数学必修 第二册第七章 复数7.1 复数的概念教案

《7.1.1数系的扩充和复数的概念》

教学设计

本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第七章《复数》的第一节《复数的概念》。以下是本章的课时安排：

在学生已经掌握的实数范围基础上，引入i，把实数范围扩充到复数范围，并研究复数的概念。

 1.了解引进虚数单位的必要性，了解数系的扩充过程，培养数学抽象的核心素养；

2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念，培养数学抽象的核心素养；

3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件，培养数学运算的核心素养。

1.重点：了解引进虚数单位的必要性，了解数系的扩充过程；掌握复数的分类及复数相等的充要条件。

2.难点：理解复数的概念、表示法及相关概念。

（一）新知导入

1. 复数的发展史

1545年，意大利数学家、物理学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程x(10－x)＝40的根，他求出的根为5＋和5－，积为25－(－15)＝40.

但由于这只是单纯从形式上推广而来，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的.因此复数在历史上长期不被接受.

直到18世纪，达朗贝尔、欧拉和高斯等人逐步阐明了复数的几何意义及物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人们终于接受并理解了复数.复变函数的理论基础是在19世纪奠定的，主要是围绕柯西、魏尔斯特拉斯和黎曼三人的工作进行的.

到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域不断扩大而发展成一门庞大的学科，在自然科学的其他分支(如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等)及数学的其他分支(如微分方程、积分方程、概率论、数论等)中，复变函数论都有着重要应用.

2.探索交流，解决问题

【思考1】在正数范围内，方程x2＋2＝0有解吗？我们是怎样让它有解的？类似的，在有理数范围内，x2＝2有解吗？我们又是怎样让它有解的？

【提示】无解.在复数的范围内，方程有解。

【思考2】为了使负数能够开方，你觉得应该引进一个什么样的新数？这个新数应该服从什么规则？

【提示】根据数系扩充的原则，定义关于它们的加法和乘法，要使得原来关于实数的运算律保持不变.

（二）复数的概念

1.复数的有关概念

(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集.

(2)复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.

【做一做】指出复数的实部和虚部。

2.复数相等

在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d.

【做一做】 若(x－2y)i＝2x＋1＋3i，则实数x，y的值分别为________．

【答案】－　－

3.复数的分类

(1)对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数.这样，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下：

复数

(2)集合表示：

【思考1】两个复数一定能比较大小吗？

【提示】不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小.

【思考2】复数z＝a＋bi的虚部b可以为零吗？

【提示】可以.当b＝0时，z为实数.

【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　)

(2)复数z1＝3i，z2＝2i，则z1＞z2.(　　)

(3)复数z＝bi是纯虚数．(　　)

(4)实数集与复数集的交集是实数集．(　　)

【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

（三）典型例题

1.复数的概念

例1.以2i-5的虚部为实部,以+2i的实部为虚部的复数是________. 

【解析】2i-5的虚部为2,+2i的实部为,所以新的复数是2+i.

【答案】2+i

【类题通法】复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.

【巩固练习1】下列命题中，正确命题的个数是(　　)

①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；

②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；

③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.

A.0   B.1   C.2   D.3

【解析】①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题.故选A.

【答案】A

2.复数的分类

例2.　(1)已知复数z＝a＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为________；

(2)若复数z＝sin 2α－(1－cos 2α)i是纯虚数，则α＝________.

【解析】　(1)∵z是实数，∴a2－1＝0，∴a＝±1.

(2)由题意知sin 2α＝0，1－cos 2α≠0，

∴2α＝2kπ＋π(k∈Z)，∴α＝kπ＋(k∈Z).

【答案】(1)±1　(2)kπ＋(k∈Z)

【类题通法】根据复数的概念求参数的一般步骤：

第一步，判定复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，实部与虚部分别为什么；

第二步，依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题；

第三步，解相应的方程(组)或不等式(组)；

第四步，明确结论.

【巩固练习2】实数m取什么值时，复数z＝＋(m2－2m)i是

(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？

【解】(1)当即m＝2时，复数z是实数.

(2)当即m≠0且m≠2时，复数z是虚数.

(3)当即m＝－3时，复数z是纯虚数.

3.复数相等

例3.已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值.

【解】∵x2－y2＋2xyi＝2i，

∴解得或

【类题通法】求解复数相等问题

复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法.转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是：

(1)等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式；

(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；

(3)解方程组，求出相应的参数.

【巩固练习3】关于x的方程3x－－1＝(10－x)i有实根，求实数a的值.

【解】设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m－－1＝(10－m)i，

∴解得a＝58.

（四）操作演练  素养提升

1.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是(　　)

A.，1    B.，5

C.±，5    D.±，1

2.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是(　　)

A.±1    B.±i

C.±i    D.±2i

3.i2 021＝________.

4.设i为虚数单位，若关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一实根为n，则m＝________.

【答案】1.C    2.C    3.i     4.1 

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

完成教材：第70页  练习     第1，2，3题

         第73 页   习题7.1  第1,2,3题