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2023届高考数学一轮复习作业函数性质的综合问题北师大版(答案有详细解析)
展开这是一份2023届高考数学一轮复习作业函数性质的综合问题北师大版(答案有详细解析),共7页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
函数性质的综合问题
一、选择题
1.定义在R上的函数f (x)满足f (x+1)=f (x-1),且f (x)=其中a∈R,若f (-5)=f (4.5),则a=( )
A.0.5 B.1.5 C.2.5 D.3.5
C [由f (x+1)=f (x-1),得f (x)是周期为2的周期函数,又f (-5)=f (4.5),所以f (-1)=f (0.5),即-1+a=1.5,所以a=2.5,故选C.]
2.定义在R上的奇函数f (x)满足f (x+2)=-f (x),且在[0,1]上是减函数,则有( )
A.f <f <f
B.f <f <f
C.f <f <f
D.f <f <f
C [由f (x+2)=-f (x)及f (x)是奇函数得f =f =-f =f ,
又函数f (x)在[-1,1]上是减函数,所以f <f <f ,即f <f <f ,故选C.]
3.设f (x)是定义在[-2b,3+b]上的偶函数,且在[-2b,0]上为增函数,则f (x-1)≥f (3)的解集为( )
A.[-3,3] B.[-2,4]
C.[-1,5] D.[0,6]
B [因为f (x)是定义在[-2b,3+b]上的偶函数,
所以有-2b+3+b=0,解得b=3,
由函数f (x)在[-6,0]上为增函数,得f (x)在(0,6]上为减函数,故f (x-1)≥f (3)⇒f (|x-1|)≥f (3)⇒|x-1|≤3,故-2≤x≤4.]
4.设奇函数f (x)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上,f (x)在(0,+∞)上为增函数,且f (1)=0,则不等式<0的解集为( )
A.(-1,0)∪(1,+∞)
B.(-∞,-1)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.(-1,0)∪(0,1)
D [∵奇函数f (x)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上,在(0,+∞)上为增函数,且f (1)=0,∴函数f (x)的图像关于原点对称,且过点(1,0)和(-1,0),且f (x)在(-∞,0)上也是增函数.∴函数f (x)的大致图像如图所示.
∵f (-x)=-f (x),∴不等式<0可化为<0,即xf (x)<0.不等式的解集即为自变量与对应的函数值异号的x的范围,据图像可知x∈(-1,0)∪(0,1).]
5.(2020·全国卷Ⅱ)设函数f (x)=x3-,则f (x)( )
A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增
B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增
D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减
A [法一:函数f (x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f (-x)=(-x)3-=-x3+=-=-f (x),所以函数f (x)为奇函数,排除C,D.因为函数y=x3,y=-在(0,+∞)上为增函数,所以f (x)=x3-在(0,+∞)上为增函数,排除B,故选A.
法二:函数f (x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f (-x)=(-x)3-=-x3+=-=-f (x),所以函数f (x)为奇函数,排除C,D.当x∈(0,+∞)时,由f (x)=x3-,得f ′(x)=3x2+>0,所以f (x)=x3-在(0,+∞)上为增函数,排除B,故选A.]
6.(2020·全国卷Ⅲ)已知函数f (x)=sin x+,则( )
A.f (x)的最小值为2
B.f (x)的图像关于y轴对称
C.f (x)的图像关于直线x=π对称
D.f (x)的图像关于直线x=对称
D [由题意得sin x∈[-1,0)∪(0,1].对于A,当sin x∈(0,1]时,f (x)=sin x+≥2=2,当且仅当sin x=1时取等号;当sin x∈[-1,0)时,f (x)=sin x+=-≤-2=-2,当且仅当sin x=-1时取等号,所以A错误.对于B,f (-x)=sin(-x)+=-=-f (x),所以f (x)是奇函数,图像关于原点对称,所以B错误.对于C,f (x+π)=sin(x+π)+=-,f (π-x)=sin(π-x)+=sin x+,则f (x+π)≠f (π-x),f (x)的图像不关于直线x=π对称,所以C错误.对于D,f =sin+=cos x+,f =sin+=cos x+,所以f =f ,f (x)的图像关于直线x=对称,所以D正确.故选D.]
