期末模拟测试卷04-2022-2023学年高一数学下学期期末模拟测试卷（苏教版2019必修第二册）（原卷版+解析版）

2022-2023学年高一数学下学期期末考试仿真模拟试卷04

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数满足，则（    ）

A.  B. 5 C.  D. 6

【答案】A

【解析】因为，所以，

所以.

故选：A

2．同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记事件“点数之和为7”，事件“点数之和为3的倍数”，则（    ）

A. 为不可能事件 B. 与为互斥事件

C. 为必然事件 D. 与为对立事件

【答案】B

【解析】同时抛掷两颗骰子，有36个结果，事件“点数之和为7”，包括：，，，，，.

事件“点数之和为3的倍数”，包括，，，，，，.

所以为“点数之和为7或3的倍数”，不是不可能事件.故A错误；

与为互斥事件，故B正确；

为不可能事件.故C错误；

事件A、B不能包含全部基本事件，故与不是对立事件.故D错误.

故选：B

3．已知向量，，若与共线，则实数的值为（    ）

A.  B. 1 C.  D. 0

【答案】C

【解析】由已知，，

又与共线，所以，解得．

故选：C．

4．“宝塔有湾湾有塔，琼花无观观无花”，这宝塔即为文峰宝塔，文峰塔是水陆交通进出扬州的标志，此塔最宜登高远眺，俯观塔下殿宇静谧安详，运河流淌，形成动静对比. 某个学生想要测量塔的高度，选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为（    ）米.

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】在三角形中：，

由正弦定理得，

在中，米.

故选：D

5．陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一.如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱，其中总高度为，圆柱部分高度为，已知陀螺的总体积为，则此陀螺圆柱底面的面积为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】由题，圆锥部分高度为，故，即，可解得，

故选：B

6．在中，内角的对边分别为.若的面积为，且，，则外接圆的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】由余弦定理得，，

所以

又，，

所以有，

即，所以，

由正弦定理得，，得

所以外接圆的面积为．

故选：D

7．已知平面向量，，均为单位向量，且，的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】由平面向量，，均为单位向量，且，

根据向量的减法的几何意义，可判定，与构成等边三角形，

所以，向量夹角为，

,

所以当与同向时，原式取到最小值；

当与反向时，原式取到最大值4.

故选：C.

8．若，则（    ）

A. 0 B.  C. 1 D.

【答案】C

【解析】由，

可得，

又由正弦的倍角公式，可得，

即，

令，则，解得，

所以.

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知一组样本数据，，，…，，将这组样本数据中的每一个数加2，得到一组新样本数据，，，…，，则（    ）

A. 两组样本数据的中位数相同 B. 两组样本数据的极差相同

C. 两组样本数据的标准差相同 D. 两组样本数据的平均数相同

【答案】BC

【解析】 对于A，设原样本数据的中位数为，则新样本数据的中位数为，故A错误；

对于B，不妨设原样本数据最大为，最小为，则原样本数据中，样本数据的极差为，

新样本数据中，样本数据的极差为，故B正确．

对于D，原样本数据的样本平均数为，

新样本数据的样本平均数为，故D错误；

对于C，原样本数据的标准差为：，

新样本数据标准差为：，故C正确；

故选：BC．

10．在中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有（    ）

A. 则为等边三角形；

B. 已知，则；

C. 已知，，，则最小内角的度数为；

D. 在，，，解三角形有两解.

【答案】ABC

【解析】对选项A，因为，

所以.

又因为，所以，

即为等边三角形，故A正确.

对选项B，因为，所以，

所以.

又因为，所以，故C正确.

对选项C，因为，所以为最小角，

，又因为，所以，故C正确.

对选项D，因为，所以，

故不存在，D错误.

故选：ABC

11．一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有1~9这9个数字（1张卡片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是（    ）

A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件对立

C. 事件与事件相互独立 D.

【答案】AC

【解析】样本空间为，

因为，所以事件与事件互斥，故A正确；

因为，，所以事件与事件不对立，故B错误；

，，，即事件与事件相互独立，故C正确；

因为，所以事件与事件不互斥，故D错误；

故选：AC

12．如图，正方体的棱长为2，E，F，G分别为棱BC，，的中点，则下列结论正确的是（    ）

A. 直线EF到平面的距离为2

B. 直线AE与直线的夹角的余弦值为

C. 点C与点G到平面AEF的距离之比为

D. 平面AEF截正方体所得截面面积为

【答案】ACD

【解析】对于A项，∵平面∥平面，平面，

∴直线EF到平面的距离即平面与平面的距离，由正方体的特征可知该两个面距离为2，故A正确；

对于B项，如图，取的中点M，连接，易证 ∥，

∴是直线AE与直线的夹角，

∵，，∴，故B错误；

对于C项，记点C与点G到平面AEF的距离分别为、，

∵，，∴，

即点C与点G到平面AEF的距离之比为，故C正确；

对于D项，连接、，易证∥，即A、、F、E四点共面，

∴平面AEF截正方体所得截面为梯形，

如图作，垂足为N，

∵，，，∴，，故D正确．

故选：ACD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：

甲：12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49；

乙：8，13，14，16，23，26，28，29，31，38，39，51．

则运动员甲得分的25百分位数与运动员乙得分的80百分位数的和为______．

【答案】60.5

【解析】因为，故运动员甲得分的25百分位数为从小到大排列的第3和4个数的平均数，为；

又，所以运动员乙得分的80百分位数为从小到大排列的第10个数，为，所以

故答案为：60.5

14.设是虚数单位，复数，，请写出一个满足是纯虚数的复数___________.

