高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.8 直线与圆锥曲线的位置关系一课一练

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第二章 平面解析几何
2.8直线与圆锥曲线的位置关系
知识梳理
1.直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立
消去y得到一个关于x的一元二次方程.
Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；
Δ=0⇒直线与双曲线有一个公共点；
Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点.
2.直线与双曲线的位置关系
设直线l：y=kx+m（m≠0），① 双曲线C：-=1（a>0，b>0），②
把①代入②得（b2-a2k2）x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
（1）当b2-a2k2=0，即k=±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线，相交于一点.
（2）当b2-a2k2≠0，即k≠±时，Δ=（-2a2mk）2-4（b2-a2k2）（-a2m2-a2b2）.
Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；
Δ=0⇒直线与双曲线有一个公共点；
Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点.
3.直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．
当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．
4.弦长公式
若斜率为k（k≠0）的直线与圆锥曲线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则|AB|=.
常见考点
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系
典例1．直线与椭圆的位置关系是（       ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定

变式1-1．已知直线过点，椭圆：，则直线与椭圆的交点个数为（       ）
A．1 B．1或2 C．2 D．0

变式1-2．过点与双曲线只有一个公共点的直线有（       ）条．
A．1 B．2 C．3 D．4

变式1-3．过点与抛物线只有一个公共点的直线有（       ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

考点二 根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数或范围
典例2．直线与椭圆有且只有一个交点，则的值是(       )
A． B． C． D．

变式2-1．若直线y＝x＋2与椭圆有两个公共点，则m的取值范围是（       ）
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(－3，0) D．(1，3)

变式2-2．若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
变式2-3．直线与双曲线有公共点，则的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．

考点三 圆锥曲线的弦长问题
典例3．直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（       ）
A． B． C． D．

变式3-1．倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，则弦长（       ）
A． B． C． D．

变式3-2．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（       ）
A． B． C． D．

变式3-3．已知抛物线的焦点在直线上，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为的直线交抛物线C于A､B两点，则（       ）
A．12 B．14 C．16 D．18

考点四 圆锥曲线的中点弦问题
典例4．椭圆中以点为中点的弦所在直线方程为（       ）
A． B．
C． D．
变式4-1．椭圆内有一点，过点的弦恰好以为中点，那么这条弦所在的直线方程为（       ）
A． B． C． D．

变式4-2．已知直线l与双曲线交于A，B两点，且AB的中点坐标为（1，2），则直线l的斜率为（       ）
A． B． C．1 D．2

变式4-3．已知抛物线：，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段的中点恰好为点，则直线的斜率为（       ）
A． B．2 C．3 D．

考点五 圆锥曲线的向量点乘与向量共线比例问题
典例5．过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，设O为坐标原点，则等于（       ）
A． B． C． D．

变式5-1．已知是双曲线：上的一点，，是的两个焦点，若，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

变式5-2．已知椭圆的左右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2且斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，若满足，则椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．
变式5-3．双曲线：（，）的左焦点为，虚轴的上端点为，直线交双曲线的右支于点，且，则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．

考点六 圆锥曲线的定点问题
典例6．已知椭圆：的右顶点为A，上顶点为，直线的斜率为，原点到直线的距离为.
(1)求的方程；
(2)直线交于，两点，，证明：恒过定点.



变式6-1．已知焦点在x轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点，动点A，B（不与点M重合）均在椭圆上，且直线与的斜率之和为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明直线经过定点，并求这个定点的坐标．



变式6-2．已知F1（，0），F2（，0）为双曲线C的两个焦点，点在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知点A，B是双曲线C上异于P的两点，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，若，证明：直线AB过定点．




变式6-3．已知抛物线上的点与焦点的距离为，且点的纵坐标为.
(1)求抛物线的方程和点的坐标；
(2)若直线与抛物线相交于两点，且，证明直线过定点.





考点七 圆锥曲线的定值问题
典例7．已知椭圆的右焦点为F，离心率，点F到左顶点的距离为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知四边形为椭圆的内接四边形，若边过坐标原点，对角线交点为右焦点F，设的斜率分别为，试分析是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.





变式7-1．已知点，圆：，点是圆上的动点，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)设经过点的直线与交于，两点，求证：为定值，并求出该定值．





变式7-2．已知双曲线：的右焦点为，左顶点为A，且，到C的渐近线的距离为1，过点的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)若直线MB，NB的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.




变式7-3．已知抛物线，点在抛物线上.
(1)求抛物线的准线方程；
(2)过点的直线与抛物线交于两点，直线交轴于点，直线交轴于，记直线的斜率分别为，求证：为定值.




考点八 圆锥曲线的最值问题
典例8．已知椭圆与抛物线有相同的焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值.




变式8-1．已知椭圆，O是坐标原点，，分别为椭圆的左、右焦点，点，在椭圆C上，过作的外角的平分线的垂线，垂足为A，且．
(1)求椭圆C的方程
(2)设直线与椭圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点求面积的最大值．




变式8-2．已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，过作不平行于坐标轴的直线交于A，B两点，且的周长为.
(1)求的方程；
(2)若轴于点M，轴于点N，直线AN与BM交于点C.
①求证：点C在一条定直线上，并求此定直线；
②求面积的最大值.



