2021-2022学年重庆市云阳县梯城教育联盟八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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2021-2022学年重庆市云阳县梯城教育联盟八年级（下）期中数学试卷一．选择题（本题共12小题，共48分）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是A.  B.  C.  D. 以下运算错误的是A.  B.
C.  D. 下列各式中是最简二次根式的是A.  B.  C.  D. 估计的值在A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间若，则等于A.  B.  C.  D. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是A. 对角线互相平分 B. 对角相等
C. 对边相等 D. 对角线相等下列命题中错误的是A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 四条边都相等的四边形是菱形
C. 矩形的对角线相等
D. 对角线相等的四边形是矩形观察下列各式规律：；；；；若则的值为A.  B.  C.  D. 如图，▱中，对角线、相交于点，交于点，连接，若▱的周长为，则的周长为A.
B.
C.
D. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，若，则的度数是
A.  B.  C.  D. 若数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数的和为A.  B.  C.  D. 如图，在菱形中，，点、分别是、上任意的点不与端点重合，且，连接与相交于点，连接与相交于点给出如下几个结论：：≌；与一定不垂直；的大小为定值其中结论正确的是 B.  C.  D. 二．填空题（本题共4小题，共16分）若，则______．三角形的三边长，，满足，则此三角形的形状是______三角形．已知，菱形中，对角线，，则此菱形的面积为______．如图，在▱中，为的中点，，垂足为，，，______．
  三．计算题（本题共1小题，共8分）计算：
；
．四．解答题（本题共8小题，共78分）先化简，再求值：，其中．已知如图，四边形是平行四边形．
尺规作图：作的角平分线交的延长线于，交于不写作法和证明，但要保留作图痕迹．
请在的情况下，求证：．
如图，在▱中，点、分别在边、的延长线上，且，分别与、交于点、求证：．
如图，为矩形对角线的交点，，．

试判断四边形的形状，并说明理由；
若，，求四边形的面积．阅读下列材料，然后回答问题
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，我们可以将其分母有理化：；
还可以用以下方法分母有理化：．
请用不同的方法分母有理化：；
化简：．为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用元购进乒乓球若干盒，第二次又用元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了盒．
求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？
若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于元，则每盒乒乓球的售价至少是多少元？如果一个正整数的各位数字都相同，我们称这样的数为“同花数”，比如：，，，，对任意一个三位数，如果满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“异花数”将一个“异花数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为如，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到这三个新三位数的和，是一个“同花数”．
计算：，，并判断它们是否为“同花数”；
若“异花数”中、都是正整数，，，且为最大的三位“同花数”，求的值．已知正方形，点是对角线所在直线上的动点，点在边所在直线上，且随着点的运动而运动，总成立．
如图，当点在对角线上时，请你通过测量、观察，猜想与有怎样的关系？直接写出结论不必证明；
如图，当点运动到的延长线上时，中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
如图，当点运动到的反向延长线上时，请你利用图画出满足条件的图形，并判断此时与有怎样的关系？直接写出结论不必证明

答案和解析 1.【答案】【解析】解：若二次根式在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故选：．
根据二次根式的概念，形如的式子叫做二次根式，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
 2.【答案】【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式的相应的运算法则对各项进行分析即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 3.【答案】【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：．
利用最简二次根式定义判断即可．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
 4.【答案】【解析】解：，
，
则，即和之间，
故选：．
估算得出所求范围即可．
此题考查了估算无理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键．
 5.【答案】【解析】【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解决问题的关键．先根据 把二次根式开方，得到 ，再计算结果即可．
【解答】解： ，




．
故选： ．   6.【答案】【解析】解：、矩形、平行四边形的对角线都是互相平分的．，故本选项不符合；
B、矩形、平行四边形的对角都是相等的，故本选项不符合；
C、矩形、平行四边形的对边都是相等的，故本选项不符合；
D、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，故本选项符合；
故选：．
根据矩形的性质、平行四边形的性质即可判断；
本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．
 7.【答案】【解析】解：、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，所以选项的说法正确；
B、四条边都相等的四边形是菱形，所以选项的说法正确；
C、矩形的对角线相等，所以选项的说法正确；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，所以选项的说法错误．
故选：．
根据平行四边形的判定对进行判断；根据菱形的判定对进行判断；根据矩形的性质对进行判断；根据矩形的判定方法对进行判断．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
 8.【答案】【解析】解：：；
；
；

