初中数学华师大版九年级上册第23章 图形的相似23.3 相似三角形2. 相似三角形的判定第3课时导学案

教学目标

1.理解三边成比例的两个三角形相似.

2.会运用定理“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明两个三角形相似.

教学重难点

重点：理解三边成比例的两个三角形相似.

难点：会运用定理“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”解决问题.

教学过程

复习巩固

1.判定三角形相似的方法：（1）平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似；

（2）判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似；

（3）判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

2.相似三角形的性质：

相似三角形的对应边成比例，对应角相等.

导入新课

【问题1】

活动1（学生交流，教师点评）

【动手操作】

在△ABC和△A′B′C′中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm，A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm，通过实际画一画，量一量判定△ABC和△A′B′C′是否相似？

【解】通过画图测量可知，△ABC和△A′B′C′相似.

学生交流，教师点评.

教师引出课题： 23.3　相似三角形

2　相似三角形的判定　（第3课时）

探究新知

探究点　相似三角形的判定定理3.

【问题2】

活动2　（小组讨论，师生互学）

画△ABC与△A′B′C′，使都等于给定的值k.设法比较∠A与∠A′的大小.

△ABC和△A′B′C′相似吗？说说你的理由.改变k值的大小，再试一试.

【答案】∠A＝∠A′.

△ABC∽△A′B′C′.

改变k值的大小仍然成立.

思考：如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗？

学生回答：一定相似.

教师总结：得出结论

相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.

符号语言表示：

在△ABC与△A′B′C′中，使 ，那么△ABC∽△A′B′C′.

【提示】由三边成比例判定两个三角形相似的方法与三边对应相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边对应成比例即可.

活动3（学生交流，教师点评）

典例讲解（师生互动）

例1　如图，在△ABC和△ADE中， ，

       ∠BAD＝20°，求∠CAE的度数.

【探索思路】（引发学生思考）由已知的三边对应成比例可得△ABC∽△ADE，再根据相似三角形的对应角相等，从而进行角之间的转化，即可求出∠CAE的度数.

【解】∵ ，

∴ △ABC∽△ADE（三边成比例的两个三角形相似），

∴ ∠BAC＝∠DAE.

∴ ∠BAC-∠DAC ＝∠DAE -∠DAC ，

即∠BAD＝∠CAE.

∵ ∠BAD＝20°，

∴ ∠CAE＝20°.

【即学即练】（师生互动）

1.如图，＝＝，那么△ABD与△BCE相似吗？为什么？

【探索思路】要证△ABD∽△BCE，现有边的比例关系，需要一组夹角.已知＝＝得△ABC∽△DBE，从而可得夹角∠ABD＝∠CBE.

证明：∵ ＝＝，∴ △ABC∽△DBE，∴ ∠ABC＝∠DBE，

∴ ∠ABC-∠DBC＝∠DBE-∠DBC，即∠ABD＝∠CBE.

∵ ＝，∴ ＝，∴ △ABD∽△CBE.

【总结】（学生总结，老师点评）解决此类问题的关键是找出∠ABD＝∠CBE，再结合相似三角形的判定定理解决问题.

活动4　（学生交流，教师点评）

典例讲解（师生互动）

例2　在△ABC和△A′B′C′中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm，A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm.

试证明△ABC与△A′B′C′相似.

【探索思路】（引发学生思考）由已知的各边长，求出比值，看各组对应边的比值是否相等，如果相等，则这两个三角形相似，否则不相似.

证明：∵，，

∴ .

∴ △ABC∽△A′B′C′（三边成比例的两个三角形相似）.

【方法归纳】

利用三角形三边成比例判定两个三角形相似的方法：    

首先把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、中、大边的比，最后看三个比值是否相等，若相等，则两个三角形相似，否则不相似.

特别地，若三个比值相等且等于1，则这两个三角形全等.

【即学即练】（师生互动）

2.如图，每个小正方形边长均为1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（　　）

【答案】B

（学生回答，老师点评）

三边成比例的两个三角形相似.

课堂练习

1.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　）　

A　　　　　B　　　　　　　　C　　　　　　　D

2. 如图所示，在正方形网格中有5个三角形：①，②，③，④，⑤，

在②～⑤中，与①相似的是（　　）

A.②③     B.③④⑤      C.②④⑤ 　D.②③⑤

3.如图，已知，试证明∠BAD＝∠CAE.

4.如图所示，在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2，它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果不相似，请说明理由.

参考答案

1.B

2.B　【解析】设网格中小正方形的边长为1，

则三角形①的三边长分别为2，2，2，，三边的比为1∶∶；

三角形②的三边长分别为2，2，4，则三角形②的三边比为1∶∶2；

三角形③的三边长分别为4，4，4，则三角形③的三边比为1∶∶;

三角形④的三边长分别为2，2，10，则三角形④的三边比为1∶∶；

三角形⑤的三边长分别为2，4，2，则三角形⑤的三边比为1∶∶，

所以与①相似的是③④⑤.

3.【证明】∵ ，

∴ △ABC∽△ADE，

∴ ∠BAC＝∠DAE，

∴ ∠BAC-∠DAC＝∠DAE-∠DAC，

即∠BAD＝∠CAE.

4.【解】相似;相似比为2:1.理由略.

课堂小结

 （学生总结，老师点评）

相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.

如图所示，在△ABC与△A′B′C′中，

在，

则△ABC∽△A′B′C′.

布置作业

教材第75页习题23.3第4~7题.

板书设计

课题　23.3　相似三角形

2　相似三角形的判定（第3课时）

【问题】　　　　　　　　　　　  例1　

相似三角形的判定定理3　　　　　例2

　　三边成比例的两个三角形相似

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