专题08 幂指对函数综合大题复习-【备考集训】2022-2023学年高一数学上学期专题训练+期中期末全真模拟卷(人教A版2019必修第一册)

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专题08  幂指对函数大题综合复习训练卷评讲中的考点、题型、知识与技巧点拨总结幂指对函数综合，是期末复习的重点之一。指数函数大题，需要注意以下几点（1）一般情况下，复杂的指数函数大多是换元化归一元二次（为主）或者对勾等常见函数，进行含参讨论（2）指数函数要注意：“一点一线”规律（3）涉及到换元后的一元二次型，要注意新变量的定义域，以及轴动区间定，分参，根的分布等知识点的复习和巩固。如第1、2、3、4题对数函数大题，需要注意几个方面（1）对对数函数进行变形，要注意在定义域的前提下，特别是含参题型。（2）对数大题，多涉及到对数方程、对数不等式的解法，要注意底数对单调性额影响。如第5、6、7、8题3.幂指对大题，常常在压轴一问设置为存在恒成立或者保值区间、求值域等题型。   如第9、10、11、12题  专题集训题选 1.已知函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是R上的奇函数．（Ⅰ）求常数k的值；（Ⅱ）若a＞1，试判断函数f（x）的单调性，并加以证明；（Ⅲ）若a=2，且函数g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）在[0，1]上的最小值为1，求实数m的值．【答案】（Ⅰ）k=1； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）m=1. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据定义域为R上的奇函数满足f（0）=0，代入即可求得k的值．（Ⅱ）利用定义法，设出x1、x2，通过做差法判断与0的大小关系即可证明单调性．（Ⅲ）将a的值代入表达式，化简即可得g（x）=（2x-2-x）2-2m（2x-2-x）+2，利用换元法令t=2x-2-x，由x的范围求得t的范围．将x的函数转化为关于t的二次函数，构造h（t）=（t-m）2+2-m2，讨论m的取值范围，进而利用最小值求得m的值．【详解】（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是R上的奇函数，则f（0）=k-1=0，解可得k=1，当k=1时，f（x）=ax-a-x，为奇函数，故k=1.（Ⅱ）根据题意，设x1＜x2，f（x1）-f（x2）=（-）-（-）=（-）（1+），又由x1＜x2，则（-）＜0，（1+）＞0，则f（x1）-f（x2）＜0，故函数f（x）为R上的增函数；（Ⅲ）根据题意，若a=2，则函数g（x）=a2x+a-2x-2mf（x）=22x+2-2x-2m（2x-2-x）=（2x-2-x）2-2m（2x-2-x）+2，令t=2x-2-x，又由x∈[0，1]，则t∈[0，]，则h（t）=t2-2mt+2=（t-m）2+2-m2，t∈[0，]，①，当m≤0时，h（t）min=h（0）=2≠1，不符合题意；②，当0＜m＜，h（t）min=h（m）=2-m2=1，解可得m=±1，又由0＜m＜，则m=1；③，当m≥时，h（t）min=h（）=-3m=1，解可得m=＜，不符合题意，综合可得：m=1．2.设函数，且函数的图象关于直线对称．(1)求函数在区间上的最小值；(2)设，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）求二次函数在区间上的最小值；（2）利用变量分离的手段，不等式在上恒成立等价于在上恒成立，转求新函数的最小值即可．【详解】(1)∵关于直线对称，∴，故 ，∴，函数在上单调递减，在上单调递增，∴当时， 的最小值为1 ．(2) 可化为，化为，令，则，因故，记，∵，故，∴的取值范围是．3.设函数(且,),是定义在上的奇函数.(1)求的值;(2)已知,函数,求的值域;(3)若,对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)1;(2);(3).【解析】【分析】（1）由奇函数定义性质求得，并检验函数为奇函数；（2）由求得，换元，求得的取值范围，转化为的二次函数后可求得最值，得值域．（3）计算出为偶函数,确定其单调性，计算，这样不等式可利用奇偶性与单调性化简为对任意恒成立,平方后利用二次不等式恒成立的知识可得．【详解】(1)是定义域为上的奇函数,,得.此时,即是上的奇函数.(2),即,或(舍去),令,易知在上为增函数,,当时,有最大值;当时,有最小值,的值域是.(3)由为偶函数,且在单调递增,在单调递减.又对任意恒成立,即对任意恒成立, 平方得:对恒成立.，解得:综上可得:的取值范围是.4.已知为偶函数．（1）求实数的值，并写出在区间上的增减性和值域（不需要证明）；（2）令，其中，若对任意、，总有，求的取值范围；（3）令，若对任意、，总有，求实数的取值范围．【答案】（1），在上是增函数，值域为；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义，作差变形可求出，结合函数的解析式写出该函数在区间上的单调性，并利用单调性得出函数在该区间上的值域；（2）由题意得出，且，换元，构造函数，由可得出二次函数的对称轴，分析函数在区间上的单调性，求出函数的最大值和最小值，结合不等式求出实数的取值范围；（3）由可得出，求出不等式右边代数式的取值范围，可得出实数的取值范围.【详解】（1）函数为偶函数，则，即，由题意知，对任意的，恒成立，则，，，该函数在区间上为增函数，且，所以，函数在区间上的值域为；（2）由题意知，，且，设，，则，且，设函数，则，二次函数的对称轴为直线.，，则函数在区间上单调递增，则，，，解得，，，因此，实数的取值范围是；（3），，，由，可得，，由于函数在上单调递增，且，，，，又，，所以，，因此，实数的取值范围是.5.已知函数.(1)当时，求函数的值域；(2)如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) .【解析】【分析】（1）利用配方法化简函数，根据函数的定义域，换元得到t＝∈[0,2]，由二次函数的性质，即可求出函数的值域；（2）先利用对数运算化简不等式，换元，再通过分离参数法，转化为最值问题，利用基本不等式求出最值，即可求出实数的取值范围．