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    2023届高考数学一轮复习作业函数性质的综合问题北师大版(答案有详细解析)

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    2023届高考数学一轮复习作业函数性质的综合问题北师大版(答案有详细解析)

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    这是一份2023届高考数学一轮复习作业函数性质的综合问题北师大版(答案有详细解析),共7页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    函数性质的综合问题

    一、选择题

    1.定义在R上的函数f (x)满足f (x+1)=f (x-1),且f (x)=其中aR,若f (-5)=f (4.5),则a=(  )

    A.0.5  B.1.5  C.2.5  D.3.5

    C [由f (x+1)=f (x-1),得f (x)是周期为2的周期函数,又f (-5)=f (4.5),所以f (-1)=f (0.5),即-1+a=1.5,所以a=2.5,故选C.]

    2.定义在R上的奇函数f (x)满足f (x+2)=-f (x),且在[0,1]上是减函数,则有(  )

    A.f f f

    B.f f f

    C.f f f

    D.f f f

    C [由f (x+2)=-f (x)及f (x)是奇函数得f f =-f f

    又函数f (x)在[-1,1]上是减函数,所以f f f ,即f f f ,故选C.]

    3.设f (x)是定义在[-2b,3+b]上的偶函数,且在[-2b,0]上为增函数,则f (x-1)f (3)的解集为(  )

    A.[-3,3] B.[-2,4]

    C.[-1,5] D.[0,6]

    B [因为f (x)是定义在[-2b,3+b]上的偶函数,

    所以有-2b+3+b=0,解得b=3,

    由函数f (x)在[-6,0]上为增函数,得f (x)在(0,6]上为减函数,故f (x-1)f (3)f (|x-1|)f (3)|x-1|3,故-2x4.]

    4.设奇函数f (x)定义在(-,0)(0,+)上,f (x)在(0,+)上为增函数,且f (1)=0,则不等式<0的解集为(  )

    A.(-1,0)(1,+)

    B.(-,-1)(0,1)

    C.(-,-1)(1,+)

    D.(-1,0)(0,1)

    D [奇函数f (x)定义在(-,0)(0,+)上,在(0,+)上为增函数,且f (1)=0,函数f (x)的图像关于原点对称,且过点(1,0)和(-1,0),且f (x)在(-,0)上也是增函数.函数f (x)的大致图像如图所示.

    f (-x)=-f (x),不等式<0可化为<0,即xf (x)<0.不等式的解集即为自变量与对应的函数值异号的x的范围,据图像可知x(-1,0)(0,1).]

    5.(2020·全国卷)设函数f (x)=x3,则f (x)(  )

    A.是奇函数,且在(0,+)单调递增

    B.是奇函数,且在(0,+)单调递减

    C.是偶函数,且在(0,+)单调递增

    D.是偶函数,且在(0,+)单调递减

    A [法一:函数f (x)的定义域为(-,0)(0,+),因为f (-x)=(-x)3=-x3=-=-f (x),所以函数f (x)为奇函数,排除C,D.因为函数yx3y=-在(0,+)上为增函数,所以f (x)=x3在(0,+)上为增函数,排除B,故选A.

    法二:函数f (x)的定义域为(-,0)(0,+),因为f (-x)=(-x)3=-x3=-=-f (x),所以函数f (x)为奇函数,排除C,D.当x(0,+)时,由f (x)=x3,得f (x)=3x2>0,所以f (x)=x3在(0,+)上为增函数,排除B,故选A.]

    6.(2020·全国卷)已知函数f (x)=sin x,则(  )

    A.f (x)的最小值为2

    B.f (x)的图像关于y轴对称

    C.f (x)的图像关于直线xπ对称

    D.f (x)的图像关于直线x对称

    D [由题意得sin x[-1,0)(0,1].对于A,当sin x(0,1]时,f (x)=sin x2=2,当且仅当sin x=1时取等号;当sin x[-1,0)时,f (x)=sin x=--2=-2,当且仅当sin x=-1时取等号,所以A错误.对于B,f (-x)=sin(-x)+=-=-f (x),所以f (x)是奇函数,图像关于原点对称,所以B错误.对于C,f (xπ)=sin(xπ)+=-f (πx)=sin(πx)+=sin x,则f (xπ)f (πx),f (x)的图像不关于直线xπ对称,所以C错误.对于D,f =sin=cos xf =sin=cos x,所以f f f (x)的图像关于直线x对称,所以D正确.故选D.]