二、填空题
7.已知f (x)是定义在R上的偶函数,且f (x+4)=f (x-2).若当x∈[-3,0]时,f (x)=6-x,则f (919)=________.
6 [∵f (x+4)=f (x-2),
∴f (x+6)=f (x),∴f (x)的周期为6,
∵919=153×6+1,∴f (919)=f (1).
又f (x)为偶函数,∴f (919)=f (1)=f (-1)=6.]
8.定义在实数集R上的函数f (x)满足f (x)+f (x+2)=0,且f (4-x)=f (x).现有以下三个命题:
①8是函数f (x)的一个周期;②f (x)的图像关于直线x=2对称;③f (x)是偶函数.
其中正确命题的序号是________.
①②③ [∵f (x)+f (x+2)=0,∴f (x+2)=-f (x),f (x+4)=-f (x+2)=f (x),∴f (x)的周期为4,故①正确;又f (4-x)=f (x),所以f (2+x)=f (2-x),即f (x)的图像关于直线x=2对称,故②正确;由f (x)=f (4-x)得f (-x)=f (4+x)=f (x),故③正确.]
9.定义在R上的奇函数f (x)满足f (-x)=f (3+x),f (2 020)=2,则f (1)=________.
-2 [由f (-x)=f (3+x)得f (3+x)=-f (x),从而f (6+x)=f (x),即函数f (x)是周期为6的周期函数,所以f (2 020)=f (4)=f (-1)=-f (1)=2.
所以f (1)=-2.]
三、解答题
10.设f (x)是定义域为R的周期函数,最小正周期为2,且f (1+x)=f (1-x),当-1≤x≤0时,f (x)=-x.
(1)判断f (x)的奇偶性;
(2)试求出函数f (x)在区间[-1,2]上的表达式.
[解] (1)∵f (1+x)=f (1-x),∴f (-x)=f (2+x).
又f (x+2)=f (x),∴f (-x)=f (x).
又f (x)的定义域为R,∴f (x)是偶函数.
(2)当x∈[0,1]时,-x∈[-1,0],
则f (x)=f (-x)=x;
从而当1≤x≤2时,-1≤x-2≤0,
f (x)=f (x-2)=-(x-2)=-x+2.
故f (x)=
11.设函数f (x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f (x+2)=-f (x),当0≤x≤1时,f (x)=x.
(1)求f (π)的值;
(2)当-4≤x≤4时,求函数f (x)的图像与x轴所围成图形的面积.
[解] (1)由f (x+2)=-f (x)得,
f (x+4)=f [(x+2)+2]=-f (x+2)=f (x),
所以f (x)是以4为周期的周期函数,
所以f (π)=f (-1×4+π)=f (π-4)=-f (4-π)=-(4-π)=π-4.
(2)由f (x)是奇函数且f (x+2)=-f (x),
得f [(x-1)+2]=-f (x-1)=f [-(x-1)],
即f (1+x)=f (1-x).
故函数y=f (x)的图像关于直线x=1对称.
又当0≤x≤1时,f (x)=x,且f (x)的图像关于原点成中心对称,则f (x)的图像如图所示.
当-4≤x≤4时,设f (x)的图像与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×=4.
1.已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x+1)=f (1-x),且当x∈[0,1]时,f (x)=2x-m,则f (2 019)=( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
B [∵f (x)是定义在R上的奇函数,且f (x+1)=f (1-x),
∴f (x+2)=f (-x)=-f (x),
∴f (x+4)=f (x),
∴f (x)的周期为4.
∵x∈[0,1]时,f (x)=2x-m,
∴f (0)=1-m=0,
∴m=1,∴x∈[0,1]时,f (x)=2x-1,
∴f (2 019)=f (-1+505×4)=f (-1)=-f (1)=-1.故选B.]
