专题3.4 算术平方根（拓展提高）- 2022-2023学年七年级数学上册拔尖题精选精练（浙教版）

专题3.4 算术平方根（拓展提高）

一、单选题

1．的算术平方根是（　　）

A．3 B．﹣3 C．±3 D．6

【答案】A

【分析】先化简得到＝9，再利用算术平方根的定义求出答案.

【详解】∵＝9，

∴的算术平方根是＝3，

故选：A.

【点睛】此题考查算术平方根的定义，利用算术平方根求值，正确化简是解题的关键.

2．下列计算正确的是（      ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据乘方法则；积的乘方等于乘方的积；算术平方根是非负数；同底数幂的除法，底数不变指数相减，可得答案．

【详解】解：A、，故A错误；

B、积的乘方等于乘方的积，，故B正确；

C、算术平方根是非负数，，故C错误；

D、同底数幂的除法，底数不变指数相减，，故D错误；

故选：B．

【点睛】本题考查了幂的运算及算术平方根的性质，熟记法则并根据法则计算是解题关键．

3．若，则a的值为（    ）．

A．20 B．200 C．2000 D．0.02

【答案】B

【分析】根据算术平方根的性质，根据1.414×10＝14.14，可推出2×100＝a，即可推出a＝200．

【详解】解：∵，1.414×10＝14.14，

∴2×100＝a，

∴a＝200．

故选：B．

【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，关键在于熟练掌握算术平方根的性质，认真的计算．

4．已知，那么（a+b）2020的值为（　　）

A．﹣32020 B．32020 C．﹣1 D．1

【答案】D

【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性求出a和b的值，再代入求解．

【详解】解：∵，，，

∴，，即，，

∴．

故选：D．

【点睛】本题考查算术平方根和绝对值的非负性，以及有理数乘方的运算，解题的关键是掌握算术平方根和绝对值的非负性．

5．一个正偶数的算术平方根是，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先根据算术平方根的概念先求得这个正偶数为，再根据算术平方根的定义即可求得与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根．

【详解】解：∵一个正偶数的算术平方根是m，

∴这个正偶数为，

∴与这个正偶数相邻的下一个正偶数为+2，

∴与这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是．

故选C．

【点睛】此题主要考查算术平方根的定义及其应用，比较简单．

6．已知实数x、y满足|x－4|+ ＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形周长是（   ）

