专题04 “三个二次”综合-【备考集训】2022-2023学年高一数学上学期专题训练+期中期末全真模拟卷(人教A版2019必修第一册)

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专题04  “三个二次”综合 训练卷评讲中的考点、题型、知识与技巧点拨总结1、一元二次型，涉及到开口，判别式，韦达定理的综合勇总。如第1题第2题。2、使用韦达定理时在判别式前提下，否则就容易扩大参数的范围。如第3题。3、在根与系数关系中，是常见的一个恒等式。如第10题。4、一元二次型常常出现在考试大题中，并且综合大题较多。 专题集训题选1．已知关于x的不等式，下列结论正确的是（    ）A．当时，不等式的解集为B．当时，不等式的解集可以为的形式C．不等式的解集恰好为，那么D．不等式的解集恰好为，那么【答案】A【分析】A.由x2－3x＋4≤b得3x2－12x＋16－4b≤0，根据b＜1，利用判别式判断；B.在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b判断；CD．根据a≤x2－3x＋4≤b的解集为{x|a≤x≤b}，则a≤ymin，x＝a，x＝b时函数值都是b．然后分别由b2－3b＋4＝b，a2－3a＋4＝b求解判断．【详解】对于A，由得，又b＜1，所以．所以不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集为，故A正确；对于B，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝x2－3x＋4＝(x－2)2＋1的图象及直线y＝a和y＝b，如图所示．由图知，当a＝2时，不等式的解集为的形式，故B错误；对于CD，由的解集为，知a≤ymin，即a≤1，因此当x＝a，x＝b时函数值都是b．由当x＝b时函数值是b，得b2－3b＋4＝b，解得b＝或b＝4．当b＝时，由a2－3a＋4＝b＝，解得a＝或a＝，不满足a≤1，不符合题意，故CD错误．故选：A.【点睛】本题主要考查一元二次不等式与二次函数，二次方程的关系及应用，属于中档题.2．设，二次函数的图象可能是A． B．C． D．【答案】D【详解】因为,二次函数，那么可知，在A中，a<0,b<0,c<0，不合题意；B中，a<0,b>0,c>0，不合题意； C中，a>0,c<0,b>0,不合题意，故选D. 3．已知关于x的一元二次方程的解集为，且实数，满足，则实数m的取值范围是(    )A． B．C． D．【答案】C【分析】根据已知条件，利用判别式大于零和韦达定理求解分式型不等式即可.【详解】由题意可知，，为一元二次方程的两个不同的根，故，解得或，由韦达定理可知，，，从而解分式不等式可得，或，又因为或，所以实数m的取值范围为.故选：C.4．若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）A．或 B．C． D．或【答案】D【分析】由题知，，进而将所解不等式转化为，再求解即可得答案.【详解】解：因为不等式的解集为，所以是方程且，所以，即，所以等价于，由于，所以等价于，解得或.所以的解集为或.故选：D5．关于的不等式的解集为或，则关于的不等式，以下结论正确的是（    ）A．当时，解集为 B．当时，解集为C．当时，解集为或 D．以上都不正确【答案】C【分析】由题意，为方程的两个根，可得，，再代入不等式可得，分，，三种情况讨论，即可判断【详解】由题意，为方程的两个根。代入方程解得：，。于是关于的不等式，即为令，对应的二次函数开口向上当时，解集为或当时，解集为当时，解集为或故选：C 6．设函数，若关于的不等式的解集为，则______【答案】9【分析】根据不等式的解集可得2,3,6应为不等式对应方程的根，故分析两个不等式对应方程的根，即可求解.【详解】由满足不等式知，即，所以，所以，所以的两根为，而可化为，即，所以方程的两根为6，且，不等式的解集为，可知，解得，所以，所以，故答案为：9【点睛】关键点点睛：本题主要考查不等式与方程的关系，不等式解集的端点为对应方程的根，本题在理解分别是与的根，而方程含有公共根6，所以必然2,3两根分别是，即可求解,本题属于难题.7．已知函数，若在上恒成立，则的取值范围__________.【答案】【分析】由题意得，在上恒成立，再利用基本不等式可得在上恒成立；从而得出的取值范围．【详解】解：，可化为，由于在上恒成立，即在上恒成立，又，（当且仅当，即时，等号成立）；在上恒成立，解得：或，则的取值范围为：.故答案为：.【点睛】本题考查函数的恒成立问题求参数范围，以及利用基本不等式求最值，属于中档题．8．设函数，对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是______【答案】【分析】把不等式恒成立，转化为在恒成立，利用基本不等式求得的最小值，进而得到，结合一元二次不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，函数，因为对于，不等式恒成立，即在恒成立，即在恒成立，又由，当且仅当，即时，等号成立，所以，即，即，解得或，即实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，一元二次不等式的解法，以及基本不等式求最值的综合应用，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.9．已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合.如果对于定义域内的任意实数，函数值均为正，则实数的取值范围是__________.【答案】【分析】设函数，，讨论，，三种情况，分别计算得到答案.【详解】函数的定义域满足：.设函数，.当时，对应的，解得.当时，或，验证时，满足；当时，，，不成立；故.当时，需满足分式上下方程同解，故，.解得.综上所述：或.故答案为：.【点睛】本题考查了根据函数的函数值求参数，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握. 10．命题A:、是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题B：不等式（）有解.若A且B为真，求：m的取值范围.【答案】【分析】由韦达定理求出，然后求得，进而求出的取值范围，由已知条件可得，进而求出命题A:对应的m的取值范围。