华师大版九年级上册2. 相似三角形的判定同步达标检测题

23.3.2　第1课时　相似三角形的判定定理1

知识点 1　两角分别相等的两个三角形相似

1.图中有两个三角形,角的度数已在图中标注,则这两个三角形 (　　)

A.相似  B.不相似 

C.全等  D.无法判断

2.下列各组三角形中,一定相似的是 (　　)

A.两个等腰三角形  

B.两个等边三角形

C.两个钝角三角形  

D.两个直角三角形

3.[2019·赤峰] 如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,∠ADE=∠ACB.若AD=2,AB=6,AC=4,则AE的长是              (　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

4.如图,AB与CD相交于点O,AC与BD不平行,则∠A=　　　　或∠C=　　　　时,△AOC∽△DOB. 

5.如图,在正方形ABCD中,点E,F,G分别在AB,BC,CD上,且∠EFG=90°.

求证:△EBF∽△FCG.

6.[教材例3变式] 如图,已知四边形ABCD为平行四边形,点E在BC的延长线上,AE与CD相交于点F.求证:△AFD∽△EAB.

7.如图,已知∠1=∠2,∠C=∠E,则△ABC和△ADE相似吗?请说明理由.

知识点 2　仅有一对角相等的两个三角形不一定相似

8.下列各组中的两个三角形,不一定相似的是 (　　)

A.有一个角为100°的两个等腰三角形

B.底角为40°的两个等腰三角形

C.有一个角为30°的两个直角三角形

D.有一个角为30°的两个等腰三角形

9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,DE⊥AC于点E,则图中与△ABC相似的三角形有              (　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

10.如图,在△ABC中,点D在线段BC上,∠B=∠DAC,AC=8,BC=16,那么CD的长是 (　　)

A.4 B.6 C.8 D.10

11.如图,等边三角形ABC的边长为3,P为BC上一点,且BP=1,D为AC上一点,若∠APD=60°,则CD的长是              (　　)

A. B. C. D.

12.如图,P是Rt△ABC的斜边BC上异于点B,C的一点,过点P作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,则满足这样条件的直线有　　　　条. 

13.如图,在△ABC中,∠ABC=80°,∠BAC=40°,AB的垂直平分线分别与AC,AB交于点D,E,连结BD.求证:△ABC∽△BDC.

14.如图,已知△ABC,AE交BC于点D,∠C=∠E,AD∶DE=3∶5,AE=8,BD=4.

(1)求证:△ADC∽△BDE;

(2)求DC的长.

15.如图,在△PAB中,∠APB=120°,M,N是AB上的两点,且△PMN是等边三角形.求证:BM·PA=PN·BP.

16.如图,在△ABC中,∠A=50°,AB=AC,D是BC边上的动点,E,F分别是AB,AC边上的点.

(1)若BD=DE,且△BDE∽△CDF,求∠EDF的度数;

(2)若∠EDF=α,不改变α的值,以点D为旋转中心,把∠EDF按顺时针或逆时针方向适当转动后,△BDE和△CDF始终保持相似,求α的值.

第2课时　相似三角形的判定定理2,3

知识点 1　两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

1.如图,若=　　　　,则△AEF∽△ABC,理由是　. 

2.如图,已知∠1=∠2,则添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC∽△ADE的是 (　　)

A.= B.= C.∠B=∠ADE D.∠C=∠E

3.在△ABC和△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AC=12,BC=15,A'C'=8,则当B'C'=　　　　时,△ABC∽△A'B'C'. 

4.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上.若AE=2,AB=5,AD=4,AC=10,则△AED与△ABC相似吗?请说明理由.

5.[教材例4变式] 如图,AE与BD相交于点C,AB=4,BC=2,AC=3,DC=6,CE=4.

(1)△ABC与△DEC是否相似?为什么?

(2)求DE的长.

知识点 2　三边成比例的两个三角形相似

6.已知AB=12 cm,AC=15 cm,BC=21 cm,A1B1=16 cm,B1C1=28 cm,当A1C1=　　　　 cm时,△ABC∽△A1B1C1. 

7.有甲、乙两个三角形木框,甲三角形木框的三边长分别为1,,,乙三角形木框的三边长分别为,,5,则甲、乙两个三角形              (　　)

A.一定相似  B.一定不相似

C.不一定相似  D.无法判断

8.图中的两个三角形是否相似?为什么?