A．20或16 B．20 C．16 D．18

【答案】B

【分析】根据绝对值与二次根式的非负性即可求出x与y的值．由于没有说明x与y是腰长还是底边长，故需要分类讨论．

【详解】由题意可知：x-4=0，y-8=0，

∴x=4，y=8，

当腰长为4，底边长为8时，

∵4+4=8，

∴不能围成三角形，

当腰长为8，底边长为4时，

∵4+8＞8，

∴能围成三角形，

∴周长为：8+8+4=20，

故选：B．

【点睛】本题考查了算术平方根，以及三角形三边关系，解题的关键是正确理解非负性的意义，以及三角形三边关系，本题属于基础题型．

二、填空题

7．-64的立方根是____，9的平方根是_____，16的算术平方根是_____，的平方根是_____．

【答案】               

【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的等于即可得答案．

【详解】∵(-4)3=-64，

∴-64的立方根是-4，

∵(±3)2=9，

∴9的平方根是±3，

∵(±4)2=16，4＞0，

∴16的算术平方根是4，

∵=9，

∴的平方根是±3，

故答案为：-4，±3，4，±3

【点睛】本题考查立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握定义是解题关键．

8．若实数x，y满足|x﹣4|+＝0，则以x、y的值为边长的等腰三角形的周长为_____．

【答案】22

【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分类讨论4分别是腰长与底边两种情况讨论求解．

【详解】解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣9＝0，

解得x＝4，y＝9，

①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9，

∵4+4＝8＜9，

∴不能组成三角形；

②4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9，

能组成三角形，周长＝4+9+9＝22．

所以，三角形的周长为22．

故答案为：22．

【点睛】本题考查非负数的性质，等腰三角形性质以及三角形的三边关系，本题关键在于利用非负性求出两条边，特别注意对等腰三角形进行分类讨论．

9．面积为2的正方形的边长是__________．

【答案】

【分析】设正方形的边长为x，根据题意得，求解即可．

【详解】解：设正方形的边长为x，

由题意得，

∴x=（负值舍去），

故答案为：．

【点睛】此题考查平方根的实际应用，正确求一个数的平方根是解题的关键．

10．已知，则代数式，的平方根是________．

【答案】2019，±2．

【分析】先把变形，然后用x+1代替x2，代入，即可求解，先求出的值，进而即可求解．

【详解】∵，

∴，

∴

=

=

=

=，

∵=4，

∴的平方根是±2，

故答案是：2019，±2．

【点睛】本题主要考查求代数式的值以及平方根，掌握代入法对代数式进行降幂是解题的关键．

11．定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则2@6 =____．

【答案】4

【分析】把x=2，y=6代入x@y=中计算即可．

【详解】解：∵x@y=，

∴2@6==4，

故答案为4．

【点睛】本题考查了有理数的运算能力，注意能由代数式转化成有理数计算的式子．

12．已知实数满足，求的平方根．

【答案】±

【分析】根据当几个非负数之和为零，则这几个非负数都为了0求得x、y的值，再代入到所求代数式中求解即可．

【详解】解：∵，且，

∴x﹣3=0，y+8=0，

解得：x=3，y=﹣8，

∴﹣xy=﹣3×（﹣8）=24，

∴﹣xy的平方根是±．

【点睛】本题考查了非负数的性质、解一元一次方程、代数式求值、有理数的乘法、平方根，理解非负数的性质，正确求出一个数的平方根是解答的关键．

13．若+|b﹣2|＝0，则（a+b）2020的值为______．

【答案】1

【分析】首先根据非负数的性质可求出a、b的值，进而可求出a、b的和．

【详解】∵

∴a+3＝0，b﹣2＝0，

∴a＝﹣3，b＝2；

因此a+b＝﹣3+2＝﹣1．

则（a+b）2020＝（﹣1）2020＝1．

故答案为：1．

【点睛】本题主要考查算术平方根与绝对值的非负性及乘方，熟练掌握算术平方根与绝对值的非负性及乘方是解题的关键．

14．（1）若一圆的面积与这个正方形的面积都是，设圆的周长为，正方形的周长为，则______．（填“=”或“<”或“>”号）

（2）如图，若正方形的面积为，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，他能裁出吗？请说明理由．

