专题3.2 平方根（拓展提高）- 2022-2023学年七年级数学上册拔尖题精选精练（浙教版）

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专题3.2 平方根（拓展提高）一、单选题1．4的平方根是（    ）A．2 B．-2 C．±2 D．无法确定【答案】C【分析】根据平方根的定义可得答案．【详解】解：∵（±2）2=4，∴4的平方根是±2．故选：C．【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．2．下列各数中一定有平方根的是（　　）A．a2﹣5 B．﹣a C．a+1 D．a2+1【答案】D【分析】正数的平方根有两个，0的平方根是0，负数没有平方根．题中要求这个数一定有平方根，所以这个数不论m取何值，都得是非负数．【详解】解：A．当a＝0时，a2﹣5＝﹣5＜0，不符合题意；B．当a＝1时，﹣a＝﹣1＜0，不符合题意；C．当a＝﹣5时，a+1＝﹣4＜0，不符合题意；D．不论a取何值，a2≥0，a2+1＞0，符合题意．故选D．【点睛】这道题主要考查对平方根的理解，做题的关键是要知道负数没有平方根．3．若，，则所有可能的值为（      ）A．8 B．8或2 C．8或 D．或【答案】D【分析】先求出a、b的值，再计算即可．【详解】解：∵，∴a=±5，∵，∴b=±3，当a=5，b=3时，；当a=5，b=-3时，；当a=-5，b=3时，；当a=-5，b=-3时，；故选：D．【点睛】本题考查了绝对值、平方根和有理数加法运算，解题关键是分类讨论，准确计算．4．一个数的相反数是最大的负整数，则这个数的平方根是（　　　）A． B．1 C． D．0【答案】C【分析】由于最大的负整数是-1，本题即求-1的相反数，进而求其平方根．【详解】解：最大的负整数是-1，根据概念，（-1的相反数）+（-1）=0，则-1的相反数是1，则这个数是1，1的平方根是，故选：C．【点睛】本题考查了相反数、负整数的概念及求一个数的平方根，正确掌握相关定义是解题的关键．5．已知，，且，则代数式的值为（    ）A．-1或-7 B．1或-7 C．1或7 D．或【答案】C【分析】分别求出a与b的值，再利用这一条件判断出a、b的值，进而分情况讨论即可解题．【详解】解，，，，或，或，故选C．【点睛】本题考查了去绝对值和求平方根，正确的确定a、b的值是解答本题的关键．6．若制作的一个长方体底面积为，长、宽、高的比为，则此长方体的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出长宽高，利用底面积，求出高，最后再求出体积【详解】设长方体的高为x，则长为4x，宽为2x，由题意得:4x×2x＝24解得x＝，x＝-（舍去）这个长方体的高 cm　长方体的体积为:24×=24故答案选：C【点睛】主要考查的是平方根的定义及算术平方根意义，,熟练掌握定义是解题的关键. 二、填空题7．(1)因为（______）2＝16，所以16的平方根有______个，且它们互为________，分别是________，用数学式子表示为__________________；(2)因为（______）2＝0，所以0的平方根是______，用数学式子表示为______________．【答案】±4    2    相反数    4，－4        0    0        【分析】（1）根据平方根的定义，即可得到答案；（2）根据平方根的定义，即可得到答案；【详解】解：（1）因为（±4）2＝16，所以16的平方根有2个，且它们互为相反数，分别是4，－4，用数学式子表示为；故答案为：±4；2；相反数；4，－4；；（2）因为02＝0，所以0的平方根是0，用数学式子表示为．故答案为：0；0；．【点睛】本题考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义进行解题．8．8的相反数是_______，平方得9的数是________．【答案】﹣8    ±3．    【分析】根据相反数和平方根的定义及性质解答即可．【详解】解：8的相反数是-8；∵ ， ∴平方得9的数是±3．【点睛】本题考查了相反数和平方根的定义及性质，解题关键是理解相反数和平方根的定义及性质．9．两个数a与2在数轴上对应的点之间的距离为3，已知b2＝4，且a＜b，则a﹣b的值为_____．【答案】-3．【分析】求出b=±2，根据a＜b确定a，再求a﹣b的值．【详解】解：∵b2＝4，∴b=±2， ∵a与2在数轴上对应的点之间的距离为3，当a在2左侧时，a=-1，当a在2右侧时，a=5，∵a＜b，∴a=-1，b=2，a﹣b=-1-2=-3故答案为：-3．【点睛】本题考查了数轴上点的距离和平方根，解题关键是根据题意求出a、b的值．10．已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是_________．【答案】1【分析】先根据平方根的性质得出两个平方根互为相反数，再列方程计算，根据平方根的平方是被开方数得出这个正数【详解】解：有题意可知：∴这个正数的两个平方根分别是∴这个正数是1故答案为：1【点睛】本题考查平方根的性质，利用性质列方程是解题关键11．若是m的一个平方根，则的平方根是______．【答案】【分析】利用平方根的定义求出的值，确定出的值，即可求出平方根．【详解】根据题意得：，则的平方根为．故答案为：【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．12．已知，则的值为__________．【答案】4或【分析】方程利用平方根定义开方即可求出x的值．【详解】解：∵（x-1）2=9，∴x-1=±3，解得：x=4或x=-2，故答案为4或．【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．13．若，则ab的平方根______ ．【答案】【分析】根据非负数的性质可得关于a、b的方程组，解方程组即可求出a、b，进而可得ab的值，再根据平方根的定义解答即可．