2021-2022学年福建省福州市仓山区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省福州市仓山区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知一次函数，则下列各点在该函数图象上的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在中，，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，是菱形的对角线，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 一组数据，，，，，，则这组数据的中位数和众数是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，延长至点，连接若，则下列说法一定正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 一次函数的图象经过(    )

A. 第一、第二、第三象限 B. 第二、第三、第四象限
C. 第一、第三、第四象限 D. 第一、第二、第四象限

9. 某校文艺社团有名成员，成员的年龄情况统计如图，则这名成员的平均年龄是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 在平面直角坐标系中，点，点，连接，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为______ ．
12. 在分析数据时，小明列出方差的计算公式则这列数据的中位数是______．
13. 函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是______．

14. 矩形的对角线，相交于点，要使得矩形是正方形，则的长为______．
15. 在平面直角坐标系中，点，，，连接，若点是的中点，连接，则的长为______．
16. 在▱中，点是对角线的中点，过点作直线，，直线分别交，于点，，直线分别交，于点，，连接，，，有下列四个结论：
    四边形可以是平行四边形；
    四边形可以是矩形；
    四边形不可以是菱形；
    四边形不可以是正方形；
    其中正确的是______写出所有正确结论的序号

三、解答题（本大题共9小题，共86分）

17. 计算：．
18. 如图，菱形的对角线，相交于点，若，，求的长．

19. 如图，在矩形中，，分别是，上的点，连接，，若，求证：．

20. 已知一次函数的图象经过点．
    求该一次函数的解析式；
    在如图的平面直角坐标系中，画出该一次函数图象．

21. 某校为了解学生在放假期间的自我管理能力，学校随机抽取位学生，让每位学生请一位家长对自己打分，满分为分．如下是家长所打分数的频数统计表．

求被抽取的家长们所打分数的平均数、中位数和众数；
该校共有名学生，本次调查自我管理能力分数大于分的为“优秀”，请根据样本估计这个学校学生自我管理能力为“优秀”人数有多少名？

22. 某商店计划采购甲、乙两种不同型号的电视机进行销售．知商店购进甲型电视机台，乙型电视机台，需要花费元．进甲型电视机台，乙型电视机台，需要花费元．
    求该商店购进甲、乙两种型号的电视机的单价分别为多少元？
    该商店购进甲、乙两种型号的电视机共台，且购买的甲型电视机的数量不多于乙型电视机数量的倍．甲型电视机的售价为元台，乙型电视机的售价为元台，全部卖出，问：应购进甲种型号的电视机多少台？才能使该商店销售甲、乙两种不同型号的电视机获得的总利润最大，最大总利润是多少？
23. 如图，．
    尺规作图：求作平行四边形；不写作法，保留作图痕迹
    在的条件下，、分别是、上的点，连接，交于点，若把平行四边形面积分成相等的两部分．求证：．
     

24. 如图，正方形，点，是对角线上的两点，，连接，，和关于直线对称．点在上，连接．
    求的度数；
    如备用图，延长交于点，连接．
    求证：四边形是菱形；
    求的值．
     

25. 在平面直角坐标系中，一次函数与为常数，且的图象相交于点．
    当时，求点的坐标；
    与的关系式记作函数，函数满足：当时，；当时，．
    若函数的图象与轴总有两个不同的交点，求的取值范围；
    在的条件下，当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据二次根式的乘法法则得到，然后利用二次根式的性质化简即可．
本题考查了二次根式的性质与化简：也考查了二次根式的乘法．
 

2.【答案】 

【解析】解：将，，，分别代入得，，，，
函数图象经过，，，，
故选：．
分别将，，，分别代入求解．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握一次函数与方程的关系．
 

3.【答案】 

【解析】解：在中，


．
故选：．
利用勾股定理计算得结论．
本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的内容是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
故选：．
直接利用菱形的性质结合等边三角形的性质得出，是等边三角形，进而利用平行线的性质得出，进而得出答案．
此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，正确掌握等边三角形的判定与性质是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为共有个数，中位数是第、第个数的平均数，
所以这组数据的中位数为，
因为出现了次，出现的次数最多，
所以众数是；
故选：．
根据中位数和众数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
 

6.【答案】 

【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A符合题意；
B、与不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用二次根式的加减法的法则及二次根式除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
故A选项正确；
B.四边形是平行四边形，
，
，
，
即，
，
故B选项不正确；
C.由题意可知：，，
，
，
，
故C选项不正确；
D.四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故D选项不正确．
故选：．
根据平行四边形的判定与性质分别判断即可．
本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：一次函数，，
该函数图象经过第一、三、四象限，
故选：．
根据一次函数的性质和题目中的函数解析式，可以得到该函数图象经过哪几个象限．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：岁，
故选：．
由图可得各个年龄段的成员人数，再算出所有年龄总和，即可求解．
本题考查算术平均数，解题的关键是正确提取图中信息．
 

10.【答案】 

【解析】解：点，点，




，
，
，
即的最小值是，
故选：．
根据点，点，利用勾股定理可以表示出的长，然后化简，即可得到的最小值．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：二次根式在实数范围内有意义，
，解得．
故答案为．
根据二次根式有意义的条件列关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于．
 

12.【答案】 

【解析】解：由方差的计算公式知，这组数据为、、、、，
所以这组数据的样本容量为，中位数为，
故答案为：．
由方差的计算公式得出这组数据为、、、、，再根据中位数的定义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是根据方差的计算公式得出样本的具体数据及中位数的定义．
 

