴△ADH≌△EMH（SAS），
∴∠DHA＝∠MHE，
∴∠DHM＝∠DHA﹣∠AHM＝∠MHE﹣∠AHM＝∠AHE＝90°；
以DM的中点O为圆心，以DM为直径作⊙O，连结OA、OH，则OA＝OH＝DM＝OD，
∴点A、H在⊙O上．
当∠DHC＝60°时，则∠BEC＝∠AMD＝180°﹣∠DHA＝∠DHC＝60°，
∴∠BCE＝30°，
∴2BE＝CE＝DM．
故①正确；
②由①得HD＝HM，∠DHM＝90°，
∴DM2＝HD2+HM2＝2HM2，
∴DM＝HM．
故②正确；
③∵∠CHM＝∠DHC+∠DHM＝∠DHC+90°，
∴∠CHM的大小随∠DHC即∠AMD的变化而变化，如当∠AMD＝75°时，则∠CHM＝165°≠150°．
故③错误；
④作HP⊥AB于点P，HQ⊥AD于点Q，则HP＝HQ＝AE＝AP＝EP．
设正方形ABCD的边长为x，HP＝HQ＝a，则AE＝2a．
∵S△ACE＝×2ax＝ax，S△ADH＝ax，
∴S△ACE＝2S△ADH．
故④正确．
故答案为：①②④．

【点评】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的性质和判定、平移的特征、圆周角定理、勾股定理等知识和方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三．解答题（本大题共9小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）计算：．
【分析】先计算零指数幂、负整数指数幂，再化简二次根式、绝对值，最后算加减．
【解答】解：原式＝2+3﹣﹣1+4
＝+6．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握负整数指数幂、零指数幂的意义及绝对值的化简是解决本题的关键．
20．（6分）解不等式组把它的解集表示在数轴上，并求出这个不等式组的整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣4＜3（x﹣2），得x＞1，
解不等式+1＞x，得x＜4，
表示在数轴上如下：

则不等式组的解集为1＜x＜4，
∴这个不等式组的整数解是 2，3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（6分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．求证：DE＝BF．

【分析】证出∠ADE＝∠CBF，AD＝CB，由AAS证△ADE≌△CBF,再根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在△ADE和△CBF中，
,
∴△ADE≌△CBF（AAS）,
∴DE＝BF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
22．（8分）济南某社区为倡导健康生活，推进全民健身，去年购进A，B两种健身器材若干件．经了解，B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用6000元购买A种健身器材比用3600元购买B种健身器材多15件．
（1）A，B两种健身器材的单价分别是多少元？
（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B两种健身器材共60件，且B种健身器材的数量不少于A种健身器材的4倍，请你确定一种购买方案使得购进A，B两种健身器材的费用最少．
【分析】（1）设A种健身器材的单价为x元/件，B种健身器材的单价为1.5x元/件，根据“用6000元购买A种健身器材比用3600元购买B种健身器材多15件”，列出分式方程，解之即可得出结论；
（2）设购买A种健身器材m件，则购买B种的健身器材（60﹣m）件，B种健身器材的数量不少于A种健身器材的4倍列出不等式和购买两种器材的费用列出函数关系式然后进行讨论即可．
【解答】解：（1）设A种健身器材的单价为x元，B种健身器材的单价为1.5x元，
根据题意得：﹣＝15，
解得：x＝240，
经检验x＝240是原方程的解，且符合题意，
则1.5×240＝360（元），
答：A，B两种健身器材的单价分别是240元，360元；
（2）设购买A种型号健身器材m件，则购买B种型号的健身器材（60﹣m）件，总费用为y元，
根据题意得：，
解得：0≤m≤12，
y＝240m+360（60﹣m）＝﹣120m+21600，
∵﹣120＜0，
∴y随m的增大而减小，
∴当m取最大值12时，即购买A种器材12件，购买B种健身器材60﹣12＝48件时y最小．
答：购买A种健身器材12件B种健身器材48件时费用最小．
【点评】本题考查了一次函数的应用和分式方程的应用，关键是找准数量关系列出方程和函数关系式以及m的取值范围．
23．（8分）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上的点（不与A，B重合），连接AC，∠BAC的角平分线交半圆O于点D，过点D作AC的垂线，垂足为E，连接BE交AD于点F．
（1）求证：DE是半圆O的切线；
（2）若AE＝6，半圆O的半径为4，求DF的长．

