2021-2022学年广西钦州市八年级（下）期末数学试卷(含答案)

这是一份2021-2022学年广西钦州市八年级（下）期末数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广西钦州市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题；每小题3分、共36分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．请在答题卡中将正确答案的对应字母框涂黑）
1．（3分）直角三角形的两条直角边分别为6，8，则该直角三角形的斜边长为（　　）
A．4 B． C．10 D．12
2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）某班10名学生的体育测试成绩分别为（单位：分）57，58.56，54，58，60，58，57，56，57，则这组数据的众数是（　　）
A．57 B．58 C．60 D．57，58
4．（3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝6x+3的图象向下平移2个单位长度，平移后的图象与y轴的交点坐标为（　　）
A．（0，1） B．（1，0） C． D．
5．（3分）由下列线段a，b，c不能组成直角三角形的是（　　）
A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝2，，c＝3
C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a＝1，b＝2，
6．（3分）平行四边形ABCD中，∠C：∠D＝4：5，则∠D的度数是（　　）
A．60° B．90° C．100° D．120°
7．（3分）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠0 B．x≠﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2
8．（3分）如图，在矩形AOBD中，点D的坐标是（1，3），则AB的长为（　　）

A．3 B． C． D．
9．（3分）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）若正比例函数y＝（3+k）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则k的取值范围是（　　）
A．k＞0 B．k＜0 C．k＞﹣3 D．k＜﹣3
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为6，它的一边AB在x轴上，且AB的中点是坐标原点O，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标为（　　）

A． B． C． D．
12．（3分）如图，已知一次函数y＝kx+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与正比例函数y＝x交于点C，已知点C的横坐标为2，下列结论：①关于x的方程kx+2＝0的解为x＝3；②对于直线y＝kx+2，当x＜3时，y＞0；③对于直线y＝kx+2，当x＞0时，y＞2；④方程组的解为，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共6题；每小题3分，共18分）
13．（3分）若四个数据4，5，x，6的平均数是5，那么x的值是 　 　．
14．（3分）若一次函数y＝mx+3的图象经过点（2，7），则m的值是 　 　．
15．（3分）已知矩形的长和宽分别为，，则它的周长是 　 　．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为AB的中点，则线段CD的长为 　 　．

17．（3分）如图，图①中是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图②）演化而成的．如果图②中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，若S1代表△A1OA2的面积，S2代表△A2OA3的面积，以此类推，S7代表△A7OA8的面积，则S12+S22+S32+…+S72的值为 　 　．

18．（3分）如图，点E，F在正方形ABCD内部且AE⊥EF，CF⊥EF，已知AE＝9，EF＝5，FC＝3，则正方形ABCD的边长为 　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共66分、请将答案写在答题卡上．）
19．（6分）计算：
（1）；
（2）．
20．（6分）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+

21．（8分）小军和小虎两人从同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米．小军骑自行车，小虎步行，当小军从原路返回到学校时，小虎刚好到达图书馆．图中折线O﹣A﹣B﹣C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
（1）小军在图书馆查阅资料的时间为　 　分钟，小军返回学校的速度为　 　千米/分钟．
（2）请你求出小虎离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系式．
（3）当小军和小虎迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？

22．（8分）图①是某小区的一组智能通道闸机，行人在右侧刷门禁卡识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通行，图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和扇形DEF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC和EF均垂直于地面，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm，连接AD，并向两方延长，分别交BC，EF于点G，H．若BG＝AG，BA＝ED＝60cm，求闸机通道的宽度GH．

23．（8分）2022年3月23日，神舟十三号3名航天员在中国空间站为青少年们讲授了“天宫课堂”第二课，点燃了无数青少年心中的科学梦想．海豚学校4月份组织了首届“航天梦报国情”航天知识竞赛，八年级全体学生参加了“航天知识竞赛”，为了解本次竞赛的成绩，小军随机抽取八年级20名参赛学生的成绩（单位：分）．
收集数据：
90，75，80，80，70，75，80，85，82，95，95，75，90，70，92，95，84，75，85，67
整理数据：
成绩x/分
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
频数
1
6
a
b
分析数据：
平均数
中位数
众数
82
c
d
根据上述数据回答以下问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；
（2）活动组委会决定，给成绩在90分及以上的同学授予“小宇航员”称号．根据上面的统计结果，估计该校八年级1000人中约有多少人将获得“小宇航员”称号；
（3）样本20名参赛学生中的小蕾同学成绩为83分，请你从平均数、中位数中选择一个统计量来说说小蕾的成绩如何？
24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，过点C作CD⊥CP，垂足为C，令CD＝CP，连接DP，BD，求∠BPC的度数．