【答案】（1）＜；（2）不能，理由见解析

【分析】（1）分别根据圆的面积和正方形的面积得出其半径或边长，再分别求得其周长，根据实数大小比较的方法，可得答案；

（2）设裁出的长方形的长为，宽为，由题意得关于的方程，解得的值，从而可得长方形的长和宽，将其与正方形的边长比较，可得答案．

【详解】解：（1）圆的面积与正方形的面积都是，

圆的半径为，正方形的边长为，

，，

，

，

．

（2）不能裁出长和宽之比为的长方形，理由如下：

设裁出的长方形的长为，宽为，由题意得：

，

解得或（不合题意，舍去），

长为，宽为，

正方形的面积为，

正方形的边长为，

，

不能裁出长和宽之比为的长方形．

【点睛】本题考查了算术平方根在正方形和圆的面积及周长计算中的简单应用，熟练掌握相关计算公式是解题的关键．

三、解答题

15．若的两个平方根是方程的一组解．

（1）求的值；

（2）求的算术平方根．

【答案】（1）4；（2）4．

【分析】（1）  设的平方根为，，根据题意可得方程组，解方程组求得，由此即可求得a的值；

（2）先求 的值，再求其算术平方根即可．

【详解】（1）∵  的平方根是的一组解，则设的平方根为，，

则根据题意得：，

解得

∴  为．

（2）∵  ．

∴  的算术平方根为4．

【点睛】本题考查了二元一次方程的解，利用平方根互为相反数得出方程组是解题的关键．

16．已知a，b，c满足，请回答下列问题：

（1）直接写出a，b，c的值．_______，_______，_______．并在数轴上表示．

（2）a，b，c所对应的点分别为A，B，C，若点A以每秒1个单位长度向右运动，点C以每秒3个单位长度向左运动；

①运动1.5秒后，A，C两点相距几个单位长度．

②几秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度．

【答案】（1）-3，1，5，数轴见解析；（2）①2；②1秒或3秒

【分析】（1）根据非负数的性质可得a，b，c，再在数轴上表示；

（2）①分别求出1.5秒后点A和点C所表示的数，再计算距离；

②分点A在点C左侧，点A在点C右侧两种情况，列方程求解．

【详解】解：（1）∵，

∴a+3=0，b-1=0，c-5=0，

∴a=-3，b=1，c=5，

数轴表示如下：

（2）①由题意可得：1.5秒后，

点A表示的数为：-3+1.5×1=-1.5，

点C表示的数为：5-3×1.5=0.5，

0.5-（-1.5）=2，

∴A，C两点相距2个单位长度；

②设t秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度，

若点A在点C左侧，

则-3+t+4=5-3t，

解得：t=1；

若点A在点C右侧，

则-3+t=5-3t+4，

解得：t=3，

综上：1秒或3秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度．

【点睛】本题考查了数轴，一元一次方程，非负数的性质，解题的关键是理解运动过程，掌握数轴上两点间距离的表示方法．

17．如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间（单位：）与细线的长度（单位：）之间满足关系，当细线的长度为时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少（结果保留小数点后一位）？（參考数据：，）

【答案】小重物来回摆动一次所用的时向约为

【分析】直接把l=0.5m代入关系式即可求出t的值．

【详解】由题可知，，

细线长度为，即，

则小重物来回摆动一次所用的时间为；

答：小重物来回摆动一次所用的时向约为．

【点睛】此题考查算术平方根，解题关键在于掌握运算法则．

18．有一个数值转换器．原理如图．

（1）当输入的为81时，输出的是多少？

（2）是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在．请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由；

（3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算输入的数据可能是什么情况？

（4）若输出的是，试判断输入的值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个．

【答案】（1）；（2）0或1；（3）见解析；（4）不唯一，5和25

【分析】（1）根据运算规则即可求解；

（2）根据0和1的算术平方根即可判断；

（3）根据算术平方根的定义，被开方数是非负数即可求解；

（4）找到使得输出值为的两个数即可．

【详解】解：（1）当x=81时，

=9，=3，是无理数，

故y=；

（2）当x=0或1时，始终输不出y值．

因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；

（3）∵负数没有算术平方根，

∴输入的数据可能是负数；

（4）25的算术平方根是5，5的算术平方根是，

故输入的值不唯一，例如5和25．

【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确把握数值转换器的原理是解题关键．

19．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，＝2，＝3，＝6，其结果分别为2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6．

（1）请证明：2，8，50这三个数是“老根数”，并求出任意两个数乘积的最小算术平方根与最大算术平方根；

（2）已知16，a，36这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，求a的值．

【答案】（1）证明见解析，最小算术平方根为4，最大算术平方根为20；（2）9或64．

【分析】（1）根据“老根数”的定义、算术平方根的定义即可得；

（2）根据“老根数”的定义、“最大算术平方根是最小算术平方根的2倍”建立方程，利用算术平方根的性质解方程即可得．

【详解】证明：（1），且都是整数，

这三个数是“老根数”，

，

最小算术平方根为4，最大算术平方根为20；

（2）这三个数是“老根数”，

为正整数，，且都是整数，

因为，

所以分以下两种情况：

①当，即时，

则最大算术平方根是24，最小算术平方根是，

因此有，

解得，符合题设，且符合“老根数”的定义；

②当，即时，

则最大算术平方根是，最小算术平方根是24，

因此有，

解得，符合题设，且符合“老根数”的定义，

综上，的值为9或64．

【点睛】本题考查了算术平方根的应用，理解“老根数”的定义是解题关键．

20．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”．完成以下问题：如图，在中，，，．

（1）求的面积；

（2）过点作，垂足为，求线段的长．

【答案】（1）6；（2）

【分析】（1）利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算△ABC的面积；

（2）利用面积法求CD的长．

【详解】（1）∵，，.  

∴，

∴

∴的面积是6

（2）如图过点作，垂足为，

∵

∴是的高

∵

∵

∴.

【点睛】本题考查了求算术平方根和阅读理解能力，解题关键是理解题意，准确应用公式进行计算．