专题1.6全等三角形的应用（重难点培优）-【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册 题典【苏科版】

【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册 题典【苏科版】

专题1.6全等三角形的应用（重难点培优）

【名师点睛】

全等三角形在实际问题中的应用

一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．

【典例剖析】

【例1】（2021秋•灌云县月考）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：

甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可．

乙：如图②，先确定直线AB，过点B作直线BE，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．

（1）甲、乙两同学的方案哪个可行？

（2）请说明方案可行的理由．

【分析】（1）甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；

（2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学的方案只能知道两三角形的两边相等，不能判定△ABD与△CBD全等，故方案不可行．

【解析】（1）甲同学的方案可行；

（2）甲同学方案：

在△ABO和△CDO中，

，

∴△ABO≌△CDO（SAS），

∴AB＝CD；

乙同学方案：

在△ABD和△CBD中，

只能知道DC＝DA，DB＝DB，不能判定△ABD与△CBD全等，故方案不可行．

【变式1】（2020秋•东海县期末）小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.6m和2m，∠BOC＝90°．

（1）△OBD与△COE全等吗？请说明理由；

（2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？

【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠COE＝∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD；

（2）由全等三角形的性质得出CE＝OD，OE＝BD，求出DE的长则可得出答案．

【解析】（1）△OBD与△COE全等．

理由如下：

由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，

∵∠BOC＝90°，

∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．

∴∠COE＝∠OBD，

在△COE和△OBD中，

，

∴△COE≌△OBD（AAS）；

（2）∵△COE≌△OBD，

∴CE＝OD，OE＝BD，

∵BD、CE分别为1.6m和2m，

∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝2﹣1.6＝0.4（m），

∵AD＝1.2m，

∴AE＝AD+DE＝1.6（m），

答：爸爸是在距离地面1.6m的地方接住小明的．

【变式2】（2021秋•广陵区校级期末）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语．具体信息如下：如图，AB∥PM∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足为D．已知CD＝16米．请根据上述信息求标语AB的长度．

【分析】由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABP＝∠CDP，利用ASA定理可得，△ABP≌△CDP，由全等三角形的性质可得结果．

【解析】∵AB∥CD，

∴∠ABP＝∠CDP，

∵PD⊥CD，

∴∠CDP＝90°，

∴∠ABP＝90°，即PB⊥AB，

∵相邻两平行线间的距离相等，

∴PD＝PB，

在△ABP与△CDP中，

，

∴△ABP≌△CDP（ASA），

∴CD＝AB＝16米．

【满分训练】

一．选择题（共10小题）

1．（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（　　）

A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC，∠B D．∠A，∠B，BC

【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．

【解析】A．利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；

B．利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；

C．AB，AC，∠B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；

D．根据∠A，∠B，BC，三角形形状确定，故此选项不合题意；

故选：C．

2．（2021秋•东台市期末）如图，要测量河两岸相对的A、B两点的距离，可以在与AB垂直的河岸BF上取C、D两点，且使BC＝CD，从点D出发沿与河岸BF的垂直方向移动到点E，使点E与A，C在一条直线上，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（　　）

A．ASA B．HL C．SAS D．SSS

【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．

【解析】因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，

所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．

故选：A．

3．（2021秋•邳州市期中）如图，一块三角形的玻璃碎成3块（图中所标1、2、3），小华带第3块碎片去玻璃店，购买形状相同、大小相等的新玻璃，这是利用三角形全等中的（　　）

A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS

【分析】根据题意应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．

【解析】1、2块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，

只有第3块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．

故选：B．

4．（2021秋•灌云县月考）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5厘米，EF＝6厘米，圆形容器的壁厚是（　　）

A．5厘米 B．6厘米 C．2厘米 D．厘米

【分析】连接AB，只要证明△AOB≌△DOC，可得AB＝CD，即可解决问题．

【解析】连接AB．

在△AOB和△DOC中，

，

∴△AOB≌△DOC（SAS），

∴AB＝CD＝5厘米，

∵EF＝6厘米，

∴圆柱形容器的壁厚是×（6﹣5）＝（厘米），

故选：D．

5．（2021秋•如皋市月考）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B之间的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，这时，可得△ABC≌△EDC，这时测得DE的长就是AB的长．判定△ABC≌△EDC最直接的依据是（　　）

A．HL B．SAS C．ASA D．SSS

【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．

【解析】因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：BC＝CD，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD（对顶角相等），

所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．

故选：C．

6．（2021秋•鼓楼区校级月考）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

【分析】由作图过程可得MO＝NO，NC＝MC，再加上公共边CO＝CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．

【解析】∵在△ONC和△OMC中，

∴△MOC≌△NOC（SSS），

∴∠BOC＝∠AOC，

故选：A．

7．（2021秋•玄武区校级期末）如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．

【解析】根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．

故选：C．

8．（2021秋•东台市期中）如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．

【解析】根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．

故选：C．

9．（2021秋•北海期末）把等腰直角三角形ABC，按如图所示立在桌上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点距离桌面5cm和3cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离DE的长为（　　）

A．4cm B．6cm C．8cm D．求不出来

【分析】利用互余关系找两个三角形对应角相等，根据等腰直角三角形找对应边相等，两个对应直角相等，判断三角形全等，从而AE＝BD，AD＝CE，DE＝AE+AD＝BD+CE＝3+5＝8．

【解析】∵∠CEA＝∠ADB＝∠CAB＝90°，

∴∠ECA+∠EAC＝∠EAC+∠DAB＝∠DAB+∠DBA＝90°，

∠ECA＝∠DAB，∠EAC＝∠DBA，

又AC＝AB，

∴△AEC≌△BAD，

∴AE＝BD，AD＝CE，

∴DE＝AE+AD＝BD+CE＝3+5＝8．

故选：C．

10．（2020春•肃州区期末）在测量一个小口圆柱形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，AD＝BC，测得AB＝a，EF＝b，圆柱形容器的壁厚是（　　）

