2021-2022学年重庆市梁平区南华初中教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年重庆市梁平区南华初中教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年重庆市梁平区南华初中教育集团八年级（下）期中数学试卷  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，共48分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 下列运算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 下列四个命题中，真命题是(    )A. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B. 对角线垂直相等的四边形是菱形
C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D. 四边都相等的四边形是正方形如果，那么取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 三角形的三边为，，，由下列条件不能判断它是直角三角形的是(    )A. ：：：： B.
C.  D. ：：：：若代数式有意义，则实数的取值范围是(    )A.  B. 且 C.  D. 且如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为的菱形，剪口与折痕所成的角的度数为(    )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或估计的值应在(    )A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间如图，每个小正方形的边长为，、、是小正方形的顶点，则的度数为(    )A.  B.  C.  D. 九章算术中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？
译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为尺，则可列方程为(    )A.  B.
C.  D. 如图，正方形的边长为，点在边上，且，点是边上一动点，则线段的最小值为(    )A.
B.
C.
D. 如图，正方形中，点、、分别是、、的中点，、交于，连接、下列结论：；；；其中正确的有(    )A.
B.
C.
D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，共24分）计算： ______ ．若最简二次根式与是同类根式，则______．若菱形的周长为，一个内角为，则菱形的面积为______．设的整数部分是，小数部分是，求的值为______ ．如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为______．
 如图，在平面直角坐标系中有一边长为的正方形，边、分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的纵坐标为______ ．
  三、解答题（本大题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
计算：
 本小题分
若，都是实数，且，求的立方根．
先化简在求值：，其中．本小题分
如图，菱形中，，交于点．
尺规作图：过点作的垂线，交于不写作法，保留作图痕迹，并标明字母
判断线段和的数量关系，并证明．
本小题分
等腰三角形的一边长为，周长为，求这个等腰三角形的腰长．本小题分
“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过千米小时，如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方米处，过了秒后，小汽车行驶到处，测得小汽车与车速检测仪间距离为米，
求的长；
这辆小汽车超速了吗？
本小题分
已知：如图，在菱形中，为边的中点，与对角线交于点，过作于点，．
若，求的长；
求证：．
本小题分
勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉吋期算书周髀算经就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：，，；，，；，，；，，；，，等等都是勾股数．
小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差．如，，中，，；，，中，，；请证明：，为正整数，且，若有一个直角三角形斜边长为，有一条直角长为，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；
有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长，且和均为正整数，用含的代数式表示，并求出和的值；
若，，其中，、、、均为正整数．证明：存在一个整数直角三角形，其斜边长为．本小题分
四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．
如图，求证：矩形是正方形；
若，，求的长度；
当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：．是最简二次根式，故本选项符合题意；
B.的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C.的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以三个条件的二次根式是最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式，分母中不含有根号．
 2.【答案】 【解析】解：、，所以选项错误，不符合题意；
B、，所以选项错误，不符合题意；
C、与不能合并，所以选项错误，不符合题意；
D、，所以选项正确，符合题意．
故选：．
直接利用同底数幂的乘法、算术平方根、二次根式的加减运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法、算术平方根、二次根式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 3.【答案】 【解析】解：、根据菱形的判定方法，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故此选项错误；
B、两条对角线相等且互相垂直的四边形有可能是等腰梯形，故此选项错误；
C、根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故此选项正确；
D、根据四边都相等的四边形是菱形，故此选项错误．
故选：．
根据菱形、矩形、等腰梯形的判定与性质分别判断得出即可．
此题主要考查了菱形、矩形的判定等知识，熟练掌握其性质是解题关键．
 4.【答案】 【解析】解：，
，
解得．
故选A．
根据二次根式的被开方数是一个的数，可得不等式，解即可．
本题考查了二次根式的化简与性质．解题的关键是要注意被开方数的取值范围．
 5.【答案】 【解析】解：、因为，所以不是直角三角形；
B、因为即，所以是直角三角形；
C、因为，即，所以是直角三角形；
D、因为，所以是直角三角形．
故选：．
根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．
 6.【答案】 【解析】【解析】
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
解：由题意得，且，
解得：且．
故选：．
 7.【答案】 【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，．
剪口与折痕所成的角的度数应为或．
故选：．
折痕为与，，根据菱形的性质：菱形的对角线平分对角，可得，易得，所以剪口与折痕所成的角的度数应为或．
此题主要考查菱形的判定以及折叠问题，关键是熟练掌握菱形的性质：菱形的对角线平分每一组对角．
 8.【答案】 【解析】解：，
，
，即，
，即，
故选：．
估算确定出所求的范围即可．
此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算的方法是解本题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：根据勾股定理可以得到：，．
．
．
是等腰直角三角形．
．
故选：．
 10.【答案】 【解析】解：根据勾股定理可得：
，
故选：．
根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可列出关于门高、宽、对角线长的方程．
本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．
 11.【答案】 【解析】【分析】
此题考查轴对称问题，勾股定理，
要使最小，首先应分析点的位置．根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．知点的对称点是点，连接交于点，此时最小值即是的长．
【解答】
解：根据题意，连接、，则就是所求的最小值，

在中，，
根据勾股定理得：，
即的最小值是；
故选：．  12.【答案】 【解析】【分析】
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
连接，由四边形是正方形与点、、分别是、、的中点，易证得≌与，根据全等三角形的性质，易证得与，根据垂直平分线的性质，即可证得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得，根据等腰三角形的性质，即可得则问题得解．
【解答】
解：四边形是正方形，
，，
点、、分别是、、的中点，
，
，
，
，
，
，故正确；