2.定义在R上的函数f (x)满足:①对任意x∈R有f (x+4)=f (x);②f (x)在[0,2]上是增函数;③f (x+2)的图像关于y轴对称.则下列结论正确的是( )
A.f (7)<f (6.5)<f (4.5)
B.f (7)<f (4.5)<f (6.5)
C.f (4.5)<f (6.5)<f (7)
D.f (4.5)<f (7)<f (6.5)
D [由①知函数f (x)的周期为4,由③知f (x+2)是偶函数,则有f (-x+2)=f (x+2),即函数f (x)图像的一条对称轴是x=2,由②知函数f (x)在[0,2]上单调递增,则在[2,4]上单调递减,且在[0,4]上越靠近x=2,对应的函数值越大,又f (7)=f (3),f (6.5)=f (2.5),f (4.5)=f (0.5),由以上分析可得f (0.5)<f (3)<f (2.5),即f (4.5)<f (7)<f (6.5).故选D.]
3.已知函数y=f (x)在定义域[-1,1]上既是奇函数又是减函数.
(1)求证:对任意x1,x2∈[-1,1],有[f (x1)+f (x2)]·(x1+x2)≤0;
(2)若f (1-a)+f (1-a2)<0,求实数a的取值范围.
[解] (1)证明:若x1+x2=0,显然不等式成立.
若x1+x2<0,则-1≤x1<-x2≤1,
因为f (x)在[-1,1]上是减函数且为奇函数,
所以f (x1)>f (-x2)=-f (x2),
所以f (x1)+f (x2)>0.
所以[f (x1)+f (x2)](x1+x2)<0成立.
若x1+x2>0,则1≥x1>-x2≥-1,
同理可证f (x1)+f (x2)<0.
所以[f (x1)+f (x2)](x1+x2)<0成立.
综上得证,对任意x1,x2∈[-1,1],有[f (x1)+f (x2)]·(x1+x2)≤0恒成立.
(2)因为f (1-a)+f (1-a2)<0⇔f (1-a2)<-f (1-a)=f (a-1),所以由f (x)在定义域[-1,1]上是减函数,得
即
解得0≤a<1.
故所求实数a的取值范围是[0,1).
1.定义在R上的函数f (x)满足f (x+y)=f (x)+f (y),f (x+2)=-f (x)且f (x)在[-1,0]上是增函数,给出下列几个命题:
①f (x)是周期函数;
②f (x)的图像关于x=1对称;
③f (x)在[1,2]上是减函数;
④f (2)=f (0).
其中正确命题的序号是________.(请把正确命题的序号全部写出来)
①②③④ [因为f (x+y)=f (x)+f (y)对任意x,y∈R恒成立.
令x=y=0,
所以f (0)=0.令x+y=0,所以y=-x,
所以f (0)=f (x)+f (-x).
所以f (-x)=-f (x),所以f (x)为奇函数.
因为f (x)在[-1,0]上为增函数,又f (x)为奇函数,
所以f (x)在[0,1]上为增函数.
由f (x+2)=-f (x)⇒f (x+4)=-f (x+2)
⇒f (x+4)=f (x),
所以周期T=4,
即f (x)为周期函数.
f (x+2)=-f (x)⇒f (-x+2)=-f (-x).
又因为f (x)为奇函数.
所以f (2-x)=f (x),
所以函数图像关于x=1对称.
由f (x)在[0,1]上为增函数,
又关于x=1对称,
所以f (x)在[1,2]上为减函数.
由f (x+2)=-f (x),
令x=0得f (2)=-f (0)=f (0).]
2.函数f (x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f (x1·x2)=f (x1)+f (x2).
(1)求f (1)的值;
(2)判断f (x)的奇偶性并证明你的结论;
(3)如果f (4)=1,f (x-1)<2,且f (x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.
[解] (1)因为对于任意x1,x2∈D有f (x1·x2)=f (x1)+f (x2),所以令x1=x2=1,得f (1)=2f (1),所以f (1)=0.
(2)f (x)为偶函数,证明如下:
f (x)定义域关于原点对称,令x1=x2=-1,有f (1)=f (-1)+f (-1),所以f (-1)=f (1)=0.
令x1=-1,x2=x有f (-x)=f (-1)+f (x),
所以f (-x)=f (x),所以f (x)为偶函数.
(3)依题设有f (4×4)=f (4)+f (4)=2,
由(2)知f (x)是偶函数,所以f (x-1)<2等价于f (|x-1|)<f (16).
又f (x)在(0,+∞)上是增函数,
所以0<|x-1|<16,解得-15<x<17且x≠1,
所以x的取值范围是(-15,1)∪(1,17).