【分析】（1）连接OD，根据已知条件证明OD∥AE，进而可以解决问题；
（2）连接BD，根据OD∥AE，可得△BOG∽△BAE，可得OG＝3，证明△DFG∽△AFE，可得AF＝6DF，所以DF＝AD，再证明△AED∽△ADB，可得AD2＝AE•AB＝6×8＝48，求出AD，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠EAD＝∠BAD，
∴∠EAD＝∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AE，
∴OD⊥DE，
∵OD是圆O的半径，
∴DE是半圆O的切线；

（2）解：如图，连接BD，
∵OD∥AE，
∴△BOG∽△BAE，
∴＝＝，
∵AE＝6，
∴OG＝3，
∵半圆O的半径为4，
∴DG＝AD﹣OG＝4﹣3＝1，
∵GD∥AE，
∴△DFG∽△AFE，
∴＝＝，
∴AF＝6DF，
∴AD＝7DF，
∴DF＝AD，
∵∠EAD＝∠BAD，∠AED＝∠ADB＝90°，
∴△AED∽△ADB，
∴＝，
∴AD2＝AE•AB＝6×8＝48，
∴AD＝4，
∴DF＝AD＝．
答：DF的长为．
【点评】此题主要考查了圆的切线的性质与判定，也利用相似三角形的性质与判定解决问题，解题时首先利用已知条件证明切线，然后利用相似三角形的性质解决问题．
24．（10分）进入移动支付时代后，购物方式的转变不仅让大家生活更便捷，也改变着人们的消费观念．为了更好的满足顾客的支付需求，一商场随机抽取了若干名顾客的支付情况，进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）求出本次调查参与的人数，并将条形统计图补充完整；
（2）若某假期该商场有1800人进行购物支付，估计有 　300　人会选择“刷脸或现金”这种支付方式；
（3）若甲、乙两人在购物时，选择“刷脸或现金”、“刷卡”、“支付宝”、“微信”（分别用A、B、C、D表示）付款的可能性相同．请通过列表或画树形图的方法，求两人在购物时，用同一种付款方式的概率．
【分析】（1）由选择“支付宝”支付的人数除以所占百分比求出本次调查参与的人数，即可解决问题；
（2）由某假期该商场进行购物支付的总人数乘以选择“刷脸或现金”这种支付方式的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有16种等可能的情况，其中甲、乙两人在购物时，用同一种付款方式的情况有4种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次调查参与的人数为：60÷25%＝240（人），
则用“银行卡”支付的人数为：240﹣60﹣40﹣60＝80（人），
将条形统计图补充完整如下：

（2）1800×＝300（人），
即若某假期该商场有1800人进行购物支付，估计有300人会选择“刷脸或现金”这种支付方式，
故答案为：300；
（3）画树状图如下：