构造函数（），讨论去掉绝对值号求出函数的最大值2m，由不等式（）有解得2m>1,进而求出命题B对应的m的取值范围。由A且B为真，可知A、B都为真命题，即可求得结果。【详解】因为、是方程的两个实根，所以，所以， ，因为，所以，因为不等式对任意实数恒成立，所以，所以或，即或，解得或或。所以，命题A: 或或。 令（），则，结合该函数的性质可知，该函数的最大值为2m，由不等式（）有解，可得2m>1,解得 。所以命题B： 。 因为A且B为真，所以 ，所以 或 。 所以，m的取值范围为。【点睛】本题考查不等式的恒成立和有解问题，解决此类问题，都是转化为求函数的最值问题。如不等式 恒成立，则；不等式 有解，则。 11．已知，函数. （1）讨论的单调性；（2）设，若的最大值为，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）当时,;当时,.【分析】（1）根据函数解析式,先讨论当与两种情况.当时易判断单调递减,当时,讨论对称轴与区间的关系,即可判断单调性.（2）根据（1）中所得在不同范围内的单调情况分类讨论. 当,在递减结合二次函数与绝对值函数的性质,并由的最大值即可求得的值,进而得的取值范围;当时,在递增,在递减,同理解绝对值不等式可求得的取值范围,进而得的取值范围.【详解】（1）①当时,,在单调递减②当时,即时,在单调递减③当时,即时,在递增,在递减④当时,不成立,所以无解.综上所述,当时,在单调递减；当时,在递增,在递减（2）①当时,在递减,,,∵,∴,∴,∴. 得. ②当时,在递增,在递减,又,,∵,∴,同时,∴∴。∴又∵,∴,又∵,∴且可得在递增,所以. 综上所述, 当时,;当时,.【点睛】本题考查了分类讨论二次函数的单调性问题,不等式与二次函数的综合应用,由最值确定参数的取值范围,对理解能力要求较高,属于难题.12．已知函数（1）当时，解关于的不等式（2）对于给定的正数,有一个最大的正数,使得在整个区间上，不等式恒成立，求出的解析式．（3）函数在的最大值为0，最小值是-4，求实数和的值．【答案】（1）；（2）；（3）或．【分析】（1）解两个一元二次不等式，然后求交集；（2）在上递减，在上递增，，，因此由和分类讨论．（3）由，因此可分和分类讨论，结合二次函数性质可得．【详解】（1）不等式为，即，∴，∴或，∴原不等式解集为；（2），即，，易知在上递减，在上递增，，，当，即时，且，，解得，当时，，因此，且，，解得，∴．（3）由于，由题意或，这时，，若，则，∴，；若，即，∴，，，综上或．【点睛】本题考查二次函数的单调性与最值，解题时必须进行分类讨论，难度较大．13．我们知道，一元二次方程的根与一元二次不等式的解集有着密切的关系．已知，且关于的一元二次方程的两根为，请你研究下列问题：（1）讨论关于的一元二次不等式的解集；（2）讨论关于的不等式的解集；（3）若，讨论关于的函数的最小值．【答案】（1）a>0时，解集为：，a<0时，解集为：；（2）具体见解析；（3）具体见解析.【分析】（1）讨论a的符号，进而根据题意写出解集即可；（2）分x>0和x<0两种情况进行讨论，去掉分母，进而讨论a，b，c的符号，得到方程根的分布，最后求出答案；（3）讨论a的符号，进而结合基本不等式和函数图象求得答案.【详解】（1）根据题意，若a>0，则不等式的解集为：，若a<0，则不等式的解集为：；（2）不等式可化为：或，由题意，，，，①a>0，b>0，c>0时， ，则不等式解集为：{x|或x<0}；②a>0，b<0，c<0时，，则不等式的解集为：{x|或}；③a<0，b>0，c<0时， ；则不等式的解集为：{x|x>0或}；④a<0，b<0，c>0时， ，则不等式的解集为：{x|或}.（3）由可知，a>0，①若a>0， c>0， 则，，易有，所以，当且仅当时取“=”，即函数最小值为：；②若a>0， c<0，于是，函数分别在上单调递增，由a>0，b<0，c<0，则，所以，且，容易判断函数是奇函数，如示意图：从图象不难看出，当x>0且x趋近于0时，函数值趋近于负无穷小，此时函数没有最小值.14．设函数.（1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；（2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；（3）解关于的不等式：.【答案】(1)；(2)；(3)分类求解，答案见解析.【分析】(1)将给定的不等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可；(2)将给定的不等式等价转化成，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答；(3)将不等式化为，分类讨论并借助一元二次不等式的解法即可作答.【详解】(1)依题意，有实数解，即不等式有实数解，当时，有实数解，则，当时，取，则成立，即有实数解，于是得，当时，二次函数的图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得，综上，，所以实数的取值范围是；(2)不等式对于实数时恒成立，即，显然，函数在上递增，从而得，即，解得，所以实数的取值范围是；(3) 不等式，当时，，当时，不等式可化为，而，解得，当时，不等式可化为，当，即时，，当，即时，或，当，即时，或，所以，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.15．已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）．【分析】（1）先因式分解，对两根大小作讨论，求出解集；（2）先令，由，则可得，再将有四个不同的实根，转化为有两个不同正根，根据根与系数的关系，求出的取值范围．【详解】（1）由题意，，即，解方程得，.①当时，即当时，解不等式，得或，此时的解集为；②当时，即时，解不等式，得，此时的解集为；③当时，即当时，解不等式，得或，此时的解集为；综上，当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为；（2）当时，令，当且仅当时，等号成立；则关于的方程可化为，关于的方程有四个不等实根，即有两个不同正根，则，由②③式可得，由①知：存在使不等式成立，故，即，解得或.故实数的取值范围是．【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．