    二、填空题

    7.已知f (x)是定义在R上的偶函数,且f (x+4)=f (x-2).若当x[-3,0]时,f (x)=6x,则f (919)=________.

    6 [f (x+4)=f (x-2),

    f (x+6)=f (x),f (x)的周期为6,

    919=153×6+1,f (919)=f (1).

    f (x)为偶函数,f (919)=f (1)=f (-1)=6.]

    8.定义在实数集R上的函数f (x)满足f (x)+f (x+2)=0,且f (4-x)=f (x).现有以下三个命题:

    8是函数f (x)的一个周期;f (x)的图像关于直线x=2对称;f (x)是偶函数.

    其中正确命题的序号是________.

    ①②③ [f (x)+f (x+2)=0,f (x+2)=-f (x),f (x+4)=-f (x+2)=f (x),f (x)的周期为4,故正确;又f (4-x)=f (x),所以f (2+x)=f (2-x),即f (x)的图像关于直线x=2对称,故正确;由f (x)=f (4-x)得f (-x)=f (4+x)=f (x),故正确.]

    9.定义在R上的奇函数f (x)满足f (-x)=f (3+x),f (2 020)=2,则f (1)=________.

    -2 [由f (-x)=f (3+x)得f (3+x)=-f (x),从而f (6+x)=f (x),即函数f (x)是周期为6的周期函数,所以f (2 020)=f (4)=f (-1)=-f (1)=2.

    所以f (1)=-2.]

    三、解答题

    10.设f (x)是定义域为R的周期函数,最小正周期为2,且f (1+x)=f (1-x),当-1x0时,f (x)=-x.

    (1)判断f (x)的奇偶性;

    (2)试求出函数f (x)在区间[-1,2]上的表达式.

    [解] (1)f (1+x)=f (1-x),f (-x)=f (2+x).

    f (x+2)=f (x),f (-x)=f (x).

    f (x)的定义域为Rf (x)是偶函数.

    (2)当x[0,1]时,-x[-1,0],

    f (x)=f (-x)=x

    从而当1x2时,-1x-20,

    f (x)=f (x-2)=-(x-2)=-x+2.

    f (x)=

    11.设函数f (x)是(-,+)上的奇函数,f (x+2)=-f (x),当0x1时,f (x)=x.

    (1)求f (π)的值;

    (2)当-4x4时,求函数f (x)的图像与x轴所围成图形的面积.

    [解] (1)由f (x+2)=-f (x)得,

    f (x+4)=f [(x+2)+2]=-f (x+2)=f (x),

    所以f (x)是以4为周期的周期函数,

    所以f (π)=f (-1×4+π)=f (π-4)=-f (4-π)=-(4-π)=π-4.

    (2)由f (x)是奇函数且f (x+2)=-f (x),

    f [(x-1)+2]=-f (x-1)=f [-(x-1)],

    f (1+x)=f (1-x).

    故函数yf (x)的图像关于直线x=1对称.

    又当0x1时,f (x)=x,且f (x)的图像关于原点成中心对称,则f (x)的图像如图所示.

    当-4x4时,设f (x)的图像与x轴围成的图形面积为S,则S=4SOAB=4×=4.

    1.已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x+1)=f (1-x),且当x[0,1]时,f (x)=2xm,则f (2 019)=(  )

    A.1  B.-1  C.2  D.-2

    B [f (x)是定义在R上的奇函数,且f (x+1)=f (1-x),

    f (x+2)=f (-x)=-f (x),

    f (x+4)=f (x),

    f (x)的周期为4.

    x[0,1]时,f (x)=2xm

    f (0)=1-m=0,

    m=1,x[0,1]时,f (x)=2x-1,

    f (2 019)=f (-1+505×4)=f (-1)=-f (1)=-1.故选B.]