25．（10分）某爱心企业计划购进甲，乙两种呼吸机赠予当地医院．若购进甲种3台，乙种2台，则共需18000元；若购进甲种2台，乙种1台．则共需11000元．
（1）求甲，乙两种呼吸机每台成本分别为多少元？
（2）该公司决定购进甲，乙两种呼吸机共60台，且购进甲种呼吸机台数不低于乙种台数的一半，则如何购买两种机器能使花费最少？最少费用为多少？
26．（12分）人教版数学八年级下册教材的数学活动一折纸，引起许多同学的兴趣．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；以BM为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕EF上的点N处，把纸片展开；连接AN．

（1）求∠MNE；
（2）如图②，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展开，连接AA′交ST于点O，连接AT．求证：四边形SATA'是菱形；
（3）如图③，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，请求出线段AT的取值范围．


2021-2022学年广西钦州市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题；每小题3分、共36分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．请在答题卡中将正确答案的对应字母框涂黑）
1．（3分）直角三角形的两条直角边分别为6，8，则该直角三角形的斜边长为（　　）
A．4 B． C．10 D．12
【分析】利用勾股定理进行计算即可求解．
【解答】解：由勾股定理得：此直角三角形斜边长＝＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
2．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A、不是最简二次根式，故本选项错误；
B、是最简二次根式，故本选项正确；
BC不是最简二次根式，故本选项错误；
D不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式定义的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
3．（3分）某班10名学生的体育测试成绩分别为（单位：分）57，58.56，54，58，60，58，57，56，57，则这组数据的众数是（　　）
A．57 B．58 C．60 D．57，58
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：数据57和58都出现了3次，出现次数最多，
故这组数据的众数为57，58．
故选：D．
【点评】本题考查了确定一组数据的众数的能力．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
4．（3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝6x+3的图象向下平移2个单位长度，平移后的图象与y轴的交点坐标为（　　）
A．（0，1） B．（1，0） C． D．
【分析】根据“上加下减”的原则写出新直线解析式，由解析式求得平移后的图象与y轴交点的坐标．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝6x+3的图象向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为y＝6x+1．
令x＝0，则y＝1，
即平移后的图象与y轴交点的坐标为（0，1）．
故选：A．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．
5．（3分）由下列线段a，b，c不能组成直角三角形的是（　　）
A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝2，，c＝3
C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a＝1，b＝2，
【分析】利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【解答】解：A、∵a2+b2＝32+42＝25，c2＝52＝25，
∴a2+b2＝c2，
∴能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵a2+c2＝22+32＝13，b2＝（2）2＝12，
∴a2+c2≠b2，
∴不能构成直角三角形，
故B符合题意；
C、∵a2+b2＝52+122＝169，c2＝132＝169，
∴a2+b2＝c2，
∴能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵a2+c2＝12+（）2＝4，b2＝22＝4，
∴a2+c2＝b2，
∴能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
6．（3分）平行四边形ABCD中，∠C：∠D＝4：5，则∠D的度数是（　　）
A．60° B．90° C．100° D．120°
【分析】本题主要依据平行四边形的性质，得出∠C+∠D＝180°，再有∠C：∠D＝4：5得出它们之间的关系从而求出∠D的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C+∠D＝180°．
可设：∠C＝4x，∠D＝5x，
则4x+5x＝180°，
∴x＝20°，
∴∠D＝5x＝100°，
故选：C．
【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：
①平行四边形两组对边分别平行；
②平行四边形的两组对边分别相等；
③平行四边形的两组对角分别相等；
④平行四边形的对角线互相平分．平行四边形是中心对称图形．
7．（3分）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠0 B．x≠﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2
【分析】根据二次根式、分式有意义的条件，可得：x+2＞0，据此求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴x+2＞0，
解得：x＞﹣2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式、分式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：（1）二次根式中的被开方数是非负数．（2）分式有意义的条件是分母不等于零．
8．（3分）如图，在矩形AOBD中，点D的坐标是（1，3），则AB的长为（　　）