9.[2019·雅安] 如图和图,每个小正方形的边长均为1,则图中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是              (　　)

10.如图,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6,将△ABC沿图中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是              (　　)

11.在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,下列条件中不能判定这两个三角形相似的是 (　　)

A.∠A=55°,∠D=35°  B.AC=9,BC=12,DF=6,EF=8

C.AC=3,BC=4,DF=6,DE=8 D.AB=10,BC=6,DE=15,EF=9

12.如图,在△ABC中,D是边AC上一点,连结BD,给出下列条件:①∠ACB=∠ABD;②AB2=AD·AC;③AD·BC=AB·BD;④AB·BC=AC·BD.其中能够单独判定△ABC∽△ADB的是 (　　)

A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④

13.如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E在边CB的延长线上,且∠EAC=90°,AE2=EB·EC.求证:四边形ABCD是矩形.

14.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B,线段AG分别交线段DE,BC于点F,G,且=.

(1)求证:△ADF∽△ACG;

(2)若=,求的值.

15.如图,已知 AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D.

(1)若AB=9,CD=4,BD=10,在BD上是否存在点P,使以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似?若存在,求出PB的长;若不存在,请说明理由.

(2)若AB=9,CD=4,BD=12,在BD上存在多少个符合条件的点P,使以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似?求出PB的长.

答案

1.A　2.B　

3.C　 ∵∠ADE=∠ACB,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,∴=,即=,解得AE=3.故选C.

4.∠D　∠B

5.证明:∵四边形ABCD为正方形,

∴∠B=∠C=90°,

∴∠BEF+∠BFE=90°.

∵∠EFG=90°,

∴∠BFE+∠CFG=90°,

∴∠BEF=∠CFG,

∴△EBF∽△FCG.

6.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BE,∠D=∠B,

∴∠DAF=∠E,∴△AFD∽△EAB.

7.解:相似.理由:∵∠1=∠2,

∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,

即∠BAC=∠DAE.

又∵∠C=∠E,∴△ABC∽△ADE.

8.D　 有一个角为30°的两个等腰三角形,若一个是顶角为30°,另一个是底角为30°,则两三角形不相似.故选D.

9.D

10.A　 ∵∠B=∠DAC,∠C=∠C,

∴△ABC∽△DAC,

∴=,

∴AC2=CD·BC,即82=CD×16,

解得CD=4.故选A.

11.C　 ∵△ABC为等边三角形,

∴∠B=∠C=60°.

∵∠APD+∠CPD=∠B+∠BAP,且∠APD=60°,

∴∠BAP=∠CPD,

∴△ABP∽△PCD,

∴=.

∵AB=BC=3,BP=1,

∴PC=2,

∴=,

∴CD=.

12.3　 过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,PF⊥BC,则直线PD,PE,PF均满足条件.

13. 由线段垂直平分线的性质,得AD=BD,则∠ABD=∠BAC=40°,从而求得∠CBD=40°,即可证出△ABC∽△BDC.

证明:∵DE是AB的垂直平分线,

∴AD=BD,∴∠ABD=∠BAC.

∵∠BAC=40°,∴∠ABD=40°.

∵∠ABC=80°,

∴∠DBC=40°,

∴∠DBC=∠BAC.

又∵∠C=∠C,

∴△ABC∽△BDC.

14.解:(1)证明:∵∠C=∠E,∠ADC=∠BDE,

∴△ADC∽△BDE.

(2)∵△ADC∽△BDE,

∴=.

∵AD∶DE=3∶5,AE=8,

∴AD=3,DE=5.

∵BD=4,∴=,

∴DC=.

15.证明:∵△PMN为等边三角形,

∴∠PMN=∠PNM=∠MPN=60°,

∴∠BMP=∠PNA=120°.

∵∠APB=120°,

∴∠BPM+∠APN=60°.

∵在△BMP中,∠BMP=120°,

∴∠B+∠BPM=60°,

∴∠B=∠APN,∴△BMP∽△PNA,

∴=,∴BM·PA=PN·BP.

16. (1)根据等腰三角形的性质可求出∠B,∠C的度数,结合BD=DE可求出∠BDE的度数,由△BDE∽△CDF可求出∠CDF的度数,再根据∠EDF=180°-∠BDE-∠CDF即可求出∠EDF的度数;

(2)根据相似三角形的判定定理可得出,若∠BDE=∠CFD,则△BDE∽△CFD,根据三角形内角和定理结合∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°,即可求出α的值.