共有16种等可能的情况，其中甲、乙两人在购物时，用同一种付款方式的情况有4种，
∴甲、乙两人在购物时，用同一种付款方式的概率为＝．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
25．（10分）已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为（4，2），反比例函数y＝的图象经过AB的中点D，且与BC交于点E，设直线DE的解析式为y＝mx+n，连接OD，OE．
（1）求反比例函数y＝的表达式和点E的坐标；
（2）点M为y轴正半轴上一点，若△MBO的面积等于△ODE的面积，求点M的坐标；
（3）点P为x轴上一点，点Q为反比例函数y＝图象上一点，是否存在点P、Q使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据矩形的性质求出点D的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的表达式，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点E的坐标；
（2）根据三角形的面积公式计算即可；
（3）分DE为平行四边形的边、DE为平行四边形的对角线两种情况，根据平行四边形的性质计算即可．
【解答】解：（1）∵四边形OCBA为矩形，点B的坐标为（4，2），点D为AB的中点，
∴点D的坐标为（2，2），
∵反比例函数y＝的图象经过点D，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的表达式为：y＝，
由题意得，点E的横坐标为4，
则点E的纵坐标为：＝1，
∴点E的坐标为（4，1）；
（2）设点M的坐标为（0，n），
∵点D的坐标为（2，2），点E的坐标为（4，1），
∴S△ODE＝2×4﹣×2×2﹣×4×1﹣×2×1＝3，
由题意得：×4×n＝3，
解得：n＝，
∴△MBO的面积等于△ODE的面积时，点M的坐标（0，）；
（3）当DE为平行四边形的边时，DE＝PQ，DE∥PQ，
∵点D的坐标为（2，2），点E的坐标为（4，1），点P的纵坐标为0，
∴点Q的纵坐标为±1，
当y＝1时，x＝4（不合题意，舍去）
当y＝﹣1时，x＝﹣4，
则点Q的坐标为（﹣4，﹣1），
当DE为平行四边形对角线时，
∵点D的坐标为（2，2），点E的坐标为（4，1），
∴DE的中点坐标为（3，），
设点Q的坐标为（a，），点P的坐标为（x，0），
则＝，
解得：a＝，
∴点Q的坐标为（，3），
综上所述：以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形时，点Q的坐标为（﹣4，﹣1）或（，3）．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质、平行四边形的性质以及三角形的面积计算，掌握待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
26．（12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是直线AB上的一动点（不与点A，B重合）连接CD，在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，点H是BD的中点，连接EH．
【问题发现】
（1）如图（1），当点D是AB的中点时，线段EH与AD的数量关系是　EH＝AD，　．EH与AD的位置关系是　EH⊥AB　．
【猜想论证】
（2）如图（2），当点D在边AB上且不是AB的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展应用】
（3）若AC＝BC＝2，其他条件不变，连接AE、BE．当△BCE是等边三角形时，请直接写出△ADE的面积．

【分析】（1）利用等腰直角三角形的判定和性质解决问题即可．
（2）结论仍然成立：如图2中，延长DE到F，使得EF＝DE，连接CF，BF．证明△ACD≌△BCF（SAS），再利用三角形的中位线定理即可解决问题．
（3）分两种情形：如图3﹣1中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．如图3﹣2中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．分别求出AD，EH即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝BD，
∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，
∴∠A＝∠B＝45°，∠DCB＝∠ACD＝45°，
∵∠DCE＝45°，
∴点E在线段CB上，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB＝∠B＝45°，
∵DH＝HB，
∴EH⊥DB，EH＝DB＝AD，
故答案为EH＝AD，EH⊥AD．

（2）结论仍然成立：
理由：如图2中，延长DE到F，使得EF＝DE，连接CF，BF．

∵DE＝EF．CE⊥DF，
∴CD＝CF，
∴∠CDF＝∠CFD＝45°，
∴∠ECF＝∠ECD＝45°，
∴∠ACB＝∠DCF＝90°，
∴∠ACD＝∠BCF，
∵CA＝CB，
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴AD＝BF，∠A＝∠CBF＝45°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝90°，
∴BF⊥AB，
∵DE＝EF，DH＝HB，
∴EH＝BF，EH∥BF，
∴EH⊥AD，EH＝AD．

（3）如图3﹣1中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．

∵∠ACB＝90°，∠ECB＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AC＝CB＝CE＝EB＝DE＝2，
∴∠CAE＝∠CEA＝75°，
∵∠CAB＝45°，
∴∠EAH＝30°，
∵∠DEC＝90°，∠CEB＝60°，
∴∠DEB＝150°，
∴∠EDB＝∠EBD＝15°，
∵∠EAH＝∠ADE+∠AED，
∴∠ADE＝∠AED＝15°，
∴AD＝AE，设EH＝x，则AD＝AE＝2x，AH＝x，
∵EH2+DH2＝DE2，
∴x2+（2x+x）2＝8，
∴x＝﹣1，
∴AD＝2﹣2，
∴S△ADE＝•AD•EH＝×（2﹣2）•（﹣1）＝4﹣2．
如图3﹣2中，当△BCE是等边三角形时，过点E作EH⊥BD于H．

