2021-2022学年广西钦州市钦北区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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2021-2022学年广西钦州市钦北区八年级（下）期中数学试卷 一．选择题（本题共12小题，共36分）若式子有意义，则需满足的条件是(    )A.  B.  C.  D. 下列根式中属于最简二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 化简式子的结果是(    )A.  B.  C.  D. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是(    )A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、下列计算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 若直角三角形的两条直角边长分别为、，则斜边上的高为(    )A.  B.  C.  D. 在下列命题中，正确的是(    )A. 一组对边平行的四边形是平行四边形
B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C. 有一个角是直角的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形已知四边形，有以下四个条件：
，；，；，；，．
其中能判定四边形是平行四边形的有个．(    )A.  B.  C.  D. 在四边形中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是(    )A.  B.  C.  D. 四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(    )A. ，
B. ，
C. ，
D. ，如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是，直角三角形的两直角边分别为、且，则图中大正方形的边长为(    )A.  B.  C.  D. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的边长是(    )
B.
C.
D. 无法确定二．填空题（本题共6小题，共18分）命题“对顶角相等”的逆命题是______．在直角坐标系中，点到原点的距离是______．实数、在数轴上对应的位置如图，则______．如图，菱形的对角线，相交于点，为的中点，若，则菱形的周长为______．
 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是原点，的坐标为，则点的坐标为______．
 如图，矩形中，，、交于点，若，则______．
 三．解答题（本题共8小题，共66分）计算：的值．已知，求代数式：的值．有一块田地的形状和尺寸如图所示，求它的面积．
已知：如图，在▱中，点在上，点在上，且求证：．
如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为______ ．
已知：如图，在矩形中，，将沿对角线翻折得到，交于点．
判断的形状，并证明；
直接写出线段的长．
在▱中，过点作于点，点 在边上，，连接，．
求证：四边形是矩形；
若，，，求证：平分．
阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图，在中，，分别交、于、，且，，，试求的值．
小明发现，过点作，交的延长线于点，构造，经过推理得到▱，再计算就能够使问题得到解决如图请你帮小明回答：的值为______，并写出推理和计算过程．
参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题：
如图，已知▱和矩形，与交于点，，求的度数．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：式子有意义，则，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 2.【答案】 【解析】解：、该二次根式符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
B、该二次根式的被开方数中含有分母，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；
C、该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；
D、该二次根式的被开方数中含有能开得尽方的因数，所以它不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
被开方数不含分母；
被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
 3.【答案】 【解析】解：原式．
故答案为：．
根据二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
 4.【答案】 【解析】解：、，三条线段不能组成三角形，不能组成直角三角形，故A选项错误；
B、，三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、，三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；
D、，三条线段能组成直角三角形，故D选项正确；
故选：．
利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
 5.【答案】 【解析】解：原式，故A错误；
原式，故B错误；
原式，故D错误；
故选：．
根据二次根式的运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
 6.【答案】 【解析】解：根据勾股定理，斜边，
设斜边上的高为，
则，
整理得，
解得．
故选：．
先根据勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形的面积列式进行计算即可求解．
本题考查了勾股定理以及三角形的面积的利用，根据三角形的面积列式求出斜边上的高是常用的方法之一，需熟练掌握．
 7.【答案】 【解析】解：、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误；
B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项正确；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项错误；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故D选项错误．
故选：．
本题可逐个分析各项，利用排除法得出答案．
主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 8.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定．
根据平行四边形的判定定理逐项判断即可．
【解答】
解：根据平行四边形的判定定理知，，不符合是平行四边形的条件；
满足四边形是平行四边形．  9.【答案】 【解析】解：，
四边形是矩形，
当时，四边形是正方形，
故选：．
根据正方形的判定方法即可判定；
本题考查正方形的判定，解题的关键是记住正方形的判定方法：
先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
还可以先判定四边形是平行四边形，再用或进行判定．
 10.【答案】 【解析】解：、，，
四边形是平行四边形，故选项A不合题意；
B、，，
四边形不一定是平行四边形，故选项B符合题意；
C、，，
四边形是平行四边形，故选项C不合题意；
D、，，
四边形是平行四边形，故选项D不合题意；
故选：．
分别利用平行四边形的判定方法进行判断，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是本题的关键．
 11.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，还要注意图形的面积和，之间的关系．根据的值求得直角三角形的面积，进而得出大正方形的面积．
【解答】
解：，
直角三角形的面积是，
小正方形的面积是，
大正方形的面积，
大正方形的边长为，
故选：．  12.【答案】 【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么根据勾股定理分别求出、的面积，根据勾股定理计算即可．
【解答】
解：正方形、、、的面积分别是、、、，
由勾股定理得，正方形的面积为：，
正方形的面积为：，
正方形的面积为：，
最大正方形的边长是；
故选：．  13.【答案】相等的角为对顶角 【解析】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．
故答案为相等的角为对顶角．
交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
 14.【答案】 【解析】解：过作轴，连接，
，
，，
在中，根据勾股定理得：，
，
则点在原点的距离为．
故答案为：．
在平面直角坐标系中找出点，过作垂直于轴，连接，由的坐标得出及的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，即为到原点的距离．
此题考查了勾股定理以及坐标与图形的性质，勾股定理为：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，灵活运用勾股定理是解本题的关键；同时也可直接应用两点间的距离公式进行求解．
 15.【答案】 【解析】解：由数轴可知：，
，，
原式