13.【答案】 

【解析】解：由图象可得：当时，，
所以关于的不等式的解集是，
故答案为：．
观察函数图象得到即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

14.【答案】 

【解析】解：当时，矩形是正方形，

，，
，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形．
故答案为：．
由正方形的判定可得出答案．
本题考查了矩形的性质、正方形的判定，勾股定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质及正方形的判定．
 

15.【答案】 

【解析】解：点是的中点，，，
，
，
，
的长为，
故答案为：．
根据中点坐标公式求出点的坐标，再利用两点间距离公式求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握两点间距离公式是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，

四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
同法可证，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是矩形，
当时，四边形是菱形，
与可能相等且垂直，
四边形可能是正方形，
故正确；
故答案为：．
首先利用全等三角形的证明证明，，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】先去绝对值，求算术平方根，再算乘法，最后算加减．
本题考查实数的运算，解题的关键式掌握实数运算的相关法则．
 

18.【答案】解：四边形是菱形，
，，，
在中，根据勾股定理得：
．
的长为． 

【解析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得，，在中，根据勾股定理即可求得的长．
本题考查了菱形的性质，本题中根据勾股定理计算的长是解题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据矩形的性质得出，，根据全等三角形的判定定理得出≌，再根据全等三角形的性质得出即可．
本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记矩形的性质是解此题的关键，注意：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．
 

20.【答案】解：将代入，
得，
解得，
．
将代入，
得，
直线经过，
图象如下：
 

【解析】将代入求解．
将代入解析式可得直线与轴交点，根据直线与坐标轴交点作图．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握一次函数与方程的关系．
 

21.【答案】解：被抽取的家长们所打分数的平均数是：分，
因为共有个数，中位数是第、个数的平均数，
所以中位数是：分，
分出现了次，出现的次数最多，
众数是分；

根据题意得：
名，
答：估计这个学校学生自我管理能力为“优秀”人数有名． 

【解析】根据平均数的计算公式、中位数和众数的定义进行解答，即可得出答案；
用该校的总人数乘以“优秀”人数所占的百分比即可．
本题考查的是平均数、众数和中位数的定义．要注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数、众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位．
 

22.【答案】解：设商店购进甲种型号的电视机的单价为元，购进乙种型号的电视机的单价为元，
根据题意得：，
解得，
答：商店购进甲种型号的电视机的单价为元，购进乙种型号的电视机的单价为元；
设获得的总利润为元，购进甲种型号的电视机台，
购买的甲型电视机的数量不多于乙型电视机数量的倍，
，
解得，
根据题意得，
，
随的增大而增大，
时，取最大值，最大值为元，
答：购进甲种型号的电视机台，才能使该商店销售甲、乙两种不同型号的电视机获得的总利润最大，最大总利润是元． 

【解析】设商店购进甲种型号的电视机的单价为元，购进乙种型号的电视机的单价为元，可得：，即可解得商店购进甲种型号的电视机的单价为元，购进乙种型号的电视机的单价为元；
设获得的总利润为元，购进甲种型号的电视机台，根据购买的甲型电视机的数量不多于乙型电视机数量的倍，可得，而，由一次函数性质可得购进甲种型号的电视机台，才能使该商店销售甲、乙两种不同型号的电视机获得的总利润最大，最大总利润是元．
本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
 

23.【答案】解：如图，四边形为所作；

证明：连接，，如图，
四边形为平行四边形，
，，
把平行四边形面积分成相等的两部分，
，
，
，
，
点到的距离等于点到的距离，
，
，
四边形为平行四边形，
． 

【解析】分别以、点一下，以、为半径画弧，两弧相交于点，则四边形满足条件；
先根据平行四边形的性质得到，，由于把平行四边形面积分成相等的两部分，即，则，所以，接着根据两平行线之间的距离处处相等和三角形面积公式得到，则可判断四边形为平行四边形，从而得到结论．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．
 

24.【答案】解：四边形是正方形，
，，
由轴对称的性质得：，，
，
，
；
证明：设与交于点，如图，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
解：设，则，
，
，
． 

【解析】由轴对称的性质得：，，再求出，即可得出结论；
设与交于点，证是等腰直角三角形，得，则，再证，则四边形是平行四边形，即可得出结论；
设，则，得，进而得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、正方形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：当时，一次函数与为与，
，解得，
点的坐标为；
根据题意，得
，
解得，
点坐标为，
函数的图象与轴总有两个不同的交点，

；

由得，交点的横坐标为，即，
，，
由图象可知，当时，即当，且时，即，
时，，
时，，
时，，
，
时，，
当时，的最大值与最小值的差为，
，
解得符合题意，
当时，即，
时，函数的解析式为，
，
随着的增大而减小，
时，，
时，，
当时，的最大值与最小值的差为，
，
解得不合题意，舍去，
综上所述，的值为． 

【解析】将代入一次函数与中，联立两一次函数解析式即可求解；
联立两个解析式，解得用含的代数式表示交点的坐标，根据函数的图象与轴总有两个不同的交点，得到交点纵坐标大于即可求解；
由得点坐标为，即，且，分两种情况计算，当时，即当时和当时，即，分别计算出最大值和最小值，根据题目条件中差为，计算解答即可．
本题考查了两直线的交点，一次函数图象与系数的关系，一次函数与一元一次方程组和一元一次不等式组之间的内在联系，解题关键是熟练掌握以上知识点．