同法可求：EH＝+1，AD＝2+2，
∴S△ADE＝•AD•EH＝×（2）（+1）＝4+2，
综上所述，满足条件的△ADE的面积为4﹣2或4+2．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
27．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，并且与x轴交于另一点C（点C在点A的右侧），点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD∥y轴交AB于点D，点E为线段DB上一点，且DE＝，过点E作EF∥PD交抛物线于点F，当点P运动到什么位置时，四边形PDEF的面积最大？并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，点F为AO的中点，连接BF，点G为y轴负半轴上一点，且GO＝2，沿x轴向右平移直线AG，记平移过程的直线为A'G'，直线A'G'交x轴于点M，交直线AB于点N．是否存在点M，使得△FMN为等腰三角形，若存在，直接写出平移后点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出A、B的坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设P（t，﹣t2﹣3t+4），则D（t，t+4），过点E作EG⊥PD交于G，由DE＝，求出E（t﹣2，t+6），F（t﹣2，﹣t2+t+6），再由S四边形PDEF＝×2×（PD+EF）＝﹣2（t+1）2+2，当t＝﹣1时，四边形PDEF的面积最大，最大值为2，此时P（﹣1，6）；
（3）设直线AB向右平移m个单位长度，求出平移后的直线解析式为y＝﹣x+m﹣2，再分别求出M（﹣4+m，0），N（m﹣4，m），分三种情况讨论：①当FM＝FN时，可求得M（﹣，0）；②当FM＝MN时，可求得M（，0）或（，0）；③当FN＝MN时，可求得M（﹣2，0）．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
令y＝0，则x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
将A（﹣4，0），B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）设P（t，﹣t2﹣3t+4），
∵点P在第二象限内，
∴﹣4＜t＜0，
∵PD∥y轴，
∴D（t，t+4），
∴PD＝﹣t2﹣4t，
∵OA＝OB＝3，
∴∠BAC＝45°，
∴∠PDE＝45°，
过点E作EG⊥PD交于G，
∵DE＝，
∴GE＝GD＝2，
∴E（t﹣2，t+6），
∵EF∥PD，
∴F（t﹣2，﹣t2+t+6），
∴EF＝﹣t2，
∴S四边形PDEF＝×2×（﹣t2﹣4t﹣t2）＝﹣2t2﹣4t＝﹣2（t+1）2+2，
∴当t＝﹣1时，四边形PDEF的面积最大，最大值为2，
此时P（﹣1，6）；
（3）存在点M，使得△FMN为等腰三角形，理由如下：
∵A（﹣4，0），点F为AO的中点，
∴F（﹣2，0），
∵GO＝2，点G在y轴负半轴上，
∴G（0，﹣2），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣2，
设直线AB向右平移m个单位长度，
∴平移后的直线解析式为y＝﹣x+m﹣2，
∴M（﹣4+m，0），
联立方程组，
解得，
∴N（m﹣4，m），
∴FM2＝（2﹣m）2，FN2＝（m﹣2）2+（m）2，MN＝（m）2+（m）2，
①当FM＝FN时，（2﹣m）2＝（m﹣2）2+（m）2，
解得m＝0（舍）或m＝，
∴M（﹣，0）；
②当FM＝MN时，（2﹣m）2＝（m）2+（m）2，
解得m＝或m＝，
∴M（，0）或（，0）；
③当FN＝MN时，（m﹣2）2+（m）2＝（m）2+（m）2，
解得m＝2或m＝﹣6（舍），
∴M（﹣2，0）；
综上所述：M点坐标为（﹣，0）或（，0）或（，0）或（﹣2，0）．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，函数图象平移的性质，分类讨论是解题的关键．
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