2023届高考数学一轮复习作业利用导数研究函数的零点问题北师大版（答案有详细解析）

这是一份2023届高考数学一轮复习作业利用导数研究函数的零点问题北师大版（答案有详细解析），共3页。
利用导数研究函数的零点问题1．已知函数f (x)＝x3＋bx＋axln x，x∈(0，＋∞)，a，b∈R．(1)当a＝0时，讨论函数f (x)的单调性；(2)当a＝－1时，函数f (x)在上有零点，求实数b的取值范围．[解]　(1)f (x)的定义域为(0，＋∞)， 当a＝0时，函数f (x)＝x3＋bx，f ′(x)＝3x2＋b，x∈(0，＋∞)．当b≥0时，f ′(x)＝3x2＋b＞0恒成立，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增．当b＜0时，令f ′(x)＝0，得x1＝，x2＝－(舍去)，当x＞时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，当0＜x＜时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减．综上所述，当b≥0时，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增；当b＜0时，函数f (x)在上单调递增，在上单调递减．(2)当a＝－1时，函数f (x)＝x3＋bx－xln x，函数f (x)在上有零点，即方程f (x)＝0在上有解，即b＝ln x－x2在上有解．令g(x)＝ln x－x2，x∈，则g′(x)＝－2x＝，令g′(x)＝＜0，得＜x≤2，则函数g(x)在上单调递减；令g′(x)＝＞0，得≤x＜，则函数g(x)在上单调递增．又g＝－－ln 2，g＝－－ln 2，g(2)＝－4＋ln 2，g－g(2)＝－2ln 2＞－2＞0，所以g(x)min＝g(2)＝－4＋ln 2，g(x)max＝g＝－－ln 2．故实数b的取值范围是．2．(2021·石家庄模拟)已知函数f (x)＝2a2ln x－x2(a＞0)．(1)当a＝1时，求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x)的单调区间；(3)讨论函数f (x)在区间(1，e2)内零点的个数(e为自然对数的底数)．[解]　(1)当a＝1时，f (x)＝2ln x－x2，∴f ′(x)＝－2x，∴f ′(1)＝0，又f (1)＝－1，∴曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为y＋1＝0．(2)∵f (x)＝2a2ln x－x2，∴f ′(x)＝－2x＝．∵x＞0，a＞0，∴当0＜x＜a时，f ′(x)＞0；当x＞a时，f ′(x)＜0．∴f (x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减．(3)由(2)得f (x)max＝f (a)＝a2(2ln a－1)．讨论函数f (x)的零点情况如下：①当a2(2ln a－1)＜0，即0＜a＜时，函数f (x)无零点，∴函数f (x)在(1，e2)内无零点．②当a2(2ln a－1)＝0，即a＝时，函数f (x)在(0，＋∞)内有唯一零点a，而1＜a＝＜e2，∴函数f (x)在(1，e2)内有一个零点．③当a2(2ln a－1)＞0，即a＞时，f (1)＝－1＜0，f (a)＝a2(2ln a－1)＞0，f (e2)＝2a2ln e2－e4＝4a2－e4＝(2a－e2)·(2a＋e2)．当2a－e2＜0，即＜a＜时，f (e2)＜0，由函数的单调性可知，函数f (x)在(1，a)内有唯一零点x1，在(a，e2)内有唯一零点x2，∴f (x)在(1，e2)内有两个零点．当2a－e2≥0，即a≥时，f (e2)≥0，由函数的单调性可知，f (x)在(1，e2)内只有一个零点．综上所述，当0＜a＜时，函数f (x)在(1，e2)内无零点；当a＝或a≥时，函数f (x)在(1，e2)内有一个零点；当＜a＜时，函数f (x)在(1，e2)内有两个零点．3．设函数f (x)＝－x2＋ax＋ln x(a∈R)．(1)当a＝－1时，求函数f (x)的单调区间；(2)若函数f (x)在上有两个零点，求实数a的取值范围．[解]　(1)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f ′(x)＝－2x－1＋＝，令f ′(x)＝0，得x＝(负值舍去)，当0＜x＜时，f ′(x)＞0；当x＞时，f ′(x)＜0．∴f (x)的单调递增区间为，单调递减区间为．(2)令f (x)＝－x2＋ax＋ln x＝0，得a＝x－．令g(x)＝x－，其中x∈，则g′(x)＝1－＝，令g′(x)＝0，得x＝1，当≤x＜1时，g′(x)＜0；当1＜x≤3时，g′(x)＞0，∴g(x)的单调递减区间为，单调递增区间为(1，3]，∴g(x)min＝g(1)＝1，∵函数f (x)在上有两个零点，g＝3ln 3＋，g(3)＝3－，3ln 3＋＞3－，∴实数a的取值范围是．