，
故答案为：．
先根据数轴判断、与的大小关系，然后根据二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
 16.【答案】 【解析】解：四边形为菱形，
，，
为直角三角形．
，且点为线段的中点，
．
．
故答案为：．
由菱形的性质可得出，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．
本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据菱形的性质找出对角线互相垂直，再通过直角三角形的性质找出菱形的一条变成是关键．
 17.【答案】 【解析】解：如图作轴于，轴于．

四边形是正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，，
点坐标，
故答案为．
如图作轴于，轴于，先证明≌，推出，，由此即可解决问题．
本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 18.【答案】 【解析】解：矩形中，，，
，
在中，，
；
故答案为：．
根据矩形的对角线互相平分可得，然后利用勾股定理求出，由矩形面积公式即可得出答案．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，是基础题，熟记性质是解题的关键．
 19.【答案】解：

． 【解析】先算除法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 20.【答案】解：，






． 【解析】本题考查了二次根式的化简求值、完全平方公式、平方差公式；熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解决问题的关键．根据完全平方式的特点把化成的形式，再代入的值运用平方差公式计算，即可得出结果．
 21.【答案】解：连接，
在中，为斜边，
已知，，
则，
，
为直角三角形，
，
答：该四边形面积为． 【解析】在直角中，已知，，根据勾股定理可以求得，根据，，的关系可以判定为直角三角形，根据直角三角形面积计算公式即可计算四边形的面积．
本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中正确的判定为直角三角形是解题的关键．
 22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，即，
又，
四边形是平行四边形，
． 【解析】只要证明四边形是平行四边形即可解决问题；
本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型．
 23.【答案】 【解析】解：根据矩形的性质得≌，
属于图中阴影部分的面积就是的面积．
．
故答案为：．
根据矩形是中心对称图形寻找思路：≌，图中阴影部分的面积就是的面积．
本题考查了矩形的性质以及三角形的面积公式的运用，解题的关键是把阴影图形的面积补为一个直角三角形的面积．
 24.【答案】解：为等腰三角形，证明如下：
矩形，
．
．
又沿对角线翻折得到，
．
．
．
为等腰三角形．
设，则，，
由勾股定理得：，
，
，
． 【解析】根据矩形的性质和翻折的性质可得结论；
设，则，，根据勾股定理列方程可得结论．
本题主要考查了几何变换中的翻折变换、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是关键．
 25.【答案】证明：四边形是平行四边形，
．
，，
四边形是平行四边形．
，
，
四边形是矩形；
四边形是平行四边形，
，
．
在中，由勾股定理，得
，
，
，
，
即平分． 【解析】根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
根据平行线的性质，可得，根据等腰三角形的判定与性质，可得，根据角平分线的判定，可得答案．
本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出是解题关键．
 26.【答案】 【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
故答案为：；

解决问题：连接，，如图．
四边形是平行四边形，
．
四边形是矩形，
，．
．
四边形是平行四边形．
．
，
．
是等边三角形．
．
，
．
由，，可证得四边形是平行四边形，即可得，，即可得，然后利用勾股定理，求得的值；
首先连接，，由四边形是平行四边形，四边形是矩形，易证得四边形是平行四边形，继而证得是等边三角形，则可求得答案．
此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法．