高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.4 点到直线的距离当堂检测题

第二章 平面解析几何

2.2直线及其方程

2.2.4  点到直线的距离

知识梳理

1.点到直线的距离

（1）定义：平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.

（2）图示：

（3）公式：d=.

点睛：（1）运用此公式时要注意直线方程必须是一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式.

（2）当点P0在直线l上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用.

2.两条平行直线之间的距离

（1）定义：两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.

（2）图示：

（3）求法：可以转化为点到直线的距离，也可以直接套用公式.

（4）公式：两条平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0之间的距离d=.

点睛：（1）把直线方程化为直线的一般式方程；

（2）两条直线方程中x，y的系数必须分别相等.

常见考点

考点一 求点到直线的距离

典例1．在平面直角坐标系中，原点到直线的距离等于（     ）

A．1 B． C． D．3

【答案】B

【解析】

【分析】

直接由点到直线的距离公式求解即可.

【详解】

原点到直线的距离为.

故选：B.

变式1-1．点（-1，1）到直线的距离为（       ）

A． B． C． D．4

【答案】A

【解析】

【分析】

由点到直线的距离公式即可得答案.

【详解】

解：点到直线的距离为，

故选：A.

变式1-2．点到直线的距离是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

直接使用点到直线距离公式代入即可.

【详解】

由点到直线距离公式得

故选：B

变式1-3．已知点，点Q是直线l：上的动点，则的最小值为（       ）

A． B． C．2 D．3

【答案】B

【解析】

【分析】

由点到直线的距离公式即可求解.

【详解】

解：由题意，的最小值为点到直线l：的距离，

故选：B.

考点二 根据点到直线的距离求参数

典例2．若点到直线：的距离为3，则（       ）

A．3 B．2 C． D．1

【答案】B

【解析】

【分析】

利用距离公式可求的值.

【详解】

由题设可得，结合可得，

故选：B.

变式2-1．点到直线的距离为2，则的值为（       ）

A．0 B． C．0或 D．0或

【答案】C

【解析】

【分析】

根据点到直线的距离公式即可得出答案.

【详解】

解：点到直线的距离为，

解得或.

故选：C.

变式2-2．已知点到直线的距离为1，则m的值为（       ）

A．或 B．或15 C．5或 D．5或15

【答案】D

【解析】

【分析】

利用点到直线距离公式即可得出.

【详解】

解：点到直线的距离为1，

解得：m=15或5．

故选：D.

变式2-3．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为（       ）

A．－6或 B．－或1 C．－或 D．0或

【答案】A

【解析】

【分析】

利用点到直线的距离公式即可求解.

【详解】

解析：，

即|3m＋5|＝|7－m|，解得m＝－6或．

故选：A

考点三 求平行线间的距离

典例3．直线：与：之间的距离为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

先判断与平行，再由平行线间的距离公式求解即可.

【详解】

由可得，即与平行，故与之间的距离为.

故选：B.

变式3-1．两条平行直线与之间的距离为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据两直线平行求出，再利用两平行直线之间的距离公式可求出结果.

【详解】

因为直线与直线平行,

所以,解得,

将化为,

所以两平行直线与之间的距离为.

故选：C

变式3-2．已知直线和直线，则与之间的距离是（       ）

A． B． C．2 D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用平行线间的距离公式计算即可

【详解】

由平行线间的距离公式得

故选 ：A

变式3-3．两平行直线和间的距离是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

将方程变形，再根据两平行直线间的距离公式计算可得；

【详解】

解：直线即为，所以两平行直线和间的距离；

故选：A

考点四 根据平行线间的距离求参数

典例4．若两条平行线与之间的距离是2，则m的值为（       ）

A．或11 B．或10

C．或12 D．或11

【答案】A

【解析】

【分析】

利用平行线间距离公式进行求解即可.

【详解】

因为两条平行线与之间的距离是2，

所以，或，

故选：A

变式4-1．已知两条平行直线与间的距离为3，则（       ）

A．9或21 B．或21

C．9或 D．9或3

【答案】B

【解析】

【分析】

由平行直线间的距离公式建立关系即可求解.

【详解】

两条平行直线与间的距离为3，

则两平行直线间的距离为，解得或.

故选：B.