A．3 B． C． D．
【分析】连接OD，AB，过D作DF⊥x轴于F，由矩形的性质得AB＝OD，再由点D的坐标得OF＝1，DF＝3，然后由勾股定理求出OD的长，即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OD，AB，过D作DF⊥x轴于F，

∵四边形AOBD是矩形，
∴AB＝OD，
∵点D的坐标是（1，3），
∴OF＝1，DF＝3，
∴OD＝，
∴AB＝，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
9．（3分）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质与二次根式的乘除法法则进行计算即可．
【解答】解：A．（﹣）2＝3，故A符合题意；
B.＝3，故B不符合题意；
C.＝，故C不符合题意；
D.3＝3×，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的性质与二次根式的乘除法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
10．（3分）若正比例函数y＝（3+k）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则k的取值范围是（　　）
A．k＞0 B．k＜0 C．k＞﹣3 D．k＜﹣3
【分析】由当x1＜x2时y1＞y2，可得出y随x的增大而减小，利用正比例函数的性质可得出3+k＜0，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：根据题意得：3+k＜0，
解得：k＜﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”是解题的关键．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边长为6，它的一边AB在x轴上，且AB的中点是坐标原点O，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由菱形的性质可得AB＝AD＝CD＝6，AB∥CD，由勾股定理可求DO的长，即可求点C坐标．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝6，AB∥CD，
∵AB的中点是坐标原点，
∴AO＝BO＝3，
∴DO＝＝3，
∴点C坐标（6，3），
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
12．（3分）如图，已知一次函数y＝kx+2的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与正比例函数y＝x交于点C，已知点C的横坐标为2，下列结论：①关于x的方程kx+2＝0的解为x＝3；②对于直线y＝kx+2，当x＜3时，y＞0；③对于直线y＝kx+2，当x＞0时，y＞2；④方程组的解为，其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】根据已知条件得到C（2，），把C（2，）代入y＝kx+2得到y＝﹣x+2，当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝3，求得B（0，2），A（3，0），于是得到结论．
【解答】解：∵点C的横坐标为2，
∴当x＝2时，y＝x＝，
∴C（2，），
把C（2，）代入y＝kx+2得，k＝﹣，
∴y＝﹣x+2，
当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝3，
∴B（0，2），A（3，0），
∴①关于x的方程kx+2＝0的解为x＝3，正确；
②对于直线y＝kx+2，当x＜3时，y＞0，正确；
③对于直线y＝kx+2，当x＞0时，y＜2，故③错误；
④∵C（2，），
∴方程组的解为，正确；
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程可以化成一次函数．
二、填空题（本大题共6题；每小题3分，共18分）
13．（3分）若四个数据4，5，x，6的平均数是5，那么x的值是 　5　．
【分析】利用平均数的定义，列出方程（4+5+x+6）＝5即可求解．
【解答】解：由题意知4，5，x，6的平均数是5，
∴（4+5+x+6）＝5，
∴x＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了平均数的概念．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
14．（3分）若一次函数y＝mx+3的图象经过点（2，7），则m的值是 　2　．
【分析】将点（2，7）代入解析式，可求出m的值．
【解答】解：依题意得：7＝2m+3，
解得：m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b（k≠0）．
15．（3分）已知矩形的长和宽分别为，，则它的周长是 　6　．
【分析】根据长方形的周长＝（长+宽）×2计算即可．
【解答】解：（+）×2
＝（2+）×2
＝3×2
＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次根式的应用，掌握＝•（a≥0，b≥0）和合并同类二次根式是解题的关键．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为AB的中点，则线段CD的长为 　　．