    2.定义在R上的函数f (x)满足:对任意xRf (x+4)=f (x);f (x)在[0,2]上是增函数;f (x+2)的图像关于y轴对称.则下列结论正确的是(  )

    A.f (7)<f (6.5)<f (4.5)

    B.f (7)<f (4.5)<f (6.5)

    C.f (4.5)<f (6.5)<f (7)

    D.f (4.5)<f (7)<f (6.5)

    D [由知函数f (x)的周期为4,由f (x+2)是偶函数,则有f (-x+2)=f (x+2),即函数f (x)图像的一条对称轴是x=2,由知函数f (x)在[0,2]上单调递增,则在[2,4]上单调递减,且在[0,4]上越靠近x=2,对应的函数值越大,又f (7)=f (3),f (6.5)=f (2.5),f (4.5)=f (0.5),由以上分析可得f (0.5)<f (3)<f (2.5),即f (4.5)<f (7)<f (6.5).故选D.]

    3.已知函数yf (x)在定义域[-1,1]上既是奇函数又是减函数.

    (1)求证:对任意x1x2[-1,1],有[f (x1)+f (x2)]·(x1x2)0;

    (2)若f (1-a)+f (1-a2)<0,求实数a的取值范围.

    [解] (1)证明:若x1x2=0,显然不等式成立.

    x1x2<0,则-1x1<-x21,

    因为f (x)在[-1,1]上是减函数且为奇函数,

    所以f (x1)>f (-x2)=-f (x2),

    所以f (x1)+f (x2)>0.

    所以[f (x1)+f (x2)](x1x2)<0成立.

    x1x2>0,则1x1>-x2-1,

    同理可证f (x1)+f (x2)<0.

    所以[f (x1)+f (x2)](x1x2)<0成立.

    综上得证,对任意x1x2[-1,1],有[f (x1)+f (x2)]·(x1x2)0恒成立.

    (2)因为f (1-a)+f (1-a2)<0f (1-a2)<-f (1-a)=f (a-1),所以由f (x)在定义域[-1,1]上是减函数,得

    解得0a<1.

    故所求实数a的取值范围是[0,1).

    1.定义在R上的函数f (x)满足f (xy)=f (x)+f (y),f (x+2)=-f (x)且f (x)在[-1,0]上是增函数,给出下列几个命题:

    f (x)是周期函数;

    f (x)的图像关于x=1对称;

    f (x)在[1,2]上是减函数;

    f (2)=f (0).

    其中正确命题的序号是________.(请把正确命题的序号全部写出来)

    ①②③④ [因为f (xy)=f (x)+f (y)对任意xyR恒成立.

    xy=0,

    所以f (0)=0.令xy=0,所以y=-x

    所以f (0)=f (x)+f (-x).

    所以f (-x)=-f (x),所以f (x)为奇函数.

    因为f (x)在[-1,0]上为增函数,又f (x)为奇函数,

    所以f (x)在[0,1]上为增函数.

    f (x+2)=-f (x)f (x+4)=-f (x+2)

    f (x+4)=f (x),

    所以周期T=4,

    f (x)为周期函数.

    f (x+2)=-f (x)f (-x+2)=-f (-x).

    又因为f (x)为奇函数.

    所以f (2-x)=f (x),

    所以函数图像关于x=1对称.

    f (x)在[0,1]上为增函数,

    又关于x=1对称,

    所以f (x)在[1,2]上为减函数.

    f (x+2)=-f (x),

    x=0得f (2)=-f (0)=f (0).]

    2.函数f (x)的定义域为D={x|x0},且满足对于任意x1x2D,有f (x1·x2)=f (x1)+f (x2).

    (1)求f (1)的值;

    (2)判断f (x)的奇偶性并证明你的结论;

    (3)如果f (4)=1,f (x-1)<2,且f (x)在(0,+)上是增函数,求x的取值范围.

    [解] (1)因为对于任意x1x2Df (x1·x2)=f (x1)+f (x2),所以令x1x2=1,得f (1)=2f (1),所以f (1)=0.

    (2)f (x)为偶函数,证明如下:

    f (x)定义域关于原点对称,令x1x2=-1,有f (1)=f (-1)+f (-1),所以f (-1)=f (1)=0.

    x1=-1,x2xf (-x)=f (-1)+f (x),

    所以f (-x)=f (x),所以f (x)为偶函数.

    (3)依题设有f (4×4)=f (4)+f (4)=2,

    由(2)知f (x)是偶函数,所以f (x-1)<2等价于f (|x-1|)<f (16).

    f (x)在(0,+)上是增函数,

    所以0<|x-1|<16,解得-15<x<17且x1,

    所以x的取值范围是(-15,1)(1,17).

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