，
，
，，
．
故选：．
观察式子可得到第个式子的整数部分为，故第个式子为，可得、的值，问题可解．
本题考查了规律型：数字的变化类，根据已知数据得出数字之间的变化规律是解题关键．
 9.【答案】【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
▱的周长为，
，
，
是线段的中垂线，
，
的周长，
故选：．
先判断出是的中垂线，得出，从而可得出的周长，再由▱的周长为，即可得出答案．
此题考查了平行四边形的性质及线段的中垂线的性质，解答本题的关键是判断出是线段的中垂线．
 10.【答案】【解析】【分析】
此题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线以及等腰三角形的判定与性质．注意证得 是等腰三角形是解题关键．
由四边形 是菱形，可得 ， ，又由 ， ，可求得 的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得 是等腰三角形，继而求得 的度数，然后求得 的度数．
【解答】
解： 四边形 是菱形，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
故选： ．   11.【答案】【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组无解，
，
解得：；
，
，
，
，
，
．
，
，
；
方程的解为正数，
，
解得：．
且，
所有符合条件的整数有：，，，，，，
所有符合条件的整数的和为．
故选：．
分别解这两个不等式，根据不等式组无解，求得的范围；解分式方程，排除增根，且解为正数，列出不等式，求得的范围，与前面的范围一起确定出最终的范围，写出满足条件的整数，求和即可．
本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法等，考核学生的计算能力，特别注意分式方程不能出现增根．
 12.【答案】【解析】解：为菱形，
，
，
为等边三角形，
，
又，，
≌，故、正确；
当点，分别是，中点时，
由知，，为等边三角形，
点，分别是，中点，
，
，
≌，
，
，
即，故错误；
，为定值，
故正确；
综上所述，正确的结论有，
故选：．
先证明为等边三角形，即可得到的度数；根据“”即可证明≌；因为点、分别是、上任意的点不与端点重合，且，当点，分别是，中点时，；依据三角形外角性质即可得到．
此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质是解题的关键．
 13.【答案】【解析】解：由，得，，即．
所以．
故答案是：．
根据二次根式的被开方数是非负数求得，然后代入求值即可．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．同时考查了非负数的性质，几个非负数的和为，这几个非负数都为．
 14.【答案】直角【解析】解：，
，
，
三角形的三边长，，满足，
此三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
根据题目中的式子和勾股定理的逆定理可以解答本题．
本题考查勾股定理的逆定理、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
 15.【答案】【解析】解：，，
菱形的面积．
故答案为：．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答．
本题主要考查利用对角线求面积的方法，求菱形的面积用得较多，需要熟练掌握．
 16.【答案】【解析】解：延长交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，，
，
为的中点，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
故答案为
延长交的延长线于点，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，即可证明出≌，结合题干条件解直角三角形即可得到的长．
本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是合理地作出辅助线，此题有一定的难度．
 17.【答案】解：


；



．【解析】先化简，再算乘法与除法，最后算加减即可；
先算二次根式的化简，零指数幂，绝对值，负整数指数幂，再算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则是的掌握．
 18.【答案】解：原式，
，
；
将代入，得：原式．【解析】本题考查分式混合运算题，运算顺序是先乘除后加减，加减法时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分．
先把代数式化简，然后再代入求值．
 19.【答案】解：尺规作图如下：


证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
平分，
，
，
．【解析】利用尺规作出的平分线即可．
根据平行四边形的性质和角平分线定义即可解决问题．
本题考查作图基本作图，平行四边形的性质、角平分线的作法、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用等腰三角形的性质解决问题．
 20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
在和中

，
．【解析】利用平行四边形的性质得出，再利用全等三角形的判定与性质得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确掌握平行线的性质是解题关键．
 21.【答案】解：四边形是菱形．
，，
四边形是平行四边形，
又在矩形中，，
四边形是菱形．
连接由菱形得：，
又，
在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，
又，
四边形是平行四边形；

．【解析】首先可根据、判定四边形是平行四边形，然后根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，可得，由此可判定四边形是菱形．
连接，通过证四边形是平行四边形，得；根据菱形的面积是对角线乘积的一半，可求得四边形的面积．
本题主要考查矩形的性质，平行四边形、菱形的判定，菱形面积的求法；
菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
定义；
四边相等；
对角线互相垂直平分．
 22.【答案】解：；
；
原式

．【解析】仿照阅读材料分母有理化即可；
先将各数分母有理化，再计算即可得答案．
本题考查二次根式化简，解题的关键是掌握分母有理化的方法．
 23.【答案】解：设第一次每盒乒乓球的进价是元，则第二次每盒乒乓球的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，，且符合题意，
答：第一次每盒乒乓球的进价是元；
设每盒乒乓球的售价为元，
第一次每盒乒乓球的进价为元，则第二次每盒乒乓球的进价为元，
由题意得：，
解得：．
答：每盒乒乓球的售价至少是元．【解析】设第一次每盒乒乓球的进价是元，则第二次每盒乒乓球的进价是元，由题意：第一次用元购进乒乓球若干盒，第二次又用元购进该款乒乓球，购进数量比第一次少了盒．列出分式方程，解方程即可；
设每盒乒乓球的售价为元，由题意：两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，列出分式方程；找出数量关系，列出一元一次不等式．
 24.【答案】解：，
是同花数；
，
不是同花数；
异花数”，
，
又，为正整数，
为最大的三位“同花数”，
且，
、取值如下：或或或，
由上可知符合条件三位“异花数”为或或或．【解析】由“同花数”定义，计算即可得到答案；
由“异花数”的定义，为最大的三位“称心数”得且，计算的值为或或或．
本题考查了因式分解的应用，条件不等式，二元一次方程等相关知识点，重点掌握因式分解的应用，难点是新定义“同花数”和“异花数”的应用求值．
 25.【答案】解：，．

解：中的结论成立．
四边形是正方形，为对角线，
，，
又，
≌，
，
，
，
：由，得≌，
分
又，
．
，
，
．

解：如图所示：
结论：，．【解析】根据正方形的性质和全等三角形的判定证≌，推出，，求出，求出的度数即可；
和证法与类似．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，垂线等知识点，解此题的关键是求出和，题目比较典型，难度适中，通过做此题培养了学生的观察能力和分析问题的能力．