变式8-3．已知椭圆的焦点恰为椭圆长轴的端点，且的短轴长为2
(1)求椭圆的方程．
(2)若直线与直线平行，且与交于，两点，，求的最小值．




考点九 圆锥曲线的范围问题
典例9．已知椭圆的离心率为，右焦点是，左、右顶点分别是和．直线与椭圆交于，两点，点在轴上方，且当时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线、的斜率分别是和，求的取值范围．



变式9-1．已知分别是长轴长为4的椭圆C：的左右焦点，是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于的一个动点，O为坐标原点，点M为线段的中点，且直线与OM的斜率的积恒为．
(1)求椭圆C的方程
(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N的横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．



变式9-2．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，坐标原点为O，离心率，过且垂直于轴的直线与交于两点，；过且斜率为的直线与C交于，点．
(1)求的标准方程；
(2)令，的中点为，若存在点（），使得，求的取值范围．


变式9-3．已知椭圆的左､右焦点分别为，，离心率为，P为椭圆C上一点，且△面积的最大值为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，A，B，D，E都在椭圆C上，求的取值范围.



巩固练习
练习一 直线与圆锥曲线的位置关系
1．已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（       ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交

2．直线与椭圆的位置关系是（       ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种关系都可能

3．直线与双曲线公共点的个数为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．4

4．已知直线l过点，且与抛物线有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为（       ）条
A．0 B．1 C．2 D．3

练习二 根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数或范围
5．若直线与椭圆相切，则斜率的值是（       ）
A． B． C．± D．±
6．直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则实数m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．

7．已知双曲线和直线至多只有一个公共点，则实数的取值范围是（       ）
A． B．-∞,-2∪2,+∞
C． D．{-1，1}

8．直线与双曲线没有交点，则k的取值范围为（       ）
A． B． C． D．

练习三 圆锥曲线的弦长问题
9．过椭圆的左焦点作倾斜角为的弦，则弦的长为（       ）
A． B． C． D．

10．斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（       ）
A．2 B． C． D．

11．直线与双曲线有两个交点为，，则（       ）
A．2 B． C．4 D．

12．直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（       ）
A．6 B．8 C．2 D．4


练习四 圆锥曲线的中点弦问题
13．椭圆中，以点为中点的弦所在直线的斜率为（       ）
A． B． C． D．

14．以椭圆内一点为中点的弦所在的直线方程是（       ）
A． B．
C． D．

15．已知双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为（4，2），则该双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．2

16．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点.若点是线段的中点，则直线的斜率是（       ）
A． B． C． D．

练习五 圆锥曲线的向量点乘与向量共线比例问题
17．经过椭圆的一个焦点作倾斜角为45°的直线，交椭圆于两点．设为坐标原点，则等于（ ）
A． B． C．或 D．

18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，该圆与双曲线在第一象限的交点为，则（       ）
A．8 B． C．4 D．
19．已知椭圆的右焦点为经过点的直线的倾斜角为且直线交该椭圆于两点，若，则该椭圆的离心率为（       ）
A． B． C． D．

20．过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线右支于，两点，若，则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C．2 D．

练习六 圆锥曲线的定点问题
21．已知椭圆C：（a>b>0）的左､右焦点分别为，，点满足，且的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的上顶点为P，不过点P的直线l交C于A，B两点，若，证明直线l恒过定点.



22．已知椭圆C：的离心率为，，分别是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆C上，且的面积最大值为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C的上顶点为M，不经过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，若直线MA与直线MB的斜率之和为，证明：直线l过定点．




23．已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率，虚轴长为2．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线与双曲线C相交于两点，（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．



24．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P到点F的距离比点P到x轴的距离大2，记P的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)A、B是C上的两点，直线OA、OB的斜率分别为 且，求证直线过定点．



练习七 圆锥曲线的定值问题
25．已知椭圆C：()的离心率为，点与椭圆C的左、右顶点构成等腰直角三角形．

(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线MN与椭圆C交于M、N两点，O为坐标原点，直线OM、ON的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由.


26．已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率e为，点在椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若A、B为椭圆的左右顶点，过点(1，0)的直线交椭圆于M、N两点，设直线AM、BN的斜率分别为，求证为定值．




27．在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知，是经过圆上一点且与相切的两条直线，斜率分别为，，直线的斜率为，求证：为定值.




28．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且在第一象限，的面积为 (O为坐标原点).
(1)求抛物线的标准方程；
(2)经过点的直线与交于，两点，且，异于点，若直线与的斜率存在且不为零，证明：直线与的斜率之积为定值.




练习八 圆锥曲线的最值问题
29．已知椭圆的右焦点为F，离心率为e，从第一象限内椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足为F，且tan∠POF＝e，△POF的面积为
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l//PO，椭圆C与直线l的交于A，B两点，求△APB的面积的最大值．




30．已知椭圆：的右焦点和上顶点在直线上，过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求面积的最大值.




31．已知椭圆，其长轴为，离心率为，过椭圆上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线与，轴的交点分别为､.
(1)求椭圆的方程；
(2)求面积的最小值.






32．已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线段AB的中点是.
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点的直线与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形面积的最大值.




练习九 圆锥曲线的范围问题
33．已知椭圆的焦距为4，过焦点且垂直于轴的弦长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线交椭圆于点，设椭圆的左焦点为，求的取值范围．




34．已知椭圆，为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，，其中点P在椭圆C上，O为坐标原点，求的取值范围．





35．已知椭圆：（）的长轴长为，离心率为，点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知点，点，若以为直径的圆恰好经过线段的中点，求的取值范围．







36．已知椭圆的右焦点为，短轴的端点分别为，，且
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F且斜率为的直线l交椭圆于M，N两点，弦的垂直平分线与x轴相交于点D，设弦的中点为P，试求的取值范围．