2021-2022学年福建省福州十六中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省福州十六中八年级（下）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各数是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，在中，，分别是，的中点，，相交于点，连接，，下列线段中，是的中位线的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列各组数，是勾股数的一组是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 我国古代数学著作九章算术中记缴这样一个问题，原文是：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为：“现在有一根直立的木柱，用一根绳索绑住木柱的顶端，另一端自由下垂，则绳索比木柱多三尺，将绳索的另一端靠地拉直，此时距离木柱的底端八尺，问这条绳索的长度是多少？”根据题意，求得绳索的长度是(    )

A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺

7. 如图，在▱中，平分交于点，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 下列关于“”的说法正确的是(    )

A. 是正数 B.  C. 可以是负数 D. 是非负数

9. 在中，，，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 计算的结果是______．
12. 如图，点在数轴上所表示的数是______．

13. 如图，矩形的对角线，相交于点，若，则的度数是______度．
14. 命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是______．
15. 已知，则的值为______．
16. 在菱形中，，，，分别是边，，，上的点不与端点重合有下面四个结论：
    存在无数个四边形是平行四边形；
    只存在一个四边形是矩形；
    存在无数个四边形是菱形；
    只存在一个四边形是正方形．
    其中正确的是______写出所有正确结论的序号

三、解答题（本大题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：．
18. 本小题分
    如图，在中，，，，于点，求的长．

19. 本小题分
    如图，点，分别在▱的边和上，且．
    求证：．

20. 本小题分
    已知的算术平方根是，是的算术平方根，求的值．
21. 本小题分
    如图，为线段外一点．
    尺规作图：求作▱；不写作法，保留作图痕迹
    在条件下，，的中点分别为，．
    求证：直线，，相交于同一点．

22. 本小题分
    如图，在中，，，线段是由线段平移得到，，的对应点分别是，是的中线，连接，，，若．
    求证：四边形是菱形；
    求的面积．

23. 本小题分
    如图，正方形，点，是对角线上的两个动点，连接，，延长交于点，和关于直线对称．
    求证：；
    如备用图，若点是边的中点，连接，延长交于点．
    求证：；求的值．
     

24. 本小题分
    在平面直角坐标系中，点，，且点在第四象限上，，连接，，以，为邻边作▱，若，，
    求和的关系式；
    求点的坐标；用含的式子表示
    若点是的中点，且，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据二次根式有意义的条件得：，
，
故选：．
根据二次根式有意义的条件判断即可．
本题考查了二次根式有意义的条件：
二次根式的概念．形如的式子叫做二次根式．
二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
二次根式具有非负性．是一个非负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 

3.【答案】 

【解析】解：在中，，分别是，的中点，
是的中位线．
故选：．
根据三角形中位线的定义即可求解．
本题考查了三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．掌握定义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，不能构成直角三角形，故选项错误；
B、，能构成直角三角形，是整数，故选项正确；
C、，不能构成直角三角形，故选项错误；
D、，但不是整数，不能构成直角三角形，故选项错误；．
故选：．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，设与的交点为，

四边形是菱形，
，，，
，
，
，
故选C．
根据菱形的面积等于对角线积的一半，可求得菱形的面积，又由菱形的对角线互相平分且垂直，可根据勾股定理得的长，根据菱形的面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半，即可得菱形的高．
本题考查了菱形的性质：菱形的对角线互相平分且垂直；菱形的面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半．
 

6.【答案】 

【解析】解：设木柱长度为尺，则绳索长度为尺，
根据题意可得：，
解得：．
，
故绳索长度为尺．
故选：．
设木柱长度为尺，则绳索长度为尺，根据题意利用勾股列方程即可求解．
本题主要考查勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，，
，
平分，
，
；
故选：．
由平行四边形的性质得出，由平行线的性质得出，，由角平分线定义求出，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由于，
故选：．
根据二次根式的性质即可求出的范围．
本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，作，交的延长线于点，则，
，
，，
，
．
在中，，，，
．
故选：．
作，交的延长线于点，则，解直角，求出，然后在中利用勾股定理即可求出．
本题考查了解直角三角形，含角的直角三角形的性质，勾股定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，作轴于，连接．