在中，是边的中点，
，故正确；

连接，

同理可得：，
，
，
垂直平分，
，故正确；

，
同理：，
，
，
，
，
故正确．
故选D．  13.【答案】 【解析】解：原式．
故答案为：．
首先化简二次根式，进而合并求出即可．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
 14.【答案】 【解析】解：最简二次根式与是同类根式，
，
，
解得：，．
．
故答案为：．
结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．
本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
 15.【答案】 【解析】解：如图，菱形的周长为，
边长，
一个内角，
是等边三角形，
过点作于点，
则，
根据勾股定理，，
所以，菱形的面积为．
故答案为：．
作出草图，根据菱形的周长先求出边长，然后判断出是等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出高，再利用菱形的面积公式计算即可得解．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定，求出菱形边上的高是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：，
即，
，，
，
故答案为：．
求出的范围：，得出，，代入求出即可．
本题考查了无理数的大小和实数的运算的应用，解此题的关键是求出、的值，题目具有一定的代表性，难度也适中．
 17.【答案】 【解析】解：四边形是矩形，，
，
是翻折而成，
，，是直角三角形，
，
在中，，
设，
在中，，即，
解得，则．
故答案为：．
先根据矩形的特点求出的长，再由翻折变换的性质得出是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的长．
本题考查了翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
 18.【答案】 【解析】解：正方形边长为，
，
正方形是正方形的对角线为边，
，
点坐标为，
同理可知，
点坐标为，
同理可知，点坐标为，
点坐标为，点坐标为，
，，
，，
由规律可以发现，每经过次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
，
的横纵坐标符号与点相同，横纵坐标相同，且都在第三象限，
的坐标为
故答案为：
首先求出、、、、、、、、的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出点的坐标．
本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，此题难度较大．
 19.【答案】解：



 【解析】首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 20.【答案】解：，都是实数，且，
，，
解得，
，


；



，
当时，
原式
． 【解析】由二次根式有意义的条件可得：，从而可求得，再把相应的值代入所求的式子进行运算即可；
利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 21.【答案】解：如图，为所作；

．
理由如下：四边形为菱形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
． 【解析】根据过直线外一点作已知直线的垂线画出；
根据菱形的性质得到，，则通过证明≌得到．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的性质．
 22.【答案】解：是腰长时，底边是，
，
此时不能组成三角形；
是底边时，腰长为，
能组成三角形，
综上所述，这个等腰三角形的腰长． 【解析】分是腰长和底边两种情况讨论求解即可．
本题主要考查了二次根式的应用，等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形．
 23.【答案】解：在直角中，已知米，米，
且为斜边，则米．
答：小汽车在秒内行驶的距离为米；

小汽车在秒内行驶了米，所以平均速度为米秒，
米秒千米时，
因为，
所以这辆小汽车超速了．
答：这辆小汽车的平均速度大于千米时，故这辆小汽车超速了． 【解析】在直角三角形中，已知，根据勾股定理即可求出小汽车秒内行驶的距离；
根据小汽车在两秒内行驶的距离可以求出小汽车的平均速度，求得数值与千米时比较，即可计算小汽车是否超速．
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，难度适中．题中正确的运用勾股定理计算的长度是解题的关键．
 24.【答案】解：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
证明：如图，为边的中点，

，
，
在菱形中，平分，
，
在和中，
，
≌，
，
延长交的延长线于点，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
由图形可知，，
． 【解析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
根据菱形的对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，所以，根据等角对等边的性质可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，然后求出的长度，即为菱形的边长的长度；
先利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，延长交于点，然后证明，根据等角对等边的性质可得，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，最后结合图形即可得证．
 25.【答案】解：证明：

，为正整数，且，
，，均为正整数
该直角三角形一定为“整数直角三角形”；
由勾股定理得：

由题意可知：，
，
和均为正整数
的可能值为：，，，．
当时，，不是正整数，故不符合题意；
当时，，不是正整数，故不符合题意；
当时，，不是正整数，故不符合题意；
当时，，是正整数，此时，，，
，

符合题意．
；，．
证明：观察发现，当，时，，
，

存在一个整数直角三角形，其斜边长为． 【解析】用平方差公式因式分解，并化简，结合勾股定理的逆定理可得答案；
由勾股定理可得，的关系式，变形可用含的代数式表示出；再根据的范围分别代值验证，可求得；从而可得；
对常见的勾股数要熟悉，然后观察代值验证即可．
本题考查了勾股数的综合应用，对勾股定理及其逆定理以及常见的勾股数非常熟悉，是解题的关键．
 26.【答案】解：证明：作于，于，

，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
矩形是正方形；

如图中，

在中．，
，
，
点与重合，此时是等腰直角三角形，易知．
当与的夹角为时，，
当与的夹角为时，
综上所述，或． 【解析】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
作于，于，证明≌，得到，根据正方形的判定定理证明即可；
通过计算发现是中点，点与重合，是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
分两种情形考虑问题即可．
【解答】
解：见答案；
见答案；
如图，当与的夹角为时，过点作，交于点，

，，
，
，
，
；
如图，当与的夹角为时，设与交于点，

在与中，，，
，
即，
综上，当与的夹角为时，；
当与的夹角为时，．
故答案为：当与的夹角为时，；
当与的夹角为时，．