【详解】(1)h(x)＝(4－2)·＝－2(－1)2＋2，因为x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]，，故函数h(x)的值域为[0,2]．(2)由f(x2)·f()＞k·g(x)，得(3－4)(3－)＞k·，令，因为x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]，所以(3－4t)(3－t)＞k·t对一切t∈[0,2]恒成立，①当t＝0时，k∈R；②当t∈(0,2]时，恒成立，即，因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为－3.所以k＜－3.综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．6.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】依题意的定义域为，所以.（1）当时，，所以，即，.所以不等式的解集为.（2）若恒成立，即，展开化简得，由于，所以，所以，故，令，构造函数，由于，所以在上单调递增，所以当时，取得最小值为.所以，所以.7.已知函数，对任意a，恒有，且当时，有．Ⅰ求；Ⅱ求证：在R上为增函数；Ⅲ若关于x的不等式对于任意恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）.【解析】【分析】Ⅰ根据题意，由特殊值法分析：令，则，变形可得的值，Ⅱ任取，，且设，则，结合，分析可得，结合函数的单调性分析可得答案；Ⅲ根据题意，原不等式可以变形为，结合函数的单调性可得，令，则原问题转化为在上恒成立，即对任意恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案．【详解】Ⅰ根据题意，在中，令，则，则有；Ⅱ证明：任取，，且设，则，，又由，则，则有，故在R上为增函数．Ⅲ根据题意，，即，则，又由，则，又由在R上为增函数，则，令，，则，则原问题转化为在上恒成立，即对任意恒成立，令，只需，而，，当时，，则．故t的取值范围是．8.已知函数， 且．（1）当时，设集合，求集合；（2）在（1）的条件下，若，且满足，求实数的取值范围；（3）若对任意的，存在，使不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由时，由，化简为，求解即可．（2）由（2）得，结合列出不等式组；求解即可；（3）对任意的，，存在，，使不等式恒成立，等价于，，，时，．利用函数的单调性求解函数的最值，列出不等式推出结果．【详解】（1）由时，由得，即，解得，所以．（2）由（2）得，所以，可转化为；在，上恒成立，解得实数的取值范围为．（3）对任意的，，存在，，使不等式恒成立，等价于，，，时，．当时，由复合函数的单调性可知为，上的减函数，为，上的增函数，等价于（5）（a），即，解得；当时，为，上的增函数，为，上的减函数，等价于（3），即，解得．综上，实数的取值范围为．9.已知函数，(1) 判断的奇偶性并证明；(2) 令①判断在的单调性（不必说明理由）；②是否存在，使得在区间的值域为？若存在，求出此时的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）①单调递减，②【解析】【分析】(1)根据函数奇偶性的定义，即可证出．(2) ①求出，由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减；②根据在上单调递减，可以得到，然后转化得出：和是方程的两根，再将其转化为直线与函数的图象在上有两个交点，观察图象，可求出的取值范围．【详解】是奇函数；证明如下：由解得或,所以的定义域为，关于原点对称．,故为奇函数．，①在上单调递减．②假设存在，使在的值域为．由知，在上单调递减．则有,．所以,是方程在上的两根，整理得在有2个不等根和．即 ，令，则，，即直线与函数的图象在上有两个交点，所以， ．10.设，函数.（1）分别求与的定义域；（2）设与的定义域交集为，当时，在上的值域为，求的取值范围.【答案】（1）或，（2）【解析】【分析】（1）由对数函数的定义域可得；（2）由（1）可知定义域交集为，根据函数的单调性可得值域，再由在上的值域为，可建立不等式组，解不不等式组即得。【详解】（1）由题得，，解得或，即的定义域为或；由，得，即的定义域为；（2）由（1）得，定义域交集.，，当时是单调递减函数，在上的值域为，又在上的值域为，，即是在上的两个根，则有，化简得：，再整理得：，此方程有两个大于的正根，有，解得，故的取值范围是.11.已知函数，若对于给定的正整数，在其定义域内存在实数，使得，则称此函数为“保值函数”.（1）若函数为“保1值函数”，求；（2）①试判断函数是否是“保值函数”，若是，请求出；若不是，请说明理由；②试判断函数是否是“保2值函数”，若是，求实数的取值范围；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）①函数不是“保值函数”②当时函数是“保2值函数”；当时函数不是“保2值函数”.【解析】【分析】（1函数为“保1值函数”，列方程即可求解；（2）①由“保值函数”的定义，转化为二次函数是否有解问题，即可进行判断；②由题意可得，再由，解不等式即可进行判断.【详解】(1)因为函数为“保1值函数”，所以存在使，，，.(2) ①若函数是“保值函数”，则存在实数，使得，，，时，方程无解；时，与不符.综上，函数不是“保值函数”.②若函数是否是“保2值函数”，则在其定义域内存在实数，使得，即，即，可得，化简可得，由，解得，故当时，函数是“保2值函数”，又，所以当时函数不是“保2值函数”.12.已知，.（1）若，求的值域;（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求实数的取值范围;（3）当时，对任意的,在上的最大值与最小值的差不超过2，求的取值范围.【答案】(1) (2) (3) 【解析】【分析】（1）求出的最大值为1，由得值域；（2）原方程等价于，即且，分①，②时，③当时，方程有两根，其中只有一个是原方程的解，即满足；（3）在上是增函数，因此有，，整理得，注意，因此求得的最小值后可得关于的不等关系．【详解】（1），当时，，；（2）由题意即当时，,不符合当即时，,也不符合当时，方程的解为 若是方程的解，需,解得或若是方程的解，需即（3）当时，对任意的，在上单调递增，整理得又的取值范围是