【分析】根据勾股定理求得斜边AB，再根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵点D为AB的中点，
∴CD＝AB＝5＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
17．（3分）如图，图①中是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图②）演化而成的．如果图②中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，若S1代表△A1OA2的面积，S2代表△A2OA3的面积，以此类推，S7代表△A7OA8的面积，则S12+S22+S32+…+S72的值为 　7　．

【分析】利用勾股定理依次计算出OA2＝，OA3＝，OA4＝2，...OAn＝，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答求得△OAn﹣1An的面积即可得到结论．
【解答】解：OA2＝＝，OA3＝＝，OA4＝＝＝2，
…OA6＝
∴OAn＝．
S1＝×1×1＝；
S2＝×1×＝；
S3＝×1＝；
…
△OAn﹣1An的面积＝．
∴S12+S22+S32+…+S72＝（）2+（）2+（）2+…+（）2＝＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了勾股定理，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
18．（3分）如图，点E，F在正方形ABCD内部且AE⊥EF，CF⊥EF，已知AE＝9，EF＝5，FC＝3，则正方形ABCD的边长为 　　．

【分析】连接AC交EF于点O，易证△AEO∽△CFO，进一步可得OE和OF的长，再分别根据勾股定理求出OC和OA的长，即可求出AC的长，再根据正方形的性质即可求出边长．
【解答】解：连接AC交EF于点O，如图所示：

∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO∽△CFO，
∴AE：CF＝OE：OF，
∵AE＝9，EF＝5，FC＝3，
∴9：3＝（5﹣OF）：OF，
解得OF＝，
∴OE＝5﹣＝，
在Rt△COF中，根据勾股定理，可得OC＝，
在Rt△AOE中，根据勾股定理，可得OA＝，
∴AC＝13，
在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
根据勾股定理，得AB2+BC2＝AC2，
解得AB＝，
∴正方形ABCD的边长为，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质等，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分、请将答案写在答题卡上．）
19．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先去括号，再进行计算即可解答；
（2）先算乘除，后算减法，即可解答．
【解答】解：（1）
＝3+1﹣3+2
＝3；
（2）
＝﹣2
＝﹣．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（6分）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|+

【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：由数轴可知：a＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，
∴原式＝|a|﹣|c﹣a|+|b﹣c|
＝﹣a﹣（c﹣a）﹣（b﹣c）
＝﹣a﹣c+a﹣b+c
＝﹣b
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
21．（8分）小军和小虎两人从同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米．小军骑自行车，小虎步行，当小军从原路返回到学校时，小虎刚好到达图书馆．图中折线O﹣A﹣B﹣C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
（1）小军在图书馆查阅资料的时间为　15　分钟，小军返回学校的速度为　　千米/分钟．
（2）请你求出小虎离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系式．
（3）当小军和小虎迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？

【分析】（1）直接根据图象上所给的数据的实际意义可求解；
（2）由图象可知，s是t的正比例函数，设所求函数的解析式为s＝kt（k≠0），把（45，4）代入解析式利用待定系数法即可求解；
（3）由图象可知，小聪在30≤t≤45的时段内s是t的一次函数，设函数解析式为s＝mt+n（m≠0），把（30，4），（45，0）代入利用待定系数法先求得函数关系式，再根据求函数图象的交点方法求得交点坐标即可．
【解答】解：（1）∵30﹣15＝15，4÷15＝，
∴小军在图书馆查阅资料的时间和小军返回学校的速度分别是15分钟，千米/分钟．

（2）由图象可知，s是t的正比例函数
设所求函数的解析式为s＝kt（k≠0）
代入（45，4），得
4＝45k
解得k＝，
故s与t的函数关系式s＝t（0≤t≤45）．

（3）由图象可知，小军在30≤t≤45的时段内s是t的一次函数，设函数解析式为s＝mt+n（m≠0）
代入（30，4），（45，0），得，
解得．
∴s＝﹣t+12（30≤t≤45）
令﹣t+12＝t，解得t＝当t＝时，S＝×＝3．
答：当小军和小虎迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．
【点评】主要考查了一次函数的实际运用和读图能力．从图象中获得所需的信息是需要掌握的基本能力，还要会熟练地运用待定系数法求函数解析式和使用方程组求交点坐标的方法．
22．（8分）图①是某小区的一组智能通道闸机，行人在右侧刷门禁卡识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通行，图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和扇形DEF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，BC和EF均垂直于地面，点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm，连接AD，并向两方延长，分别交BC，EF于点G，H．若BG＝AG，BA＝ED＝60cm，求闸机通道的宽度GH．