，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
点在的角平分线所在直线上运动，
作，则是等腰直角三角形，
，
，
的最小值为，
故选：．
如图，作轴于，连接利用全等三角形的性质证明，推出点在的角平分线所在直线上运动，作，求出的长即可解决问题．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
则点在数轴上所表示的数是，
故答案为：
根据数轴上点的位置，利用勾股定理求出的长，即可确定出点表示的数．
此题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据矩形的性质得出，，，求出，推出，根据三角形外角的性质即可求出的度数．
本题考查了矩形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质的应用，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解决问题的关键．
 

14.【答案】菱形的四条边相等 

【解析】

【分析】
本题考查的是命题和定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】
解：命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是菱形的四条边相等，
故答案为菱形的四条边相等．  

15.【答案】 

【解析】解：，
两边平方，得，
，
即，
，
，
，
即，
故答案为：．
根据求出，根据完全平方公式展开后求出，再求出，再两边开方即可．
本题考查了分式的化简求值和完全平方公式，能熟记完全平方公式是解此题的关键，注意：，．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，交于，

四边形是菱形，连接，交于，
过点直线和，分别交，，，于，，，，
则四边形是平行四边形，
故存在无数个四边形是平行四边形；故正确；
如图，当时，四边形是矩形，故存在无数个四边形是矩形；故错误；
如图，当时，存在无数个四边形是菱形；故正确；
当四边形是正方形时，，，
，
当四边形是正方形，
，
，
，
≌，
，，
，
，
当四边形为正方形时，四边形是正方形，故菱形中能存在四边形是正方形，能存在无数个四边形是正方形；故错误；
故答案为．
根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】先根据平方差公式，二次根式的性质和绝对值进行计算，再根据二次根式的加减法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的运算法则，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

18.【答案】解：在中，，，，
，
，
，
． 

【解析】由勾股定理可求出，由面积法可求解．
本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，掌握勾股定理是本题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由“”可证≌，可得结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

20.【答案】解：的算术平方根是，是的算术平方根，
，即，，
则原式． 

【解析】利用算术平方根定义求出与的值，代入原式计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

21.【答案】解：如图，平行四边形为所作；

证明：设与相交于点，连接、，如图，
四边形为平行四边形，
，，，
点为的中点，点为的中点，
，
即，，
四边形为平行四边形，
与互相平分，即过的中点，
直线，，相交于同一点． 

【解析】连接，再分别以点、点为圆心，以、为半径画弧，两弧相交于点，则四边形满足条件；
设与相交于点，连接、，如图，利用平行四边形的性质得到，，，再证明四边形为平行四边形，则与互相平分，从而可判断直线，，相交于同一点．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．
 

22.【答案】证明：由平移可得，，，
四边形是平行四边形，
，，
，，，
，
是的中线，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
解：，，，
，，
边上的高，
的面积． 

【解析】根据平移得出，，进而得出四边形是平行四边形，进而利用菱形的判定解答即可；
根据三角形的面积公式解答即可．
此题考查菱形的判定，关键是利用菱形的判定和平行四边形的判定和性质解答．
 

23.【答案】证明：四边形是正方形，，
，
，
和关于直线对称，
，
，
，
，
；

证明：如图，连接，
四边形是正方形，
，
和关于直线对称，
，
，
由知，，
，
≌，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
即；

解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
由知，≌，
，
由知，，
，
≌，
，
设，则，
设，则，
，
由知，，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
． 

【解析】先判断出，进而判断出，再由，即可得出结论；
连接，先判断出，进而判断出，进而判断出≌，得出，进而得出，再判断出，即可得出结论；
连接，先判断出，进而判断出≌，得出，设，则，设，则，进而得出，，最后用勾股定理得出，即可求出答案．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的的判和性质，勾股定理，垂直的判定，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
 

24.【答案】解：．
，，
，

即；
如图，过作轴于，过作轴于，过作于，取的中点，的中点，连接，
则，，，，，是是中位线，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形，
，，
同理可证：≌，
，，
，，
点的坐标为；
由可知，，，，，
，
如图，过作轴于，
则四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
即的值为． 

【解析】由算术平方根和绝对值的非负性质得，，则，即可得出结论；
过作轴于，过作轴于，过作于，取的中点，的中点，连接，证≌，得，，则，，再证≌，得，，则，，即可得出结论；
由可知，，，，，则，过作轴于，再求出，，然后由，得，即可解决问题．
本题是四边形综合题，考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、坐标与图形性质、三角形中位线定理、绝对值和算术平方根的非负性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．