A．a B．b C．b﹣a D．（b﹣a）

【分析】连接AB，只要证明△AOB≌△DOC，可得AB＝CD，即可解决问题．

【解析】连接AB．

在△AOB和△DOC中，

，

∴△AOB≌△DOC，

∴AB＝CD＝a，

∵EF＝b，

∴圆柱形容器的壁厚是（b﹣a），

故选：D．

二．填空题（共6小题）

11．（2021秋•沛县期末）如图，小明用“X”型转动钳测量圆柱形小口容器壁的厚度．已知OA＝OD，OB＝OC，AB＝6cm，EF＝8cm，则该容器壁的厚度为 　1　cm．

【分析】只要证明△AOB≌△DOC，可得AB＝CD，即可解决问题．

【解析】在△AOB和△DOC中，

，

∴△AOB≌△DOC（SAS），

∴AB＝CD＝6cm，

∵EF＝8cm，

∴圆柱形容器的壁厚是×（8﹣6）＝1（cm），

故答案为：1．

12．（2020秋•梁溪区校级期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第　2　块．

【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．

【解析】1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，

只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．

故答案为：2．

13．（2021秋•邗江区校级月考）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里得到△MBC≌△ABC的依据是 　ASA　．

【分析】利用全等三角形的判定方法进行分析即可．

【解析】在△ABC和△MBC中，

，

∴△MBC≌△ABC（ASA），

故答案为：ASA．

14．（2021秋•沭阳县校级月考）如图，AC＝DB，AO＝DO，CD＝20m，则A，B两点间的距离为 　20　m．

【分析】首先证明△AOB和△DOC全等，再根据全等三角形对应边相等可得答案．

【解析】∵AC＝DB，AO＝DO，

∴AC﹣AO＝BD﹣OD，

即OB＝OC，

在△AOB和△DOC中，

，

∴△AOB≌△DOC（SAS），

∴AB＝CD＝20m，

故答案为：20．

15．（2020秋•江阴市校级月考）如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降30cm时，这时小明离地面的高度是　80　cm．

【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．

【解析】在△OCF与△ODG中，

，

∴△OCF≌△ODG（AAS），

∴CF＝DG＝30（cm），

∴小明离地面的高度是50+30＝80（cm），

故答案为：80．

16．（2019春•海淀区校级期末）如图所示，要测量池塘AB宽度，在池塘外选取一点P，连接AP，BP并分别延长，使PC＝PA，PD＝PB，连接CD．测得CD长为10m，则池塘宽AB为　10　m．理由是　全等三角形的对应边相等　．

【分析】这种设计方案利用了“边角边”判断两个三角形全等，利用对应边相等，得AB＝CD．方案的操作性强，需要测量的线段和角度在陆地一侧即可实施．

【解析】在△APB和△DPC中

，

∴△APB≌△DPC（SAS）；

∴AB＝CD＝10米（全等三角形的对应边相等）．

故池塘宽AB为10m．理由是全等三角形的对应边相等．

故答案为：10，全等三角形的对应边相等．

三．解答题（共4小题）

17．（2018秋•灌云县月考）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：

①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；

②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；

③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；

④测得DE的长为5米．

求：（1）河的宽度是多少米？

（2）请你证明他们做法的正确性．

【分析】（1）根据全等三角形对应角相等可得AB＝DE；

（2）利用“角边角”证明Rt△ABC和Rt△EDC全等，再根据全等三角形对应边相等解答．

【解答】（1）解：河的宽度是5m；

（2）证明：由作法知，BC＝DC，∠ABC＝∠EDC＝90°，

在Rt△ABC和Rt△EDC中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA），

∴AB＝ED，

即他们的做法是正确的．

18．（2020•如皋市一模）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．为什么？

【分析】由垂线的定义可得出∠B＝∠EDC＝90°，结合BC＝DC，∠ACB＝∠ECD，即可证出△ABC≌△EDC（ASA），利用全等三角形的性质可得出AB＝ED．

【解析】DE＝AB，理由如下：

∵AB⊥BF，DE⊥BF，

∴∠B＝∠EDC＝90°．

在△ABC和△EDC中，，

∴△ABC≌△EDC（ASA），

∴AB＝ED．

19．（2019秋•邗江区校级月考）如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D．（DE≠CD）

（1）线段　DE　的长度就是A、B两点间的距离

（2）请说明（1）成立的理由．

【分析】（1）根据题意确定DE＝AB；

（2）根据已知条件得到两个三角形全等，利用全等三角形的性质得到结论即可．

【解析】（1）线段DE的长度就是A、B两点间的距离；

故答案为：DE；

（2）∵AB⊥BC，DE⊥BD

∴∠ABC＝∠EDC＝90°

又∵∠ACB＝∠DCE，BC＝CD

∴△ABC≌△CDE（ASA）

∴AB＝DE．

20．（2021春•宣汉县期末）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．

（1）求证：△ABC≌△DEF；

（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．

【分析】（1）先证明∠ABC＝∠DEF，再根据ASA即可证明．

（2）根据全等三角形的性质即可解答．

【解答】（1）证明：∵AB∥DE，

∴∠ABC＝∠DEF，

在△ABC与△DEF中

∴△ABC≌△DEF（ASA）；

（2）∵△ABC≌△DEF，

∴BC＝EF，

∴BF+FC＝EC+FC，

∴BF＝EC，

∵BE＝10m，BF＝3m，

∴FC＝10﹣3﹣3＝4m．