【分析】由点A，D在同一条水平线上，BC，EF 均垂直于地面可知，GH⊥BC，GH⊥EF，所以GH的长度就是BC与EF之间的距离，同时，由两圆弧翼成轴对称可得，AG＝DH，即可得到结论．
【解答】解：由点A，D在同一条水平线上，BC，EF 均垂直于地面可知，GH⊥BC，GH⊥EF，
所以GH的长度就是BC与EF之间的距离，
同时，由两圆弧翼成轴对称可得，AG＝DH，
在Rt△ABG中，∠AGB＝90°，∠ABG＝30°，AB＝60cm，
∴AD＝AB•＝30（cm），
∴GH＝AG+DH+AD＝2AG+AD＝30×2+10＝70（cm），
∴闸机通道的宽度GH为70cm．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，轴对称的性质，正确理解题意是解题的关键．
23．（8分）2022年3月23日，神舟十三号3名航天员在中国空间站为青少年们讲授了“天宫课堂”第二课，点燃了无数青少年心中的科学梦想．海豚学校4月份组织了首届“航天梦报国情”航天知识竞赛，八年级全体学生参加了“航天知识竞赛”，为了解本次竞赛的成绩，小军随机抽取八年级20名参赛学生的成绩（单位：分）．
收集数据：
90，75，80，80，70，75，80，85，82，95，95，75，90，70，92，95，84，75，85，67
整理数据：
成绩x/分
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x＜100
频数
1
6
a
b
分析数据：
平均数
中位数
众数
82
c
d
根据上述数据回答以下问题：
（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；
（2）活动组委会决定，给成绩在90分及以上的同学授予“小宇航员”称号．根据上面的统计结果，估计该校八年级1000人中约有多少人将获得“小宇航员”称号；
（3）样本20名参赛学生中的小蕾同学成绩为83分，请你从平均数、中位数中选择一个统计量来说说小蕾的成绩如何？
【分析】（1）将题干数据从小到大重新排列，可得a、b的值，再根据中位数和众数的定义可得c、d的值；
（2）用总人数乘以样本中90分及以上的学生人数所占比例即可；
（3）根据中位数的定义解答即可．
【解答】解：（1）将以上数据重新排列为67，70，70，75，75，75，75，80，80，80，82，84，85，85，90，90，92，95，95，95，
所以a＝7、b＝6，中位数c＝＝81，众数d＝75；
（2）1000×＝300（人），
答：该校八年级约有300人将获得“小宇航员”称号；
（3）中位数为（分），
83＞81，
所以小蕾同学成绩在八年级属于中上水平．
【点评】本题主要考查众数、中位数及样本估计总体，解题的关键是掌握众数和中位数的定义及样本估计总体的应用．
24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，过点C作CD⊥CP，垂足为C，令CD＝CP，连接DP，BD，求∠BPC的度数．