变式4-2．已知两条平行直线：与：间的距离为3，则（       ）

A．25或－5 B．25 C．5 D．21或－9

【答案】A

【解析】

【分析】

根据平行直线的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可.

【详解】

因为直线：与：平行，

所以有，

因为两条平行直线：与：间的距离为3，

所以，或，

当时，；

当时，，

故选：A

变式4-3．若两条平行直线与之间的距离是，则（       ）

A．0 B．1 C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由两直线平行求得参数，再由距离求出后即得．

【详解】

由题意两直线平行，则，，

又，而，所以．

所以．

故选：A．

巩固练习

练习一 求点到直线的距离

1．点到直线的距离为（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据点到直线的距离公式可直接求出答案.

【详解】

点到直线的距离为.

故选：B.

2．点(2，5)到直线y＝2x的距离为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用点到直线的距离求解.

【详解】

解：直线y＝2x可化为2x－y＝0，

由点到直线的距离公式得＝＝．

故选：A

3．点到直线的距离为（       ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用点到直线距离公式可求.

【详解】

点到直线的距离.

故选：D.

4．已知点M是直线上的一个动点，且点，则点的最小值为（       ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】

【分析】

根据点到直线距离公式求得的最小值.

【详解】

的最小值即到直线的距离：.

故选：B

练习二 根据点到直线的距离求参数

5．若点到直线的距离是，则实数的值为（       ）

A．1 B． C．0或 D．或1

【答案】D

【解析】

利用点到直线的距离公式即可求解.

【详解】

由题意可得，

解得.

故选：D

6．若点到直线的距离等于1，则（       ）

A．2 B． C．2或 D．1或

【答案】C

【解析】

【分析】

根据点到直线距离公式列式即可求出.

【详解】

点到直线的距离等于1，

，解得.

故选：C.

7．已知点P是轴上的点，P到直线 距离为6，则P点坐标为（       ）

A．( -6，0) B．(-12，0) C．(-12，0)或(8，0) D．(-6，0)或(6，0)

【答案】C

【解析】

由点P是轴上的点，设点,由距离公式可得距离，

由，即可得解.

【详解】

由点P是轴上的点，设点,

由距离公式可得距离，

，

解得：或，

所以点坐标为(-12，0)或(8，0).

故选：C.

【点睛】

本题考查了点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题.

8．已知两点到直线的距离相等，则（       ）

A．2 B．  C．2或 D．2或

【答案】D

【解析】

【分析】

利用点到直线距离公式进行求解即可.

【详解】

因为两点到直线的距离相等，

所以有，或，

故选：D

练习三 求平行线间的距离

9．已知直线，，则与间的距离为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用平行线间的距离公式可求得结果.

【详解】

由平行线间的距离公式可知，与间的距离为.

故选：A.

10．已知，，则与的距离为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据两平行线间的距离公式求得正确答案.

【详解】

∵已知平行直线，，

∴与间的距离.

故选：A

11．两条平行线与的距离为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据平行线间的距离公式求解即可.

【详解】

解：将直线化为，所以两条平行直线间的距离为，

故选：D.

12．已知直线，直线，则与之间的距离为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用两平行线减的距离公式即可求解.

【详解】

直线的方程可化为，则直线与之间的距离．

故选：A

练习四 根据平行线间的距离求参数

13．若直线x＋3y－9＝0与直线x＋3y－c＝0的距离为，则c的值为（       ）

A．－1 B．19

C．－1或19 D．1或－19

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意利用两条平行线间的距离公式，可的c的值．

【详解】

由两平行线间的距离公式得，

d＝＝，

所以| c－9|＝10，得c＝－1或c＝19．

故选：C.

14．两平行线与间的距离为，则c等于（       ）

A．0或40 B．10或30 C．或10 D．或40

【答案】B

【解析】

利用两平行线间的距离公式列方程求解即可

【详解】

解：由题意可得，，即，

解得或，

故选：B

15．已知直线与平行，且与间的距离为，则直线的方程为（　　）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】C

【解析】

【分析】

利用待定系数法，利用平行直线的距离公式建立方程进行求解即可．

【详解】

解：设，

与间的距离为．

，

即，

得或，

即或，

即线的方程为或，

故选：C．

16．若两条平行线，与之间的距离为，则等于

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【详解】

两条平行线，与，有：，

得：平行线，与

平行线距离为：,解得或-9（舍）

则.

故选A.