解:(1)∵∠A=50°,AB=AC,

∴∠B=∠C=×(180°-50°)=65°.

∵BD=DE,

∴∠B=∠BED=65°,

∴∠BDE=180°-∠B-∠BED=50°.

∵△BDE∽△CDF,∴∠CDF=∠BDE=50°,

∴∠EDF=180°-∠BDE-∠CDF=80°.

(2)由(1)可知∠B=∠C=65°.

若∠BDE=∠CFD,则△BDE∽△CFD.

∵∠BDE+∠EDF+∠CDF=180°,∠CDF+∠CFD+∠C=180°,

∴∠EDF=∠C=65°,∴α=65°.

答案

1.　两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

2.A　 ∵∠1=∠2,∴∠BAC=∠DAE.

A项,添加=,无法判定△ABC∽△ADE,故本选项符合题意;

B项,添加=,可利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定△ABC∽△ADE,故本选项不符合题意;

C项,添加∠B=∠ADE,可利用两角分别相等的两个三角形相似判定△ABC∽△ADE,故本选项不符合题意;

D项,添加∠C=∠E,可利用两角分别相等的两个三角形相似判定△ABC∽△ADE,故本选项不符合题意.

故选A.

3.10　 若△ABC∽△A'B'C',则=,即=,解得B'C'=10.

4.解:相似.理由:∵=,==,

∴=.

又∵∠A=∠A,∴△AED∽△ABC.

5.解:(1)相似.

理由:∵==,==,

∴=.

又∵∠ACB=∠DCE,∴△ABC∽△DEC.

(2)∵△DEC∽△ABC,

∴===2,

∴DE=2AB=8.

6.20　7.A

8.解:相似.理由:∵===,

∴△ABC∽△DEF.

9.B　

10.C　 A项,阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意;B项,阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意;C项,两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似,故本选项符合题意;D项,两三角形的两边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意.故选C.

11.C　 A项,∵∠A=55°,∴∠B=90°-55°=35°.∵∠D=35°,∴∠B=∠D.又∵∠C=∠F,∴△ABC∽△EDF;

B项,∵AC=9,BC=12,DF=6,EF=8,∴==.又∵∠C=∠F,∴△ABC∽△DEF;

C项,虽有一组角相等和两边对应成比例,但该组角不是这两边的夹角,故不能判定两个三角形相似;

D项,∵在Rt△ABC中,AB=10,BC=6,

∴AC=8.∵在Rt△DEF中,DE=15,EF=9,

∴DF=12.∴==.

又∵∠C=∠F,∴△ABC∽△DEF.

故选C.

12.A　 ①∵∠ACB=∠ABD,∠A=∠A,

∴△ABC∽△ADB;

②∵AB2=AD·AC,

∴=.

又∵∠A=∠A,

∴△ABC∽△ADB;

③∵AD·BC=AB·BD,∴=.

而∠A=∠A,不能判定△ABC与△ADB相似;

④∵AB·BC=AC·BD,∴=.

而∠A=∠A,不能判定△ABC与△ADB相似.

故选A.

13.证明:∵AE2=EB·EC,∴=.

又∵∠AEB=∠CEA,

∴△AEB∽△CEA,

∴∠EBA=∠EAC.

∵∠EAC=90°,

∴∠EBA=∠EAC=90°.

∵∠EBA+∠CBA=180°,

∴∠CBA=90°.

又∵四边形ABCD是平行四边形,

∴四边形ABCD是矩形.

14.解:(1)证明:在△ADE和△ACB中,

∵∠AED=∠B,∠DAE=∠CAB,

∴∠ADF=∠C.

∵=,∴△ADF∽△ACG.

(2)∵△ADF∽△ACG,∴=.

∵=,∴=,∴=1.

15.解:(1)存在.

设PB=x,则PD=10-x.

∵∠B=∠D,

∴当=时,△ABP∽△PDC,

即=,

整理得x2-10x+36=0,此方程没有实数根;

当=时,△ABP∽△CDP,

即=,解得x=,

即PB的长为.

(2)存在2个符合条件的点P.

设PB=y,则PD=12-y.

∵∠B=∠D,

∴当=时,△ABP∽△PDC,

即=,

整理得y2-12y+36=0,解得y1=y2=6;

当=时,△ABP∽△CDP,

即=,解得y=.

即PB的长为6或.