【详解】解：根据题意，得，解得：，∴ab=2，2的平方根是．故答案为：．【点睛】本题考查了非负数的性质、二元一次方程组的解法和平方根的定义等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．14．已知方程是关于 x，y 的二元一次方程，则 m-4n 的平方根是_____．【答案】【分析】根据二元一次方程组的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程，进行求解即可．【详解】∵方程是关于 x，y 的二元一次方程∴ ， ∴ ∴ ∴m-4n的平方根是：故答案为：【点睛】本题考查二元一次方程的定义以及平方根的求算，掌握二元一次方程组的定义以及平方根的定义是解题关键． 三、解答题15．求下列各数的平方根．（1）0.09              （2）                  （3）         （4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）根据平方根的定义即可得；（2）根据平方根的定义即可得；（3）根据平方根的定义即可得；（4）先根据算术平方根求出的值，再根据平方根的定义即可得．【详解】（1）因为，所以的平方根是；（2）因为，所以的平方根是；（3）因为，所以的平方根是；（4）因为，，所以的平方根是．【点睛】本题考查了平方根，掌握理解定义是解题关键．16．已知的平方根是，的平方根是，求的平方根．【答案】【分析】根据题意可求出及的值，从而可得出a与b的值，继而可求出的平方根．【详解】解：由题意得：，，解得：，，∴，∴的平方根为：．【点睛】本题主要考查了平方根，难度不大，解题的关键是求a、b的值．17．已知．（1）已知的算术平方根为3，求a的值；（2）如果都是同一个数的平方根，求这个数．【答案】（1）a=-8；（2）1或9．【分析】（1）根据平方运算，可得（1-a）的值，求解可得答案；（2）根据题意可知相等或互为相反数，列式求解可得a的值，根据平方运算，可得答案．【详解】解：（1）∵x的算术平方根是3，∴1-a=9，∴a=-8；（2）x，y都是同一个数的平方根，∴1-a=2a-5或1-a+（2a-5）=0，解得a=2，或a=4，当a=2时，（1-a）=（1-2）2=1，当a=4时，（1-a）=（1-4）2=9，答：这个数是1或9．【点睛】本题考查了平方根和算术平方根，注意第（2）问符合条件的答案有两个，小心漏解．18．已知的平方根为，是的立方根，是的整数部分，求：（1）、、的值；（2）的平方根．【答案】（1），，；（2）【分析】（1）根据平方根、立方根、以及无理数的估算，即可求出x、y、z的值；（2）根据（1）的答案，求出的值，再求平方根即可.【详解】解：（1）根据题意，有：，则，∵，∴，∴，∵，又∵是的整数部分，∴（2）由（1）可知：，∴平方根是.【点睛】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．19．在学习《实数》这节内容时，我们通过“逐步逼近”的方法来估算出一系列越来越接近的近似值的方法，请回答如下问题：（1）我们通过“逐步逼近”的方法来估算出1.4＜＜1.5，请用“逐步逼近”的方法估算在哪两个近似数之间（精确到0.1）？（2）若x是+的整数部分，y是+的小数部分，求（y--）x的平方根．【答案】（1）3.3＜＜3.4（2）±16【分析】（1）从3.1的平方开始计算，发现3.3的平方=10.89，3.4的平方等于11.56，11在两数之间，进而得到的近似值．（2）按不等式性质1得到+的近似值，则整数部分为4，小数部分即原数减去整数部分，再代入求值．【详解】（1）∵3.12=9.61，3.22=10.24，3.32=10.89，3.42=11.56∴3.3＜＜3.4（2）∵1.4＜＜1.5，3.3＜＜3.4∴4.7＜＜4.9∴x=4，y=-4∴（y--）x=（）4=（-4）4=256∴±=±16∴（y--）x的平方根±16【点睛】本题考查了平方和平方根估算无理数大小，正确计算是解题的关键．20．小明是一位善于思考、勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于-1，所以-1没有平方根．有一天，小明想：如果存在一个数i，使i2=-1，那么（-i）2=-1，因此-1就有两个平方根了．进一步，小明想：因为（±2i）2=-4，所以-4的平方根就是±2i；因为（±3i）2=-9，所以-9的平方根就是±3i．请你根据上面的信息解答下列问题：（1）求-16的平方根；（2）求i3，i4的值（写出过程，提示：有理数运算法则一样可以用哦）（3）i2018=        【答案】（1）±4i；（2）-i，1；（3）—1【分析】（1）根据开方运算，可得平方根；（2）根据计算，可得i3，i4的值；（3）通过计算：i1=i，i2=-1，i3=i2×i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1；i5=i4•i=1×i=i，i6=i4•i2=1×（-1）=-1，i7=i4•i3=1×（-i）=-i，i8=i4•i4=1×1=1，…发现每4个一循环，根据观察，可得答案．【详解】（1）∵（±4i）2=-16，∴；（2）i3=i2•i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1；（3）i1=i，i2=-1，i3=i2×i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1；i5=i4•i=1×i=i，i6=i4•i2=1×（-1）=-1，i7=i4•i3=1×（-i）=-i，i8=i4•i4=1×1=1，…发现每4个一循环，∴2018÷4=504⋯⋯2，∴i2018=-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查了平方根，计算发现规律是解题关键．