【分析】先证明△PCD是等腰直角三角形，得出：PD＝PC＝2，∠CPD＝∠CDP＝45°，再证明△ACP≌△BCD（SAS），得出BD＝PA＝3，运用勾股定理逆定理证得∠BPD＝90°，即可求得答案．
【解答】解：∵CD⊥CP，
∴∠PCD＝90°，
∵PC＝CD＝2，
∴△PCD是等腰直角三角形，
∴PD＝PC＝2，∠CPD＝∠CDP＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP+∠PCB＝90°，
又∵∠PCB+∠BCD＝90°，
∴∠ACP＝∠BCD，
在△ACP和△BCD中，
，
∴△ACP≌△BCD（SAS），
∴BD＝PA＝3，
∵PB＝1，
∴PB2+PD2＝12+（2）2＝9，
∵PA2＝32＝9，
∴PA2＝PB2+PD2，
∴∠BPD＝90°，
∵∠CPD＝45°，
∴∠BPC＝∠BPD+∠CPD＝135°．
【点评】该题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理逆定理等几何知识点及其应用问题；是一道综合性较强的题目，证明△ACP≌△BCD（SAS）和运用勾股定理逆定理是解题的关键．
25．（10分）某爱心企业计划购进甲，乙两种呼吸机赠予当地医院．若购进甲种3台，乙种2台，则共需18000元；若购进甲种2台，乙种1台．则共需11000元．
（1）求甲，乙两种呼吸机每台成本分别为多少元？
（2）该公司决定购进甲，乙两种呼吸机共60台，且购进甲种呼吸机台数不低于乙种台数的一半，则如何购买两种机器能使花费最少？最少费用为多少？
【分析】（1）设甲种呼吸机每台成本为x元，乙种呼吸机每台成本为y元，可得：，即可解得甲种呼吸机每台成本为4000元，乙种呼吸机每台成本为3000元；
（2）设购买两种机器费用为w元，购进甲种呼吸机m台，由购进甲种呼吸机台数不低于乙种台数的一半，得m≥20，而w＝4000m+3000（60﹣m）＝1000m+180000，根据一次函数性质可得购进甲种呼吸机20台，购进乙种呼吸机40台，花费最少，最少费用为200000元．
【解答】解：（1）设甲种呼吸机每台成本为x元，乙种呼吸机每台成本为y元，
根据题意得：，
解得，
答：甲种呼吸机每台成本为4000元，乙种呼吸机每台成本为3000元；
（2）设购买两种机器费用为w元，购进甲种呼吸机m台，
∵购进甲种呼吸机台数不低于乙种台数的一半，
∴m≥（60﹣m），
解得m≥20，
根据题意得：w＝4000m+3000（60﹣m）＝1000m+180000，
∵1000＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝20时，w取最小值，最小值为1000×20+180000＝200000（元），
此时60﹣m＝60﹣20＝40（台），
答：购进甲种呼吸机20台，购进乙种呼吸机40台，花费最少，最少费用为200000元．
【点评】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出方程组和函数关系式．
26．（12分）人教版数学八年级下册教材的数学活动一折纸，引起许多同学的兴趣．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；以BM为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕EF上的点N处，把纸片展开；连接AN．

（1）求∠MNE；
（2）如图②，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展开，连接AA′交ST于点O，连接AT．求证：四边形SATA'是菱形；
（3）如图③，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，请求出线段AT的取值范围．

【分析】（1）由折叠的性质可得AN＝BN，AE＝BE，AB＝BN，即△ABN是等边三角形，根据等边三角形的性质和直角三角形的性质求出∠MNE的度数即可；
（2）由折叠的性质可得AO＝A'O，AA'⊥ST，由AAS证△ASO≌△A'TO，可得SO＝TO，由菱形的判定可证四边形SATA'是菱形；
（3）根据AT'＞BT求出AT的最小值，根据点T与B点重合时AT有最大值求出最大值，即可得出AT的取值范围．
【解答】解：（1）∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∵以BM为折痕再一次折叠纸片，使点A落在折痕EF上的点N处，
∴AB＝BN，
∴AN＝BN＝AB，
即△ABN是等边三角形，
∴∠ABN＝60°，
∴∠BNE＝90°﹣∠ABN＝30°，
∴∠MNE＝∠MNB﹣∠BNE＝90°﹣30°＝60°；
（2）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上点A'处，
∴ST垂直平分AA'，
∴AO＝A'O，AA'⊥ST，
∵AD∥BC，
∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，
∴△ASO≌△A'TO（AAS），
∴SO＝TO，
∴四边形ASA'T是平行四边形，
又∵AA'⊥ST，
∴四边形SATA'是菱形；
（3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上点A'处，
∴AT＝A'T，
在Rt△A'TB中，A'T＞BT，
∴AT＞10﹣AT，
∴AT＞5，
∵点T在AB上，
∴当点T与点B重合时，AT有最大值为10，
∴5＜AT≤10．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．
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