【答案】（只要满足，且）

【解析】由已知可得为纯虚数，则.

所以，且，

故满足题设条件的复数可以是.

故答案为：（只要满足，且）

15.锐角中，内角的对边分别为，若，则的面积的取值范围是________

【答案】

【解析】由余弦定理得，

因为，所以，

所以，

当时，，

当时，，

因为锐角，所以，

所以.

故答案为：

16．如图，在中，，，，分别为，的中点，为与的交点，且.若，则___________；若，，，则___________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】连接DF，

因为，分别为，的中点，所以是△ABC的中位线，所以，则，所以，所以；

，故

故答案为：，

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知平面向量，．

（1）求的值；

（2）若向量与夹角为，求实数λ的值．

【答案】（1）    （2）或

【解析】（1）因为，，

所以，

所以；

（2），

所以，，

又向量与夹角为，

所以，

即，

即，解得或.

18．已知，α∈（，π），，β∈（π，）.

（1）求cos（α+β）的值；

（2）求tan2β的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为，所以，

又因为，所以，

.

（2）由（1），则。

19．眼睛是心灵的窗户，保护好视力非常重要，某校高一、高二、高三年级分别有学生1200名、1080名、720名.为了解全校学生的视力情况，学校在6月6日“全国爱眼日”采用分层抽样的方法，抽取50人测试视力，并根据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图.

（1）求从高一年级抽取的学生人数；

（2）试估计该学校学生视力不低于4.8的概率；

（3）从视力在[4.0，4.4)内的受测者中随机抽取2人，求2人视力都在[4.2，4.4）内的概率.

【答案】（1）20；（2）；（3）.

【解析】（1）高一年级抽取的学生人数为：

.

所以从高一年级抽取的学生人数为20.

（2）由频率分布直方图，得，

所以.

所以抽取50名学生中，视力不低于4.8的频率为，

所以该校学生视力不低于4.8的概率的估计值为.

（3）由频率分布直方图，得

视力在内的受测者人数为，记这2人为，

视力在内的受测者人数为，记这3人为.

记“抽取2人视力都在内”为事件A，

从视力在内的受测者中随机抽取2人，所有的等可能基本事件共有10个，

分别为

，

则事件A包含其中3个基本事件：，

根据古典概型的概率公式，得.

所以2人视力都在内的概率为.

20．已知在中，内角，，所对的边分别为，，，.

（1）求；

（2）若，，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为，

所以.

又，

所以，

即，

即.

又，所以，

则由，得.

（2）由正弦定理，得，

则由余弦定理得，

解得(负值舍去)，

所以.

21．为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，惠州市某学校组织防疫知识挑战赛，每位选手挑战时，主持人从电脑题库中随机抽出3道题，并编号为，，，并依次展示题目，选手按规则作答．挑战规则如下：

①选手每答对一道题目得5分，每答错一道题目扣3分：

②选手若答对第题，则继续作答第题：选手若答错第题，则失去第题的答题机会，从第题开始继续答题：直到3道题目回答完，挑战结束：

③选手初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于7分，则选手挑战成功，否则挑战失败．

选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：

（1）挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率；

（2）选手甲挑战成功的概率．

【答案】（1）    （2）

【解析】（1）设为选手答对题，其中，2，3

设挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题为事件，

选手甲恰好作答了2道题即选手甲第一题答错或第一题答对且第2题答错，

，

由概率的加法公式和事件独立性的定义得．

即挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率为；

（2）设选手甲挑战成功为事件，

若选手甲挑战成功，则选手甲共作答了3道题，且选手甲只可能作答2道题或3道题，

“选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了2道题”的对立事件，

根据对立事件的性质得．

所以选手甲挑战成功的概率；

22．如图，在四棱锥P－ABCD中，PB＝PD，PA⊥PC，M，N分别为PA，BC的中点底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，AC交BD于点O．

（1）求证：MN∥平面PCD；

（2）二面角B－PC－D的平面角为θ，若．

①求PA与底面ABCD所成角的大小；

②求点N到平面CDP的距离．

【答案】（1）证明见解析；    （2）① ②.

【解析】（1）取PD得中点E，连接ME，CE，如图，

为PA的中点，，

为的中点且四边形ABCD为菱形，.

，四边形MNCE为平行四边形，

,

又MN平面PCD, CE平面PCD,

MN∥平面PCD.

（2）①连接PO，过作于，连接，

由PB＝PD，是的中点，，

由菱形知，又，平面，

平面，平面平面，且交线为，

直线在平面上的射影为，即PA与底面ABCD所成角为.

平面，，且在平面上的射影为，

，又PA⊥PC，，是的中点，是PC的中点，

，

由知，, ，

为二面角B－PC－D的平面角，

,

即，解得，,

，

 ，，

即PA与底面ABCD所成角的大小为.

②连接，过作于，

由，平面，平面，平面

点N到平面CDP的距离即点到平面CDP的距离，

，

平面，平面平面,且是交线，

，平面，

在中，，，，

由等积法可得，即，

即点N到平面CDP的距离为